Chuyên đề Số phức- Đại số tổ hợp

Lại Văn Long Trường ThPT Lê Hoàn Web:  
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1
Chuyên đề 
SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP 
I. SỐ PHỨC 
A. LÝ THUYẾT 
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) 
II. Dạng lượng giác của số phức 
 cos sinz r i   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) 
* 2 2r a b  là môđun của z. 
*  là một acgumen của z thỏa 
cos
sin
a
r
b
r


 

 

 
1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu  cos sinz r i   , 
 ' ' cos ' sin 'z r i   thì: 
*    . ' . ' cos ' sin 'z z r r i         *    cos ' sin '' '
z r i
z r
         
2. Công thức Moivre: *n N thì    cos sin cos sinn nr i r n i n        
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 
Căn bậc hai của số phức  cos sinz r i   (r > 0) là cos sin
2 2
r i   
 
 và 
cos sin
2 2
r i    
 
 
B. BÀI TẬP 
1. (ĐH_Khối A 2009) 
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 
2
2
2
1 zzA  . 
ĐS: A=20 
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z   . Tính giá trị của biểu thức 
 
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z



. 
ĐS: A=11/4 
3. (CĐ_Khối A 2009) 
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. 
b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz
iz
iz 2734 

 . 
ĐS: a. a=2, b=3 
b. z=1+2i, z=3+ 
4. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 
ĐS:    2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i        . 
5. (ĐH_Khối B 2009) 
Tìm số phức z thỏa mãn   102  iz và 25. zz . 
ĐS: z=3+4i hoặc z=5 
Lại Văn Long Trường ThPT Lê Hoàn Web:  
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2
6. Tìm số phức z thỏa mãn: 
 
 
1 1 1
3 1 2
z
z i
z i
z i
 
 

 
 
. 
HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. 
ĐS: z=1+i. 
7. Giải phương trình: 
4
1z i
z i
 
  
. 
ĐS: z{0;1;1} 
8. Giải phương trình: 2 0z z  . 
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. 
ĐS: z{0;i;i} 
9. Giải phương trình: 2 0z z  . 
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. 
ĐS: z=0, z=1, 1 3
2 2
z i  
10. Giải phương trình: 
2
4 3 1 0
2
zz z z     . 
HD: Chia hai vế phương trình cho z2. 
ĐS: z=1±i, 1 1
2 2
z i   . 
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. 
HD: Đặt thừa số chung 
ĐS:
1 3 1 31, ,
2 2 2 2
z z i z i       . 
12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho 
phương trình: 
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm 
phức. 
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: 
a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - 2i 
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 
a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 
15. (ĐH_Khối D 2009) 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện 
  243  iz . 
ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i    . 
ĐS: 
2
4
xy  . 
17. Trong các số phức thỏa mãn 32 3
2
z i   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 
HD: *Gọi z=x+yi. 32 3
2
z i    …     2 2 92 3
4
x y    . 
* Vẽ hình |z|min z. 
Lại Văn Long Trường ThPT Lê Hoàn Web:  
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3
ĐS: 
26 3 13 78 9 13
13 26
z i   . 
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: 
a. 
 
10
9
(1 i)
3 i


. b.  75cos sin 1 33 3i i i
    
 
. 
HD: Sử dụng công thức Moivre. 
ĐS: a. Phần thực 
1
16
 , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. 
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. 
ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. 
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
A. LÝ THUYẾT 
1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). … .3.2.1, n≥0. 
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 
 !
!
kn
nAkn 
 , n≥k>0. 
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: 
 !!
!
knk
nC kn 
 , n≥k≥0. 
4. Quy ước n!=0!=1. 
5. Nhị thức Newton 
  nnnnnnnnnnnnnnn
n bCabCbaCbaCbaCaCba   11222222110  . 
Công thức số hạng tổng quát: kknknk baCT

 1 , 0≤k≤n. 
B. BÀI TẬP 
1. (CĐ_Khối D 2008) 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
18
5
12 






x
x , (x>0). 
ĐS: 6528 
2. (ĐH_Khối D 2004) 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
7
4
3 1







x
x với x>0. 
ĐS: 35 
3. (ĐH_Khối A 2003) 
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x





  53
1 , biết rằng 
 37314   nCC nnnn , (n nguyên dương, x>0, ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
ĐS: 495 
4. (ĐH_Khối D 2005) 
Tính giá trị biểu thức 
 !1
3 34 1


 
n
AAM nn , biết rằng 14922 2 4
2
3
2
2
2
1   nnnn CCCC (n là số nguyên 
dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và 
k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử) 
ĐS: 
4
3
M 
5. (ĐH_Khối A 2006) 
Lại Văn Long Trường ThPT Lê Hoàn Web:  
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x





  74
1 , biết rằng 
122012
2
12
1
12  
n
nnn CCC  , (n nguyên dương và knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
ĐS: 210 
6. (ĐH_Khối D 2008) 
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048122
3
2
1
2 
n
nnn CCC  . ( knC là số tổ hợp chập k 
của n phần tử). 
ĐS: n=6 
7. (ĐH_Khối D 2007) 
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. 
ĐS: 3320 
8. (ĐH_Khối D 2003) 
Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa thức của 
(x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 
ĐS: n=5 
9. (ĐH_Khối D 2002) 
Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C     . 
ĐS: n=5 
10. (ĐH_Khối B 2008) 
Chứng minh rằng k
n
k
n
k
n CCCn
n 111
2
1
1
11











 (n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp 
chập k của n phần tử). 
 
11. (ĐH_Khối B 2007) 
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 
3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k 
của n phần tử). 
 
ĐS: 22 
12. (ĐH_Khối B 2006) 
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con 
gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. 
ĐS: k=9 
13. (ĐH_Khối B 2003) 
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn
n
nnn Cn
CCC
1
12
3
12
2
12 123120








 , ( knC là số tổ hợp 
chập k của n phần tử). 
ĐS: 
1
23 11

 
n
nn
 
14. (ĐH_Khối B 2002) 
Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có 
các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n 
điểm A1A2…An, tìm n. 
ĐS: n=8 
15. (ĐH_Khối A 2008) 
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức 
4096
22
1
0  n
naaa  . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an. 
ĐS: a8=126720 
Lại Văn Long Trường ThPT Lê Hoàn Web:  
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5
16. (ĐH_Khối A 2007) 
Chứng minh rằng 
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n
     

 , ( knC là số tổ hợp chập k của n 
phần tử). 
 
17. (ĐH_Khối A 2005) 
Tìm số nguyên dương n sao cho 
  20052.122.42.32.2 12 1224 1233 1222 121 12   nnnnnnn CnCCCC  , ( knC là số tổ hợp chập k của 
n phần tử). 
ĐS: n=1002 
18. (ĐH_Khối A 2004) 
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. 
ĐS: 238 
19. (ĐH_Khối A 2002) 
Cho khai triển nhị thức 
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CCCC 


























































3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
032
1
22222222  
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và 
x. 
ĐS: n=7, x=4 
20. Cho số phức z=1+i. 
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. 
b. Tính các tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5… 
21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250. 
o0o