Chuyên đề Sử dụng hàm số tìm điều kiện nghiệm của phương trình vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ
SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực .
Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của .
Các bước giải tổng quát:
i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2: .
Chú ý:
i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem (miền xác định của f(x)).
ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x).
iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT.
4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).
II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình (1)
1) có nghiệm thực,	2) có 1 nghiệm thực,	3) có 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
(1) 
Đặt , với ta có:
Bảng biến thiên 
 x 1 
 y 2 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1) ,	2) ,	3) .
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình (2) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , (2) trở thành:
.
Do nên (2) có nghiệm .
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình (3) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , (3) trở thành .
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t, ta có .
Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót.
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình (4) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , (4) trở thành .
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có .
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình (5) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện: .
+ x = 1: (5) vô nghiệm.
+ x > 1: .
Đặt , (5) trở thành .
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình (6)
	1) có nghiệm thực, 	2) có 2 nghiệm phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có (6) 
Đặt 
.
Bảng biến thiên
 x –1 3 
 y’ – + 
 y 
 1 –3
Dựa vào bảng biến thiên:
	1) ,	2) không có m.
Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình (7).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số .
Bảng biến thiên
 x –1 0 1 
 f’(x) + 0 – 
 f(x) 2 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+ : (7) vô nghiệm.
+ m = 2: (7) có 1 nghiệm.
+ : (7) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình (8) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt , ta có (8) trở thành:
.
Lập BBT của hàm số trên [0 ; 9/2] ta có .
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình (9) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt Ta có (9) trở thành:
Lập BBT của hàm số ta có .
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình (10) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt . Ta có (10) trở thành:
+ Lập BBT của hàm số ta suy ra (*) có nghiệm thực .
+ Do nên (**) có nghiệm thực .
Vậy với thì (10) có nghiệm thực.
Bài 11. Tìm m để phương trình (11) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 
Mặt khác 
Ta có (11) trở thành:
Lập BBT của hàm số ta có .
Chú ý: Nên lập BBT của để tìm miền giá trị t.
Bài 12. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Đáp số: .
Bài 13. Tìm m để phương trình (13) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt Ta có:
(13) .
Lập BBT của hàm số trên ta có .
Bài 14. Tìm điều kiện của m để phương trình (14)
	1) có nghiệm thực duy nhất,	2) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14).
Suy ra là nghiệm duy nhất của (14).
Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3. Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất.
Vậy m = 3.
2) Đặt . Ta có (14) trở thành .
Lập BBT của hàm số trên [0 ; 1] ta suy ra .
Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình (15) luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
.
Xét hàm số .
Mặt khác , .
Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là . Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m.
Bài 16. Tìm m để phương trình (16) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện .
+ Với : .
Đặt , (16) trở thành .
+ Với : .
Vậy .
Bài 17. Tìm m để phương trình (17) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số 
.
.
Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2]. Vậy .
Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
 (18) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 
(18) trở thành .
Xét hàm số .
Bảng biến thiên
 x 0 
 y’ 0 – 
 y 1 
Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực 
Bài 19. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình (19).
HƯỚNG DẪN GIẢI
(19) .
Xét hàm số 
.
Giới hạn 
Bảng biến thiên
 x 
 y’ – 0 + 0 –
 y –1 
 1 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có 
+ : (19) vô nghiệm.
+ : (19) có 1 nghiệm.
+ : (19) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài toán 20. Tìm m để phương trình (20) có nghiệm thực .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện .
Ta có (20) .
Lập BBT của hàm số ta suy ra .
Bài 21. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
 (21).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21). Từ đó, để (21) có nghiệm duy nhất thì .
Đặt .
(21) trở thành .
+ m = 0: (nhận).
+ m = 1: 
 (loại).
+ : 
 (nhận).
Vậy .
Bài 22. Tìm m để phương trình (22) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Điều kiện .
Xét hàm số .
Giới hạn 
.
Vậy (22) có nghiệm thực