Chuyên đề Thể tích khối đa diện
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề Thể tích khối đa diện, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
GV: Hoàng Văn Phiên 1 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ÔN TẬP KIẾN THỨC LỚP 8-9-10 A. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Cho tam giác ABC, BC=a: cạnh huyền, AB, AC là 2 cạnh góc vuông, AB=c, AC=b. Đường cao AH=h, BH=c’, CH=b’. Trung tuyến AM. 1. Định lí Py-ta-go: 2 2 2BC AB AC= + 2. 2 2. '. , . '.AB BH BC c a AC CH BC b a= = = = 3. . .AB AC AH BC= 4. 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + 5. BC=2AM 6. , , ,sin cos tan cotAC AB AC ABB B B B BC BC AB AC = = = = 7. . , . ,sin sin sin cosb a B c a C B C= = = B. MỘT SỐ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 1. Định lý hàm số sin: 2 sin sin sin a b c RA B C= = = 2. Định lý hàm số cosin: 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − C. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH 1. Tam giác thường: 1 1 . .sin . ( )( )( ), 2 2 4 2 abc a b cS a h ab C p r p p a p b p c p R + + = = = = = − − − = 2. Tam giác vuông tại A: 1 .2S AB AC= , tam giác đều cạnh a: 2 3 4 aS = 3. Hình vuông ABCD: S= AB.AD 4. Hình chữ nhật ABCD: S= AB.AD 5. Hình thoi ABCD: S= AC.BD/2 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 2 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin 6. Hình thang ABCD(AB//CD): S= h(AB+CD)/2, h là chiều cao hình thang. 7. Hình bình hành: Đáy x chiều cao 8. Tứ giác thường ABCD: 1 . .sin( , )2S AC BD AC BD= 9. Hình tròn: 2 .S Rpi= D. CHÚ Ý: 1. Đường cao tam giác, đường trung tuyến tam giác, đường phân giác, đường trung trực 2. Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác. LỚP 11: A. QUAN HỆ SONG SONG 1. Đường thẳng song song với mặt phẳng: / /( ) ( )a P a P⇔ ∩ = ∅ a. ( ) / / / /( ) ( ) d P d a d P a P ⊄ ⇒ ⊂ , b. / /( ) ( ) / / ( ) ( ) a P a Q d a P Q d ⊂ ⇒ ∩ = , c. ( ) ( ) / /( ) / / / /( ) P Q d a P a d a Q ∩ = ⇒ 2. Hai mặt phẳng song song: ( ) / /( ) ( ) ( )P Q P Q⇔ ∩ = ∅ a. , ( ) ( ) / /( ) / /( ), / /( ) a b P a b I Q P a Q b Q ⊂ ∩ = ⇒ , b. ( ) / /( ) / /( )( ) P Q a Q a P ⇒ ⊂ , c. ( ) / /( ) ( ) ( ) / / ( ) ( ) P Q R P a a b R Q b ∩ = ⇒ ∩ = B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 1. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: ( ) , ( )a P a c c P⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂ a. , ( ) ( ) , a b P a b I d P d a d b ⊂ ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ , b. ( ) '( ) d P d a d a a P ⊥ ⇒ ⊥ ⇔ ⊥ ⊂ ,(ĐL 3 đường vuông góc- d’ là hình chiếu của d trên (P)). 2. Hai mặt phẳng vuông góc: ( ) ( ) ( , ) 90P Q P Q⊥ ⇔ ∠ = a. ( ) ( ) ( )( ) a P P Q a Q ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ , b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), P Q P Q d a Q a P a d ⊥ ∩ = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ , www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 3 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q A P a P A a a Q ⊥ ∈ ⇒ ⊂ ∈ ⊥ , d. ( ) ( ) ( )( ),( ) ( ) P Q a a R P Q R ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ C. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, 1 mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên đường thẳng, mặt phẳng. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng. 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 4. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là đoạn vuông góc chung. D. GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm, a’//a, b’//b. 2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P). 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích hình (H) trên mp(P), S’ là diện tích hình chiếu (H’) của hình (H) trên mp(P’) khi đó: ' . osS S c ϕ= , ( , ')P Pϕ = ∠ . LỚP 12: A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1. Thể tích khối lăng trụ: V=B.h 2. Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc= 3. Thể tích khối lập phương cạnh a: 3V a= 4. Thể tích khối chóp: 1 .3V B h= www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 4 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin 5. Tỉ số thể tích: Tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: ' ' ' ' ' ' V SA SB SCSABC V SA SB SCSA B C = B. CHÚ Ý: 1. Đường chéo của hình vuông cạnh a là 2a 2. Đường chéo của hình lập phương cạnh a là 3a 3. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là 2 2 2a b c+ + 4. Trong tam giác đều cạnh a đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác có độ dài là 32 a , các đường này xuất phát từ 1 đỉnh là trùng nhau. Nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội ngoại tiếp tam giác là trùng nhau, (chú ý đường trung trực). 5. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau. Hình chiếu của đỉnh hình chóp chính là tâm của đáy, đối với đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm, đáy là tứ giác thì tâm là giao 2 đường chéo. 6. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, đáy là đa giác đều. CÁC LOẠI BÀI TẬP A-BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Các bước xác định khoảng cách từ điểm A đến (P): Bước 1: Xác định mp(Q) chứa A, ( ) ( )Q P⊥ , ( ) ( )Q P d∩ = Bước 2: Kẻ đường cao AH d⊥ , H d∈ ( ) ( ,( ))AH P d AHA P⇒ ⊥ ⇒ = Bước 3: Tính AH. Ví Dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy, SA=3a, AB=a, BC=2a, 60ABC∠ = . Tính khoảng cách từ A đến (SBC) VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶT PHẲNG www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 5 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin Giải: Trong tam giác ABC ta dựng đường cao AK, nối SK Do AK là hình chiếu vuông góc của SK lên (ABC) và AK ⊥ BC ⇒ theo định lý 3 đường vuông góc SK ⊥ BC. Trong tam giác SAK kẻ AH ⊥ SK, H thuộc SK ⇒AH ⊥ (SBC) ⇒ ( , )d A SBC AH= Tính AH? Nhận xét thấy tam giác SAK vuông tại A, AH là đường cao nên ta có: 1 1 12 2 2AH AS AK = + SA đã có nên ta chỉ cần tính AK. Xét tam giác ABK vuông tại K, 3sin .sin .sin 60 2 AK aB AK AB B a AB = ⇒ = = = 21 1 4 1 13 9 3 132 2 2 2 2 2 13 139 3 9 3 13( , ) 13 a aAH AH AH a a AH a ad A SBC ⇒ = + ⇔ = ⇔ = ⇒ = ⇒ = KỸ THUẬT RỜI ĐIỂM (♫♫♫♫♫☺) 1. Dời điểm song song: Yêu cầu cần tính ?( ,( ))d M P = Trong đó ( ,( ))d kA P = . Ở đây MA//(P) ( ,( )) ( ,( ))d d kM P A P⇒ = = 2. Dời điểm cắt nhau: Yêu cầu cần tính ?( ,( ))d M P = Trong đó ( ,( ))d kA P = . Ở đây ( )MA P I∩ = ( ,( )) ( ,( )) d M P IM d IAA P ⇒ = , Ví Dụ 2: D-2011. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a, (SBC) vuông góc mặt đáy. Biết SB= 2 3, 30 , ?( ,( ))a SBC d B SAC∠ = = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 6 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin Giải: Nhận xét: Ta thấy (SBC) ⊥ (ABC)⇒ SH ⊥ (ABC), SH là đường cao trong tam giác SBC. Nếu ycbt là tính khoảng cách từ H đến (SAC) thì ta dễ dàng thực hiện tương tự VD trước. Vì vậy ta sẽ sử dụng kĩ thuật rời điểm mà ta nói ở trên. Rõ ràng BH cắt (SAC) tại C nên ta sử dụng kĩ thuật rời điểm cắt nhau. Vậy ta có: ( , ) ( , ) d B SAC CB d CHH SAC = Trong tam giác vuông SHB ta có: cos .cos 2 3. os30 3BHB BH SB B a c aSB= ⇒ = = = 4 3CH BC BH a a a⇒ = − = − = ⇒ 4CBCH = Ta tính khoảng cách từ H đến (SAC). Kẻ HM ⊥ AC, do HM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC) nên theo ĐL 3 đường vuông góc SM ⊥ AC. Trong tam giác SHM kẻ HK ⊥ SM⇒ ( , )d H SAC HK= Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 212 9 3, AC= 16 9 5SH SB BH a a a BA BC a a a= − = − = + = + = . 3 . 3 ~ 5 5 CH MH AB CH a a aCMH CBA MHCA BA AC a∆ ∆ ⇒ = ⇔ = = = 1 1 1 1 1 25 28 3 7 2 2 2 2 2 2 2 143 9 9 3 7( , ) 14 3 7 6 7( , ) 4. 14 7 aHK HK HS HM HK a a a ad H SAC a ad B SAC = + ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = 1. Đoạn vuông góc chung: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. M thuộc a, N thuộc b, MN vuông góc với cả a và b nên MN được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b. 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung. 3. Cách xác định khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau a và b: Bước 1: Xác định (P) chứa b và (P)//a. Bước 2: Lấy A thuộc a sao cho dễ tính khoảng cách từ A đến (P) nhất ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d d da b a P A P⇒ = = Ví Dụ 1: A-2010. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. H là giao điểm cuả MD và NC, biết SH vuông góc đáy, SH= 3a . ?( , )d MD SC = VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 7 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin Giải: Trước tiên ta chứng minh MD ⊥ CN. Thật vậy, do DAM CDN∆ = ∆ nên 1 2C D∠ = ∠ mà 90 901 2 1 1D D D C∠ + ∠ = ⇒∠ + ∠ = 90CHD MD CN⇒∠ = ⇒ ⊥ ⊥ Ta có MD ⊥ SH(gt), MD ⊥ CN suy ra MD ⊥ (SHC) tại H Qua H kẻ đường thẳng HK ⊥ SC, vậy ta có: HK ⊥ SC, HK ⊥ MD⇒ HK là đoạn vuông góc chung của MD và SC Lại có tam giác SHC vuông tại H(gt) ⇒ 1 1 12 2 2HK HS HC = + (1) Trong tam giác vuông CDN có 2 25 52 2 2 2 4 2 a a aCN CD DN a = + = + = = Mà 2 22 2 5 ~ 55 CH CD CD a aCHD CDN CHCD CN CN a ∆ ∆ ⇒ = ⇔ = = = 1 1 5 19 2 57(1) 2 2 2 2 193 4 12 aHK HK a a a ⇒ = + = ⇒ = Ví Dụ 2: A-2011. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a. (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy, M là trung điểm AB. Mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N, .( , ) 60 ?( , )SBC ABC d SN AB∠ = = Giải: Do (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy nên SA ⊥ (ABC), mặt phẳng qua SM, //BC cắt AC tại N mà M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.Qua N dựng đường thẳng Nx//AB⇒AB//(SNx) ( , ) ( , )d AB SN d A SNx⇒ = Qua A kẻ AK ⊥ Nx (K thuộc Nx), trong tam giác SAK kẻ đường cao AH. Ta có Nx ⊥ AK, Nx ⊥ SA⇒ Nx ⊥ (SAK)⇒ Nx ⊥ AH ⇒AH ⊥ SK, AH ⊥ Nx⇒AH ⊥ (SNx) ( , )AH d A SNx⇒ = Ta có tam giác SAK vuông tại A nên: 1 1 12 2 2AH AS AK = + (1) ,2 BCAK MN a= = = ∆ SAB vuông tại A nên ta có: tan .tan 2 .tan 60 2 3SAB SA AB B a a AB = ⇒ = = = 1 1 1 13 2 39 2 39(1) ( , )2 2 2 2 13 1312 12 a aAH d AB SN AH a a a ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 8 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin Ví Dụ 3: A-2012. Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều cạnh a. H thuộc AB sao cho HA=2HB, hình chiếu của S lên (ABC) trùng với H, ( , ) 60 . ?( , )SC ABC d SA BC∠ = = Giải: Qua A dựng đường thẳng Ax//BC, ta có mặt phẳng (SAx) ( , ) ( , ) ( , )d SA BC d BC SAx d B SAx⇒ = = Mà ta thấy H là chân đường cao của hình chóp nên tính khoảng cách đến các mặt là dễ hơn, vì vậy ta sử dụng quy tắc rời điểm từ B sang H. ( , ) 3( ) ( , ) 2 d B SAx ABBH SAx A d H SAx AH∩ = ⇒ = = (*) Ta đi tính ( , )d H SAx =? Kẻ HF ⊥ Ax, trong tam giác SHF kẻ đường cao HJ Ta có AF ⊥ HF, AF ⊥ SH (gt) ⇒AF ⊥ (SHF) ⇒AF ⊥ HJ ⇒HJ ⊥ AF, HJ ⊥ SF⇒HJ ⊥ (SAx). ( , )d H SAx =HJ Do SH ⊥ (ABC) nên tam giác SHF vuông tại H 1 1 12 2 2HJ HF HS ⇒ = + (1) Ta đi tính HF và HS. Trong tam giác AHF có AF//BC nên 601 1A B∠ = ∠ = , 2 2 3 sin .sin sin 601 13 3 3 a FH a aAH A FH AH A AH = ⇒ = ⇒ = = = Trong tam giác AHC có: 22 2 72 2 2 2 22 . .cos ( ) 2. . . os60 =3 3 9 a a aHC AH AC AH AC A a a c= + − = + − 7 3 aHC⇒ = mà tam giác SHC vuông tại H nên ta có: 21tan .tan 60 3 SH aC SH HC HC= ⇒ = = 1 3 3 24 42(1) 2 2 2 2 127 7 aHJ HJ a a a ⇒ = + = ⇒ = 42(*) ( , ) 8 ad B SAx⇒ = 42( , ) 8 ad BC SA⇒ = B-BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1. Đường cao của khối chóp đều a. Khối chóp đều S.ABC => SA=SB=SC=b, ABC là tam giác đều cạnh a. - ( )SH ABC H⊥ ⇔ là tâm đáy. VẤN ĐỀ 1: ĐƯỜNG CAO CỦA KHỐI ĐA DIỆN www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 9 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin - 2 2 2 2 3 aSH h SA AH b = = − = − - Chú ý: 2 2 3 3 3 3 2 3 a aAH AM− = = = , 3 2sin 32sin 60 BC a aAH R A − = = = = If a b SABC− = ⇒ là tứ diện đều 2 26 1 32 , . .sin3 3 2 4 a a ah a S AB AC AABC⇒ = − = = =△ b. Khối chóp đều S.ABCD =>SA=SB=SC=SD=b, ABCD là hình vuông cạnh a. - ( )SI ABCD I⊥ ⇔ là tâm đáy, I AC BD= ∩ - 2 22 2 aSI h b = = − 2. Đường cao của khối chóp không đều. a. Nếu khối chóp S.ABC có 3 cạnh bên SA=SB=SC=b thì ( ...) ,SH ABC HA HB HC R R⊥ ⇔ = = = là bán kính đường tròn (ABC). Hệ quả: Nếu 3 đường xiên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau. 2 2 2 , cos2sin 2 . 2sin 1 cos do sin 0 BC AB AC BCR AA AB AC A A A + − = = ⇒ = − > 2 2 2 2h SH SA HA b R= = − = − b. Nếu khối chóp S.ABC có mặt bên vuông góc với đáy, giả sử (SAB) ⊥ (ABC) ( ...) 2 2 2S .sin ,cos 2 . 2sin 1 cos SH AB SH ABC A AB SBSH h SA A A AS AB A A − ⊥ ⇒ ⊥ + − − = = = ⇒ = − c. Nếu khối chóp S.ABC có hai mặt bên cắt nhau vuông góc đáy, giả sử (SAB), (SAC) ⊥ (ABC) =>SA ⊥ (ABC) => SA=h 3. Đường cao của khối lăng trụ, khối hộp. a. Nếu là hình lăng trụ đứng, hình hộp đứng, hình lăng trụ đều => đường cao bằng độ dài cạnh bên. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 10 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin b. Nếu là hình lăng trụ, hình hộp không đứng ta tìm đường cao giống hình chóp không đều (các TH tương tự). Đó là, ta sẽ tính chiều cao từ 1 đỉnh của mặt đáy này đến mặt kia (chú ý chọn đỉnh nào cho tính dễ nhất). => Vậy, tính chiều cao hình chóp là cái cơ bản để ta tính chiều cao hình lăng trụ.☺ Ví Dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh a. SA=a, 60 . V ? . SAB SAD BAD S ABCD∠ = ∠ = ∠ = = Giải: Do 60SAB SAD SA SB SD∠ = ∠ = ⇒ = = Vậy nên chân đường cao hạ từ đỉnh S sẽ nằm trên tâm của tam giác BAD. Mà BAD∆ đều cạnh a, nên tâm của BAD∆ sẽ chính là trọng tâm H của tam giác. Ta có: 3, 2. 2. 32 aBD a AC AO a= = = = ⇒ 21 3 .2 2 aS AC BDABCD = = Xét BAD∆ có 2 33 3 aAH AO= = Xét tam giác SHA có 3 62 2 2 2( )3 3 a aSH SA AH a= − = − = 2 31 1 6 3 2 . . . . . 3 3 3 2 6 a a aV SH SS ABCD ABCD⇒ = = = Ví Dụ 2: D-2008. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, B. AB=BC=a, AD=2a, (SAD) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAD vuông tại S, SA=a. Tính V ? .S ABCD = Giải: Do ABCD là hình thang vuông nên: ( ) 21 3.2 2 aS AD BC ABABCD = + = Tam giác SAD vuông tại S mà 1 2SA AD= , suy ra 30SAD∠ = . Ta có: 2 2 2 24 3SD AD SA a a a= − = − = Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH 1 3 2 2 2 31 1 3 3 3 . . . . . 3 3 2 2 4 aSH SD a a aV SH SS ABCD ABCD ⇒ = = ⇒ = = = www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: Hoàng Văn Phiên 11 SĐT: 0979 493 934 Ppk43a@gmail.com- Ngu dốt không đáng thẹn bằng kẻ thiếu ý chí học tập- B.Franklin Ví Dụ 3: Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D , đáy là hình vuông cạnh a. Các mặt bên là hình thoi, biết ' ' ' 60 .AA B AA D∠ = ∠ = Tính ? . ' ' ' ' VABCD A B C D = Giải: Do các mặt bên là hình thoi nên ' ' ' ' 'A A A B A D= = Mà ' ' ' 60 .AA B AA D∠ = ∠ = ' ', ' 'A AB A AD⇒ ∆ ∆ là các tam giác đều cạnh a. Vậy AA’=AB’=AD’=a suy ra chân đường cao hạ từ đỉnh A của hình lăng trụ chính là tâm của tam giác A’B’D’. Mà tam giác A’B’D’ vuông tại A’ nên tâm của tam giác A’B’D’ chính là trung điểm H của B’D’. Có: 2 2 22 2 2 2 ' ' ' ( )2 2 2 a a aA H AH AA A H a= ⇒ = − = − = , 2 ' ' ' ' S aA B C D = 32 22 . . . ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 a aV AH S aABCD A B C D A B C D⇒ = = = Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: ' ' ' ' ' ' V SA SB SCSABC V SA SB SCSA B C = Ví Dụ 1: Olympic Toán 30-4. Cho hình chóp S.ABC, SA=a, SB=b, SC=c, 60BSA BSC CSA∠ = ∠ = ∠ = . Tính ? . VS ABC = Giải: Giả sử a <b <c. Trên SB, SC lấy các điểm B’, C’ sao cho: SB’=SC’=SA=a, lại có 60BSA BSC CSA∠ = ∠ = ∠ = ⇒S.AB’C’ là hình chóp đều cạnh a. Gọi H là trọng tâm tam giác AB’C’ nên SH chính là đường cao của hình chóp S.AB’C’ 3 62 2 2 2( )3 3 a aSH SA AH a⇒ = − = − = 2 31 1 6 3 2 . . . . ' ' ' '3 3 3 4 12 a a aV SH SS AB C AB C⇒ = = = . Lại có: 2 . '. ' 2 . ' ' . . . ' ' 2. . 12 . V SA SB SC a bc abcS AB C V VS ABC S AB CV SA SB SC bc aS ABC = = ⇒ = = VẤN ĐỀ 2: TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com
File đính kèm:
The-tich-khoi-da-dien-HV.pdf
