Chuyên đề Tích phân

Lại Văn Long web:  
 1 
Chuyên đề 
TÍCH PHÂN 
CƠNG THỨC 
Bảng nguyên hàm 
Nguyên hàm của những 
hàm số sơ cấp thường gặp 
Nguyên hàm của những hàm số 
thường gặp 
Nguyên hàm của những 
hàm số hợp 
Cxdx  
 1
1
1




 

 Cxdxx 
 0ln  xCxx
dx 
Cedxe xx  
 10
ln
 aCa
adxa
x
x 
Cxxdx  sincos 
Cxxdx  cossin 
Cxdx
x
 tancos
1
2
 
Cxdx
x
 cotsin
1
2 
    Cbax
a
baxd 
1 
    
1
1 1





 

 Cbax
a
dxbax
 0ln1 
 xCbaxabax
dx 
Ce
a
dxe baxbax  
1 
    Cbax
a
dxbax  sin
1cos 
    Cbax
a
dxbax  cos
1sin 
 
  Cbax
a
dx
bax

 tan
1
cos
1
2
 
 
  Cbax
a
dx
bax

 cot
1
sin
1
2
 
Cudu  
 1
1
1




 

 Cuduu
 0ln  uCuu
du 
Cedue uu  
 10
ln
 aCa
adxa
u
u
Cuudu  sincos 
Cuudu  cossin 
Cudu
u
 tancos
1
2
 
Cudu
u
 cotsin
1
2 
 
I. ĐỔI BIẾN SỐ 
 
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 
 
1. Đổi biến số dạng 2 
Để tính tích phân 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx . 
Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)          . 
Bước 3. 
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt


  . 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2e
e
dx
I
x ln x
  . 
Giải 
Đặt 
dx
t ln x dt
x
   
2x e t 1, x e t 2      
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
    . 
Vậy I ln 2 . 
 Ví dụ 8. Tính tích phân 
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)

  . 
Lại Văn Long web:  
 2 
Hướng dẫn: 
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
 
 
   . Đặt t tan x 1  
ĐS: 3I
8
 . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
   . 
Hướng dẫn: 
Đặt t 2x 3  
ĐS: 
3
I ln
2
 . 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
1
0
3 x
I dx
1 x
  . 
Hướng dẫn: 
Đặt 
3 2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x (t 1)
 
  ; đặt t tan u  
ĐS: I 3 2
3
   . 
Chú ý: 
Phân tích 
1
0
3 x
I dx
1 x
  , rồi đặt t 1 x  sẽ tính nhanh hơn. 
2. Đổi biến số dạng 1 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt . 
Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t       . 
Bước 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
 
 
    . 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
2
2
0
1
I dx
1 x

 . 
Giải 
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
         
1
x 0 t 0, x t
2 6
      
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t1 sin t
 
  
 
6
6
0
0
dt t 0
6 6

       . 
Vậy I
6
 . 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
2
2
0
I 4 x dx  . 
Lại Văn Long web:  
 3 
Hướng dẫn: 
Đặt x 2 sin t 
ĐS: I   . 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
1
2
0
dx
I
1 x
  . 
Giải 
Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
         
 
x 0 t 0, x 1 t
4
      
4 42
2
0 0
tan t 1
I dt dt
41 tan t
 
    
  . 
Vậy I
4
 . 
Ví dụ 4. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2

   . 
Hướng dẫn: 
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
 
      . 
Đặt x 1 tan t  
ĐS: I
12
 . 
Ví dụ 5. Tính tích phân 
2
2
0
dx
I
4 x

 . 
ĐS: I
2
 . 
Ví dụ 6. Tính tích phân 
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2

   . 
ĐS: I
12
 . 
3. Các dạng đặc biệt 
3.1. Dạng lượng giác 
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 
2
2 3
0
I cos x sin xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t cos x 
ĐS: 2I
15
 . 
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 
2
5
0
I cos xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t sin x 
ĐS: 8I
15
 . 
Lại Văn Long web:  
 4 
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 
2
4 2
0
I cos x sin xdx

  . 
Giải 
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
 
  
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos2x sin 2xdx
16 4
 
    
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
 
   
3 2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32

        . 
Vậy I
32
 . 
Ví dụ 14. Tính tích phân 
2
0
dx
I
cos x sin x 1

   . 
Hướng dẫn: 
Đặt 
x
t tan
2
 . 
ĐS: I ln 2 . 
Biểu diễn các hàm số LG theo tan
2
at  : 
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t ta a a
t t t

  
  
 
3.2. Dạng liên kết 
Ví dụ 15. Tính tích phân 
0
xdx
I
sin x 1

  . 
Giải 
Đặt x t dx dt      
x 0 t , x t 0        
 0
0
( t)dt t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1


           
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
        
   2 20 0
dt dt
tt t2 4 cossin cos 2 42 2
    
 
2 00
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
 
                      
 . 
Vậy I   . 
 
Tổng quát: 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
   . 
Ví dụ 16. Tính tích phân 
2 2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x

  . 
Giải 
Đặt x t dx dt
2
     
Lại Văn Long web:  
 5 
x 0 t , x t 0
2 2
       
 
   
20070
2007 2007
2
sin t
2I dx
sin t cos t
2 2

 
      
2 2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t

  (1). 
Mặt khác 
2
0
I J dx
2

   (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4
 . 
Tổng quát: 
2 2n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
 
      . 
Ví dụ 17. Tính tích phân 
6 2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x

  và 
6 2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x

  . 
Giải 
I 3J 1 3   (1). 
 
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2sin x 3 cos x sin x
3
 
      
Đặt t x dt dx
3
     1I J ln 3
4
  (2). 
Từ (1) và (2) 3 1 3 1 1 3I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
     . 
Ví dụ 18. Tính tích phân 
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
  . 
Giải 
Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt    
x 0 t 0, x 1 t
4
      
 
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
 
    
  . 
Đặt t u dt du
4
     
t 0 u , t u 0
4 4
       
04
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du
4


                 
 
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
 
                   
Lại Văn Long web:  
 6 
 
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
 
      . 
Vậy I ln2
8
 . 
Ví dụ 19. Tính tích phân 
4
x
4
cos x
I dx
2007 1


  . 
Hướng dẫn: 
Đặt x t  
ĐS: 
2
I
2
 . 
 
Tổng quát: 
Với a > 0 , 0  , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn  ;   thì 
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
 

  . 
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên  và thỏa f( x) 2f(x) cos x   . 
Tính tích phân 
2
2
I f(x)dx


  . 
Giải 
Đặt 
2
2
J f( x)dx


  , x t dx dt     
x t , x t
2 2 2 2
           
 
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
 
  
           
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
 

    . 
Vậy 2I
3
 . 
 
3.3. Các kết quả cần nhớ 
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a
a
f(x)dx 0

 . 
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx

  . 
iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 
Lại Văn Long web:  
 7 
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
, 
n !!cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n !! 2
       
 
nếu n lẻ
 nếu n chẵn
. 
Trong đĩ 
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;      
6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10     . 
Ví dụ 21. 
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693

   . 
Ví dụ 22. 
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512

     . 
 
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
1. Cơng thức 
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta cĩ 
   / / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx     
 
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv        
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu         . 
Cơng thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu   (1). 
Cơng thức (1) cịn được viết dưới dạng: 
b b
b/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx   (2). 
2. Phương pháp giải tốn 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
f(x)g(x)dx ta thực hiện 
Cách 1. 
Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân 
/du u (x)dx khơng quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu phải tính được. 
Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả. 
Đặc biệt: 
i/ Nếu gặp 
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx   với P(x) là đa thức thì đặt 
u P(x) . 
ii/ Nếu gặp 
b
a
P(x) ln xdx thì đặt u ln x . 
Cách 2. 
Lại Văn Long web:  
 8 
Viết lại tích phân 
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx  và sử dụng trực tiếp cơng thức (2). 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
1
x
0
I xe dx  . 
Giải 
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
        
 (chọn C 0 ) 
1 1
11x x x x
0 0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1       . 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
e
1
I x ln xdx  . 
Giải 
Đặt 
2
dx
duu ln x x
dv xdx x
v
2
       
 
e ee2 2
11 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
     . 
Ví dụ 3. Tính tích phân 
2
x
0
I e sin xdx

  . 
Giải 
Đặt x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
        
 
2 2
x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
 
 
       . 
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
         
 
2 2
x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
 

        
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2

        . 
Chú ý: 
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 
Ví dụ 7. Tính tích phân 
2
4
0
I cos xdx

  . 
Hướng dẫn: 
Đặt t x
2
0
I 2 t cos tdt 2

       . 
Lại Văn Long web:  
 9 
Ví dụ 8. Tính tích phân 
e
1
I sin(ln x)dx  . 
ĐS: (sin1 cos1)e 1I
2
  . 
 
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Phương pháp giải tốn 
1. Dạng 1 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) dx  , ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) cĩ BXD: 
 
x a 1x 2x b 
f(x)  0  0  
 
Bước 2. Tính 
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx       . 
Ví dụ 9. Tính tích phân 
2
2
3
I x 3x 2 dx

   . 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 3 1 2 
2x 3x 2   0  0 
   
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
        . 
Vậy 59I
2
 . 
Ví dụ 10. Tính tích phân 
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx

   . 
ĐS: I 2 3 2
6
   . 
2. Dạng 2 
Giả sử cần tính tích phân  
b
a
I f(x) g(x) dx  , ta thực hiện 
Cách 1. 
Tách  
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx      rồi sử dụng dạng 1 ở trên. 
Cách 2. 
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 
Ví dụ 11. Tính tích phân  
2
1
I x x 1 dx

   . 
Giải 
 
Lại Văn Long web:  
 10
Cách 1. 
 
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
  
        
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
 
          
0 2 1 22 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2 
                    . 
Cách 2. 
Bảng xét dấu 
x –1 0 1 2 
x – 0 +  + 
x – 1 – – 0 + 
     
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx

            
  120 21 10x x x x 0      . 
Vậy I 0 . 
3. Dạng 3 
Để tính các tích phân  
b
a
I max f(x), g(x) dx  và  
b
a
J min f(x), g(x) dx  , ta thực hiện 
các bước sau: 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)  trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. 
+ Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) f(x) và  min f(x), g(x) g(x) . 
+ Nếu h(x) 0 thì  max f(x), g(x) g(x) và  min f(x), g(x) f(x) . 
Ví dụ 12. Tính tích phân  
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx   . 
Giải 
Đặt    2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3       . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 4 
h(x) + 0 – 0 + 
     
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
         . 
Vậy 80I
3
 . 
Ví dụ 13. Tính tích phân  
2
x
0
I min 3 , 4 x dx  . 
Giải 
Đặt  x xh(x) 3 4 x 3 x 4      . 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 
 
1 2 21x 2
x
0 10 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
            . 
Lại Văn Long web:  
 11
Vậy 2 5I
ln 3 2
  . 
 
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phương pháp giải tốn 
1. Dạng 1 
Để chứng minh 
b
a
f(x)dx 0 (hoặc 
b
a
f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 ) với 
 x a; b  . 
Ví dụ 14. Chứng minh 
1
3 6
0
1 x dx 0  . 
Giải 
Với  
1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0         . 
2. Dạng 2 
Để chứng minh 
b b
a a
f(x)dx g(x)dx  ta chứng minh f(x) g(x) với  x a; b  . 
Ví dụ 15. Chứng minh 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
 
   . 
Giải 
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
          
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
        . 
Vậy 
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
 
   . 
3. Dạng 3 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B  ta thực hiện các bước sau 
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M  . 
Bước 2. Lấy tích phân 
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B      . 
Ví dụ 16. Chứng minh 
1
2
0
2 4 x dx 5   . 
Giải 
Với   2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5         . 
Vậy 
1
2
0
2 4 x dx 5   . 
Ví dụ 17. Chứng minh 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x


   . 
Giải 
Lại Văn Long web:  
 12
Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
          
 
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
       
   
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 43 2 sin x


        . 
Vậy 
3
4
2
4
dx
4 23 2 sin x


   . 
Ví dụ 18. Chứng minh 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3


  . 
Giải 
Xét hàm số cotxf(x) , x ; 
x 4 3
       
 ta cĩ 
2
/
2
x
cotx
sin xf (x) 0 x ; 
4 3x
           
 
   f f(x) f x ; 3 4 4 3            
3 cotx 4
 x ; 
x 4 3
            
 
3
4
3 cotx 4
dx
3 4 x 3 4


                      . 
Vậy 
3
4
3 cotx 1
dx
12 x 3


  . 
4. Dạng 4 (tham khảo) 
Để chứng minh 
b
a
A f(x)dx B  (mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện 
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho 
 
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
      

. 
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho 
 
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
      

. 
Ví dụ 19. Chứng minh 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
 
 . 
Lại Văn Long web:  
 13
Giải 
Với 2007 22 1x 0; : 0 x x
2 2
        
 
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2 1 x 1 x
        
 
 
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
  
    . 
Đặt x sin t dx cos tdt   
2
x 0 t 0, x t
2 4
      
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 41 x

  
  . 
Vậy 
2
2
2007
0
2 dx
2 41 x
 
 . 
Ví dụ 20. Chứng minh 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
  
  . 
Giải 
Với   2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1        
2
x x x
3 1 2 1x 2 1
    
 
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1x 2 1
       . 
Vậy 
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2x 2 1
  
  . 
 
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
 
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
1. Diện tích hình thang cong 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường 
y f(x), x a, x b   và trục hồnh là 
b
a
S f(x) dx  . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) dx . 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e   và Ox. 
Giải 
Do  ln x 0 x 1; e   nên 
 
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1      . 
Vậy S 1 (đvdt). 
Lại Văn Long web:  
 14
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3      và Ox. 
Giải 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 
y – 0 + 0 
 
   
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx          
1 33 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
                      . 
Vậy 8S
3
 (đvdt). 
2. Diện tích hình phẳng 
2.1. Trường hợp 1. 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x), x a, x b    là 
b
a
S f(x) g(x) dx  . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. 
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 
b
a
f(x) g(x) dx . 
2.2. Trường hợp 2. 
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y f(x), y g(x)  là S f(x) g(x) dx


  . Trong đĩ ,   là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất 
của phương trình f(x) g(x)  a b     . 
Phương pháp giải tốn 
Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) . 
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn  ;   . 
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx


 . 
 
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    , 
x 0, x 2  . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        
h(x) 0 x 1 x 2 x 3       (loại). 
Bảng xét dấu 
x 0 1 2 
h(x) – 0 + 0 
 
   
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx          
1 24 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
                      . 
Lại Văn Long web:  
 15
Vậy 5S
2
 (đvdt). 
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x    . 
Giải 
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6        
h(x) 0 x 1 x 2 x 3       . 
Bảng xét dấu 
x 1 2 3 
h(x) 0 + 0 – 0 
   
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx         
2 34 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
                     . 
Vậy 1S
2
 (đvdt). 
Chú ý: 
Nếu trong đoạn  ;   phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta cĩ thể dùng 
cơng thức  f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
 
 
    . 
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x  . 
Giải 
Ta cĩ 3x 4x x 2 x 0 x 2        
   
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx

      
0 24 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
                 . 
Vậy S 8 (đvdt). 
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3   và trục hồnh. 
Giải 
Ta cĩ 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0         
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
                
 
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx

        
   
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
          
  
1 33 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
                      
. 
Vậy 16S
3
 (đvdt). 
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3   và y x 3  . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2x 4x 3 x 3    
Lại Văn Long web:  
 16
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
                 
. 
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 5 
2x 4x 3  + 0 – 0 + 
     
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx           
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
                              . 
Vậy 109S
6
 (đvdt). 
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5    . 
Giải 
Phương trình hồnh độ giao điểm 
2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0         
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5 x 3
t 3
t 1 t 5
                     
 
   
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

          
Bảng xét dấu 
x 0 1 3 
2x 1 – 0 + 
   
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx         
1 33 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
                    . 
Vậy 73S
3
 (đvdt). 
 
Chú ý: 
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì khơng cĩ). 
 
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 
1. Trường hợp 1. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường  y f(x) 0 x a;b    , y 0 , 
x a và x b (a b)  quay quanh trục Ox là 
b
2
a
V f (x)dx  . 
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình trịn 2 2 2(C) : x y R  quay quanh Ox. 
Giải 
Hồnh độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R    . 
Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x     
Lại Văn Long web:  
 17
   
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx

        
R3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
        . 
Vậy 
34 R
V
3
 (đvtt). 
2. Trường hợp 2. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường  x g(y) 0 y c;d    , x 0 , 
y c và y d (c d)  quay quanh trục Oy là 
d
2
c
V g (y)dy  . 
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
  quay quanh Oy. 
Giải 
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 
2
2
y
1 y b
b
    . 
Phương trình 
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
     
b b2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
                    
R2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
33b
        . 
Vậy 
24 a b
V
3
 (đvtt). 
3. Trường hợp 3. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x)  , x a và 
 x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b )      quay quanh trục Ox là 
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx   . 
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay 
quanh Ox. 
Giải 
Hồnh độ giao điểm 
4
x 0 x 0
x 1x x
       
. 
 
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx        
  15 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
    . 
Vậy 3V
10
 (đvtt). 
4. Trường hợp 4. 
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y)  , y c và 
 y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d )      quay quanh trục Oy là 
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy   . 
Lại Văn Long web:  
 18
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5   , x 3 y  
quay quanh Oy. 
Giải 
Tung độ giao điểm 2
y 1
y 5 3 y
y 2
       
. 
   
2
2 22
1
V y 5 3 y dy

       
 
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy

     
25 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
          
. 
Vậy 153V
5
 (đvtt). 
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 
1. Tính I=  
1
10
0
1 x dx Áp dụng kết quả đĩ hãy tính tổng sau: 1 2 1010 10 10
1 1 11 ...
2 3 11
    S C C C 
2. Tính:  
1
19
0
1I x x dx  . Áp dụng kết quả đĩ hãy tính tổng sau: 
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1...
2 3 4 20 21
S C C C C C     . 
3. Chứng minh rằng:
1
1 21 1 1 2 11 ...
2 3 1 1
n
n
n n nC C Cn n
 
    
 
 
 
BÀI TẬP TỰ GIẢI 
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin cos
sin cos
x x
x x


, biết rằng ln 2
4
F   
 
  
2. Tính các tích phân sau: 
 A=
2
1
2 5- 7e x x dx
x

 B=
2
2
-2
-1x dx C=
2
0
2 ln 2x dx 
3. Tính các tích phân sau: 
A=
3
3 cos
0
sinxe xdx

 B=
4
1
lne xdx
x
 C*=
2 3
2
5 4
dx
x x 
 D*=
2
1 1 -1
x dx
x
 
4. Tính các tích phân sau: 
I=
1
sin(ln )e x dx
x
 J= 4
2
6
sin cot
dx
x x


 K=
10
1
lg xdx 
L=
ln 5
ln 3 2 3
x x
dx
e e 
 M=
2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
xdx
x x


 N=
2
2
1 - 9
dx
x
 
 C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x dx
x


 
5. Tính các tích phân sau: 
Lại Văn Long web:  
 19
A=
1
2
0 4 -
dx
x
 B= 3
2
3 3
dx
x 
 C=
4
2
0
16 - dxx 
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e dx
e
 E=
3
2
2
2
1
dx
x 
 
6. Tính các tích phân sau: 
A=
2
1
lne x dx
x
 B*=
2
0
sin
1 cos
x x dx
x


 C*=
2
2
1
ln x dx
x
 
D*=
1
cos(ln )
e
x dx

 E=
2 4
3
1
3 2x x dx
x

 
1 2
*
4
1
1
1
xF dx
x


 
7. Tính: 
A=
4
2
0
cos xdx

 B=
2
3
0
cos xdx

 C=
1
0
xxe dx D=
4
1
xe dx
x
 
 E=
2
1
lnx xdx 
F=
1
ln 1e x dx
x

 G=
2
2
0
1 2x x dx H=
4
0
1 2x xdx I=