Chuyên đề Tích phân lớp 12

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
A./	CÔ SÔÛ LYÙ THUYEÁT : 
 Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
	1/	ÑÒNH NGHÓA : 
 Nếu F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn thì tích phaân cuûa f(x) treân ñoaïn 
ñöôïc xaùc ñònh bôûi: 	 = F(x) = F(b) - F(a) (1) . 
Chuù yù : Tích phaân chæ phuï thuoäc vaøo f , a , b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùc kí hieäu bieán soá tích phaân, vì vaäy maø ta coù theå vieát : = = = ...... 
	2/	CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH : 
	 ; = - ; = k. ( k laø haèng soá ) 	 
 = ; = + ( Vôùi a c b ).
Neáu f(x) 0 x thì 0 .	 
Neáu f(x) g(x) x thì 
Ta luoân coù : . 
Neáu m f(x) M , x thì m(b - a) M( b - a) 
B/ PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN : 
VAÁN ÑEÀ 1 : CAÙCH TÌM TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH 
	I./Công thức tính tích phân: 	 = F(x) = F(b) - F(a) 
VAÁN ÑEÀ 2 : CAÙCH VIEÁT VI PHAÂN HOAÙ TRONG TÍCH PHAÂN 
	I./	Phöông phaùp : 
	Ta ñaõ bieát công thức tính vi phân: df(x) = f’(x).dx 
	Do ñoù muoán tìm tích phaân : I = , ta coù theå laøm theo caùc böôùc sau: 
	+/	 Tìm haøm u(x) naøo ñoù maø ñaïo haøm cuûa u(x) seø coù maët trong caùc haøm 
	+/	 Sau ñoù xem u(x) laø bieán soá tích phaân (khi ñoù x khoâng coøn laø bieán soá nöûa ) .
 Tìm tích phaân môùi theo bieán soá môùi.
II/	Baøi taäp aùp duïng: 
Caâu 1 : Tìm caùc tích phaân sau: a/ b/ .dx	c/ 
	ÑSOÁ : a/ - (1/6).cosx + C 	b/ 16/3	c/ (1/2).ln2x + C.
Caâu 2 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ 	c/ 
	ÑSOÁ : a/ (1/2).ln2 + ln + C b/ (1/cosx) + C 	c/ 2. + C .
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1.	2. 2. 	3. 
 4. 	5. 6. 7. 
 8. 9. 10. 11. 
12.	13. 14. 	15. 
16. 	17. 18. 	19. 
20. 	21. 22. 	22. 
VAÁN ÑEÀ 3 : TÌM TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN ( DAÏNG ÑÔN GIAÛN ) 
I./	Phöông phaùp : 
	Cho tích phaân : I = (1) 
	Ñeå tính tích phaân (1) theo caùch ñoåi bieán, ta coù theå thöïc hieän theo caùc böôùc: 
	Böôùc 1 : 	Ñaët t = (x) dt = ’(x).dx 
	Böôùc 2 : 	Ñoåi caän töông öùng 
	+/ x = a thì t = (a) 
	+/ x = b thì t = (b) 
	Böôùc 3 : 	Khi ñoù tích phaân I ñöôïc vieát laïi I = laø tích phaân caàn tìm.
II/	Baøi taäp aùp duïng : 
	Caâu 1 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 	 
	Caâu 2 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 	
C./ BAØI TAÄP 
Caâu 1 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ c/ 
	ÑSOÁ : a/ 1	b/ ln + C	c/ .......
Caâu 2 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ 	c/ 
	ÑSOÁ : a/ + C	b/ (1/2).tg2x + C 	c/ 1/6 .
Caâu 3 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ 	c/ 
	HD : a/ 4/3	b/ ln + C	c/ Phaân tích töû .......
Caâu 4 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ 	c/ 
	HD : a/ 2 + ...b/ (2/3). + C c/ (1/2).x2 – 2x + ln + C 
Caâu 5 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ , ( m , a) b/ 	c/ 
	HD : a/ .....	b/ (1/3).ln2	c/ 127/14 .
Caâu 6 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ 	c/ 
Caâu 7 : Tìm caùc tích phaân sau : a/ b/ c/ 
	HD : a/ 3/2	b/ (2/3).(2 - 1) 	c/ (1/4)( + 1) .
Caâu 8 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 
	ÑSOÁ : a/ 2()	b/ (1/2).(ln2)2	c/ - 7/2 .
Caâu 9 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ 	b/ 	c/ 
	ÑSOÁ : a/ (1/3e).(e2 - 1) 	 b/ (4/3).( - 1)	c/ ln2 .
	ÑSOÁ : a/ 2()	b/ (1/2).(ln2)2	c/ - 7/2 .
Caâu 10 : Tìm caùc tích phaân sau : 
	a/ ,(a 0 ,m 1) b/ 	c/ 	d/ 	e/ 	f/ 
	HD : a/ Ñaët t = ...	b/ 5 c/ ..........	d/ Ñaët ...	f/ 8 .
VAÁN ÑEÀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
 Công thức tích phân từng phần : hay 
 Tích phân từng phần các hàm số dễ phát hiện u và dv
 @ Dạng 1 Đặt 
 @ Dạng 2: Đặt 
@ Dạng 3: 
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
 a/ đặt b/ đặt 
 c/
 Tính I1 bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 = bằng phương pháp từng phần : đặt 
VAÁN ÑEÀ 5 : TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t  ; +) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = 
+) R(x, ) §Æt t =  ; +) R(x, f(x)) = Víi ()’ = k(ax+b)
	Khi ®ã ®Æt t = , hoÆc ®Æt t = 
+) R(x, ) §Æt x = , t  ; +) R(x, ) §Æt x = , t
+) R Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) §Æt x = tk 
VAÁN ÑEÀ 6: MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: 
	VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [-] tháa m·n f(x) + f(-x) = , 
TÝnh: ; TÝnh 
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0.
VÝ dô: TÝnh:	
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: = 2
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: (1b>0, a)
	VÝ dô: TÝnh: 	
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: 
	VÝ dô: TÝnh	
Bµi to¸n 6: 	
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: 
	VÝ dô: TÝnh	
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1. 	2. 3. 	4. 
5. 6. 7. 8. (tga>0)
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.(A2004): T1 = 2.(B2004): T2 = 3.(D2004): T3 = 
4.(A2005): T4 = 5.(B2005): T5= 6.(D2005): 7. T7 = 8. T8 = 
9. T9 = 10. T10 = 11. T11 = 
12. T12 = 13. T13 = 
 a. TÝnh T13 víi m = 1.
 b. TÝnh T13 theo m víi m < -3.
14.(C§SPA04) T14 = 15.(C§SP B¾c Ninh 2004) T15 = 
16. (C§SP B×nh Ph­íc 2004) T16 = 17. (C§SP Kon Tum 2004) T17 = 
 18. (C§SP Hµ Nam A2004) T18 = 19. (C§SP Hµ Nam A2004) T19 = 
20. (C§ GTVT 2004) T20 = 21. (C§ KTKT I A2004) T21 = 
 22. (C§ A2004) T22 = 
23. (C§ KTKH §µ N½ng 2004) T23 = 24. (C§ 2005) T24 = 
25. (C§ XD sè 3- 2005)
 T25 = 26. (C§ GTVT 2005) T26 = 
27. (C§ KTKT I - 2005) T27 = 28. (C§ TCKT IV - 2005) T28 = 
29. (C§ TruyÒn h×nh A2005) T29 = 30. (C§ SP TP. HCM 2005) T30 = 
31. (C§ KTKT CÇn Th¬ A2005) T31 = 32. (C§ Sp VÜnh Long 2005)T32 = 
33. (C§ SP BÕn Tre 2005) T33 = 
34. (C§ SP Sãc Tr¨ng A2005)T34 = 
35. (C§ SP Sãc Tr¨ng 2005) T35 = 
36.(C§ Céng ®ång VÜnh Long A05) T36 = 
37. (C§ C«ng NghiÖp Hµ Néi 2005)T37 = 
38. (C§ SP Hµ Nam 2005)T38 = 39. (C§ KT TC 2005)T39 = 
40. (C§ SP VÜnh Phóc 2005) T40 = 
41. (C§ SP Hµ Néi 2005) T41 = 
42. (C§ SP Kon Tum 2005) T42 = 
43. (C§ KTKH §µ N½ng 2005) T43 = 
44. (C§ SP Qu¶ng Nam 2005) T44 = 
45. (C§ Y tÕ Thanh Ho¸ 2005) T45 = 
46. (C§ SP Qu¶ng B×nh 2005)
 T46 = 
47. (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2005)
 T47 = 
48. T48 = 
49. T49 = 
50. T50 = 
51. T51 = 
52. T52 = 
53. T53 = 
54. (2002) T54 = 
55. (2002) T55 = 
56.(2002)T56 =
57.T57 =
58. (2002) T58 = 
59. T59 = 
60. T60 = 
61. (B2003) T61 = 
62. T62 = 
63.T63 = 
Dôc hµnh viÔn, tÊt tù nhÜ
64. T64 = 
65. (D2003) T65 = 
66. T66 = 
67. (C§ SP VÜnh Phóc A2002)
 T67 = 
68. (C§ SP Hµ TÜnh A, B2002)
 T68 =
69. (C§ SP Hµ TÜnh AB2002)
 T69 = 
70. (C§ SP KT I 2002)
 Cho In = vµ 
 Jn = 
Víi n nguyªn d­¬ng
a. TÝnh Jn vµ chøng minh bÊt ®¼ng
thøc In 
b. TÝnh In+1 theo In vµ t×m 
71. (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2002)
 T71 = 
72. (C§ SP Nha Trang 2002)
 T72 = 
73. (C§ KTKT H¶i D­¬ng A2002)
 T73 = 
74. (C§ KT Hµ T©y 2002)
 T74 = 
75. (C§ KTKT Th¸i B×nh 2002)
 T75 = 
76. (C§ SP KT Vinh 2002)
 T76 = 
77.(C§ A, D2003) T77 =
78. (C§ M, T 2003)
 T78 = 
79. (C§ GTVT 2003)
 T79 = 
80.(C§ GTVT2003)T80 =
81. (C§ GTVT II 2003)
 Cho hai hµm sè f(x), g(x) x¸c ®Þnh, liªn tôc vµ cïng nhËn gi¸ trÞ trªn ®o¹n [0 ; 1]. Chøng minh:
82. (C§ GTVT II 2003, tham kh¶o)
 T82 = 
83. (C§ TCKT IV 2003) Cho 2 sè nguyªn d­¬ng m, n víi m lµ sè lÎ. TÝnh theo m, n tÝch ph©n:
 T83 = 
84. (C§ TCKT IV tham kh¶o 2003)
a. Cho f(x) lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0 ; 1]. Chøng minh r»ng:
b. B»ng c¸ch ®Æt , h·y tÝnh c¸c tÝch ph©n:
vµ 
85. (C§ KhÝ t­îng thuû v¨n A2003)
 T85 = 
86. (C§ N«ng - L©m 2003)
 T86 = 
87. (C§ SP Phó Thä A2003)
 T87 = 
88. (C§ SP KonTum A2003) B»ng c¸ch ®Æt , h·y tÝch tÝch ph©n:
 T88 = 
89. (C§ SP T©y Ninh 2003)
a. TÝnh tÝch ph©n: T89=
b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè F(t) ®Þnh bëi:
 F(t) = 
90. (C§ SP Trµ Vinh D2003)
a. 
b.