Chuyên đề Tích vô hướng của hai vectơ

CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG


I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN 


1. Định nghĩa
	Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn a = . Giả sử M(x; y).
	sina = y (tung độ)
	cosa = x (hoành độ)
	tana = 	(x ¹ 0)	
	cota = 	(y ¹ 0)
	Chú ý:	– Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
	– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Tính chất
	· Gĩc phụ nhau	· Gĩc bù nhau
	
3. Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

00
300
450
600
900
1800
sina
0



1
0
cosa
1



0
–1
tana
0

1

||
0
cota
 ||	

1

0
||


4. Các hệ thức cơ bản
	
	Chú ý:	.

	
Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) khi x bằng 00; 450; 600.	b) khi x bằng 450; 300.
Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính các giá trị lượng giác cịn lại:
	a) , b nhọn.	b) 	c) 
Biết . Tinh .
Cho biết một giá trị lượng giác của một gĩc, tính giá trị của một biểu thức:
	a) . Tính .	
	b) . Tính 
Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Đơn giản các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
	f) 
Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 

	a) 














II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 


1. Gĩc giữa hai vectơ
	Cho . Từ một điểm O bất kì vẽ . 
	Khi đĩ với 00 £ £ 1800.
	Chú ý:
	+ = 900 Û 	
	+ = 00 Û cùng hướng	
	+ = 1800 Û ngược hướng
	+ 	
2. Tích vơ hướng của hai vectơ
	· Định nghĩa:	.
	Đặc biệt:	.
	· Tính chất:	Với bất kì và "kỴR, ta cĩ:
	+ ;	 ;	
	 ;	 .
	+ ;	 ;	 .
	+ > 0 Û nhọn 	+ < 0 Û tù
 	 = 0 Û vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
	· Cho = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đĩ: 	.
	· ;	;	
	· Cho . Khi đĩ: 	.

	
Cho tam giác ABC vuơng tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vơ hướng:
	a) 	b) 	c) 
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vơ hướng:
	a) 	b) 	c) 
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
	a) Chứng minh:	.
	b) Từ đĩ suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
	.
Cho hai điểm M, N nắm trên đường trịn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
	a) Chứng minh: .
	b) Tính theo R.
Cho tam giác ABC cĩ AB = 5, BC = 7, AC = 8.
	a) Tính , rồi suy ra giá trị của gĩc A.
	b) Tính .
	c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính .
Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	HD: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 0
Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, BC = 4, CA = 3.
	a) Tính , rồi suy ra cosA.
	b) Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính .
	c) Tính giá trị biểu thức S = .
	d) Gọi AD là phân giác trong của gĩc (D Ỵ BC). Tính theo , suy ra AD.
	HD: a) , 	b) 	c) 
	d) Sử dụng tính chất đường phân giác Þ , 
Cho tam giác ABC cĩ AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
	a) Tính BC, AM.	
	b) Tính IJ, trong đĩ I, J được xác định bởi: .
	HD: a) BC = , AM = 	b) IJ = 
 Cho tứ giác ABCD.
	a) Chứng minh .
	b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc là:
	.
 Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
	.	
 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
	a) 	b) 
	c) (O là tâm của hình chữ nhật).
 Cho tam giác ABC cĩ A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
	a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
	b) Tìm toạ độ điểm M biết .
	c) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Cho tam giác ABC cĩ A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
	a) Tính . Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A.
	b) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
	c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
	d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
	e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
	f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
	g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
	h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
	i) Tìm toạ độ điểm T thoả 
	k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
	l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.	
 Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: .
 
	a) 
































III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 


	Cho DABC cĩ:	– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
	– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc 
	– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc 
	– bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
	– nửa chu vi tam giác: p
	– diện tích tam giác: S	
1. Định lí cơsin
	;	;	
2. Định lí sin
	
3. Độ dài trung tuyến
	;	;	
4. Diện tích tam giác
	S = 
	 = 	
	 = 
	 = 
	 = (cơng thức Hê–rơng)

	Giải tam giác là tính các cạnh và các gĩc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

5. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng (nhắc lại)
	Cho DABC vuơng tại A, AH là đường cao.
	· (định lí Pi–ta–go)	
	· ,	
	· ,	
	· 	
	· ; 

6. Hệ thức lượng trong đường trịn (bổ sung)
	Cho đường trịn (O; R) và điểm M cố định. 
	· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. 	
	PM/(O) = 	
	· Nếu M ở ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT. 
	PM/(O) = 

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ;
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu b + c = 2a thì 	b) Nếu bc = a2 thì 
	c) A vuơng Û 	
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi a là gĩc hợp bởi hai đường chép AC và BD. 
	a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi cơng thức: .
	b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác cĩ hai đường chéo vuơng gĩc.
Cho DABC vuơng ở A, BC = a, đường cao AH.
	a) Chứng minh .
	b) Từ đĩ suy ra . 
Cho DAOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, .
	a) Tính các cạnh của DOAK theo a và a.
	b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và a.
	c) Từ đĩ tính theo .
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 

	a) 













BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II

Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
Biết . Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	a) A = 	b) B = 
Cho các vectơ .
	a) Tính gĩc , biết và hai vectơ vuơng gĩc.
	b) Tính , biết .
	c) Tính gĩc , biết .
	d) Tính , biết .
	e) Tính , biết .
Cho tam giác ABC cĩ AB = 3, AC = 4, BC = 6.
	a) Tính và cosA.
	b) M, N là hai điểm được xác định bởi . Tính MN.
Cho hình bình hành ABCD cĩ AB = , AD = 1, .
	a) Tính .
	b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính . 
Cho tam giác ABC cĩ gĩc A nhọn. Về phía ngồi tam giác vẽ các tam giác vuơng cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ^ DE.
Cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK ^ IJ.
Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm N sao cho .
	a) Chứng minh DN vuơng gĩc với MN.
	b) Tính tổng .
 Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta cĩ:
	a) 	b) 
	b) 
 Cho DABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu thì .
	b) Nếu thì .
	c) Nếu thì .
	d) Nếu thì .
 Cho DABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu thì DABC cân đỉnh C.
	b) Nếu thì DABC cân đỉnh B.
	c) Nếu thì DABC cân đỉnh A.
	d) Nếu thì DABC vuơng tại A.
	e) Nếu thì DABC vuơng tại A.
 Cho DABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuơng gĩc với nhau là: .
 Cho DABC.
	a) Cĩ a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.
	b) Cĩ , điểm D thuộc cạnh BC sao cho , DA = 6, . Tính chu vi tam giác ABC.
	HD:	a) MK = 	b) AC = 5, BC = , AB = 10
 Cho một tam giác cĩ độ dài các cạnh là: .
	a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
	b) Khi đĩ chứng minh tam giác ấy cĩ một gĩc bằng .
 Cho DABC cĩ , AQ và CP là các đường cao, .
	a) Tính cosB.	
	b) Cho PQ = . Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp DABC.
	HD:	a) 	b) 
 Cho DABC.
	a) Cĩ , R = 2, I là tâm đường trịn nội tiếp. Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp DACI.
	b) Cĩ , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp DBCM.
	c) Cĩ a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp DBCM.
	HD:	a) R = 2	b) 	c) 
 Cho hai đường trịn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N). Đặt .
	a) Tính AC theo R và a; AD theo r và b.
	b) Tính bán kính của đường trịn ngoại tiếp DACD.
	HD:	a) AC = , AD = 	b) .
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường trịn đường kính AC, BD = a, , .
	a) Tính AC.	b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, a, b.
	HD:	a) AC = 	b) .
 Cho DABC cân đỉnh A, , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD.
	a) Tính BC, AD.	
	b) Chứng tỏ rằng đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosa để bán kính của chúng bằng bán kính R của đường trịn ngoại tiếp DABC.
	HD:	a) BC = , AD = 	b) .

	a)