Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bất đẳng thức

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC
I. Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:
Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm , , ..., . Ta có 
Dấu “=” xảy ra = = ... = .
Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số , ..., và , ..., . Ta có 
( + ... + )( + ... + ) 
Dấu “=” xảy ra = = ... = .
Ví dụ 1. Cho x, y > 0. Tìm min f(x, y) = x + .
Giải.
f(x, y) = x + x + = x + = 8.
Vậy f(x, y) 8. Dấu “=” xảy ra . 
Ví dụ 2. Tìm GTNN của S = với x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Giải.
S = = 
 = .
S .
Dấu “= ” xảy ra .
Ví dụ 3. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của hàm số:
f(A, B, C) = .
Giải.
Ta có:
f(A, B, C) = 1 + + + + + + + 1 + 3 + 3 + = = 27.
 min f = 27 khi tam giác ABC đều.
Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:
1) Tìm min, max của hàm số:
f(x, y, z) = 
Trên D = .
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm min của f(x, y, z ) = .
3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x, y, z) = + + + .
(Đ/s: min f = 30 tại x = y = z = ).
4) Cho ac > 0 và + = . Tìm min của f(a, b, c ) = + .
Ví dụ 3. Tìm min của hàm số:
f(x, y) = + . 
(với a, b, c là các hằng số dương)
Giải.
f(x, y) = a[ + ] + b[ + ] 
= a + b
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:
[(c + d) + (c + d)][ + ] 1
 . Dấu “=” xảy ra = = 
 = .
tương tự: . Dấu “=” xảy ra = .
vậy f(x, y) . Dấu “=” xảy ra = .
min f = khi = .
Bài tập áp dụng Bunhia:
1) Cho x, y, z > 0; x + y + z = . Tìm Min của biểu thức
 	f(x, y, z) = + + .
2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = + .
Trên miền D=.
3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác. Tìm min của biểu thức: 
M = + + .
Ví dụ 4. Cho x, y, z, t . Tìm min của hàm số:
 	f(x, y, z, t) = + + + .
Giải.
Vì x, y, z, t và ta có x – .
Tương tự và cộng vế với vế ta có:
f(x, y, z, t) 2( + + + ) 8 = 8.
 f(x, y, z, t) 8. Dấu “=” x = y = z = t = .
II. Sử dụng các bất đẳng thức khác:
Bất đẳng thức trị tuyệt đối:
 + 
Dấu “=” xảy ra ab > 0.
Ví dụ. Cho , ..., là các hằng số cho trước. Tìm min của biểu thức
T = + + ... + .
Giải. 
Không mất tính tổng quát giả sử ... 
TH1: n = 2k
 + – . Dấu “=” x .
	................................
	 + – . Dấu “=” x .
 T ( + ... + ) – ( + ... + ). Dấu “=” x .
Với n = 2k thì minT = ( + ... + ) – ( + ... + ) tại x .
TH2: n = 2k + 1.
	 + – . Dấu “=” x .
	................................
 + – . Dấu “=” x .
 0. Dấu “=” = 0.
 T ( + ... + ) – ( + ... + ). Dấu “=” = 0.
Với n = 2k + 1 minT = ( + ... + ) – ( + ... + ) khi = 0.