Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất bằng phương pháp lượng giác

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
I. Nội dung phương pháp:
1. Phương pháp:
_ Nội dung của phương pháp này là trong hàm số hay trong biểu thức đại số cần tìm cực trị, bằng cách đặt ẩn phụ là các hàm số lượng giác thích hợp ta đưa về tìm cực trị các hàm số lượng giác cơ bản.
_ Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp:
Nếu biến x: 1 đặt 
Nếu biến x: 1 đặt 
Nếu + = thì đặt [0; 2]
Nếu a + b = 1; a, b 0 thì đặt [0; 2]
Nếu các biến trong hàm số thỏa mãn xy + yz + zx = 1 đặt với 
Nếu biến x R đặt x = hoặc x = .
2. Những điểm cần chú ý:
Khi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện giới hạn cung, góc.
Đối với phương trình dạng asinx + bcosx = c thì điều kiện có nghiệm là + .
Để tính cosna ngoài việc tính dần cos2a, cos3a, ... ta có thể dùng đa thức Trêbưsep như sau:
trong đó = cosnx
(cos(n+2)x = 2x.cos(n+1)x – cosnx)
II. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 
Tìm GTLN của T = a + d; S = a + c.
Giải.
Đặt 	0 , 2
Từ ac + bd 20 20 + 20 20 20 20
Vậy = 1 – = k2 (k Z) = + k2
T = a + d = 5 + 4 = 5 + 4 . = .
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy maxT = khi a = 5 = .
d = 4 = .
S = a + c = 4 + 5 = 9 9.
Vậy maxS = 9 khi a = 5, c = 4.
Ví dụ 2. Cho x, y, z (0; 1) thỏa mãn zy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của:
T = + + .
Giải.
Đặt . Vì x, y, z (0; 1) nên , , (0; )
Từ đó T = + + = ( + + ) với , , (0; )
Từ giả thiết: xy + yz + zx = 1 + + = 1.
Kết hợp với , , (0; ) 2, 2, 2 là số đo 3 góc của 1 tam giác 
 2 + 2 + 2 = + + = .
Do 2, 2, 2 (0; ) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:
 + + 3 = 3
 + + 3
Dấu “=” xảy ra khi mà , , (0; )
 = = = x = y = z = .
Vậy minT = đạt được khi x = y = z = .
Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của y = + + (1 – ) với x [– 1; 1].
Giải.
Đặt x = cost, t [0; ]
y = + + (1 – )
= + + 
= ( + )( – + ) + 
y = + = + 
maxy = 1 cos4t = 1 t = 0 hoặc t = ; t = x = 0 hoặc x = 1
miny = cos4t = – 1 t = hoặc t = x = .
Ví dụ 4. Cho + = 1. Tìm GTLN của P = .
Giải.
Vì + = 1 đặt 	 [0; 2]
Ta có P = 
= 
= ( + ) = 13
Dấu bằng xảy ra khi 
 (tồn tại)
Vậy maxP = 13.
Ví dụ 5. Trong các nghiệm của bất phương trình 1 (1) hãy tìm nghiệm sao cho A = x + y là lớn nhất.
Giải.
(1) 
(I) A > 1
(II) A < 1
Xét hệ (I) ta có (2) – x + – y 0 + 
Ta thấy + = là phương trình đường tròn tâm I(; ) bán kính R = . Vì vậy tập hợp các điểm M(x, y) mà tọa độ là nghiệm của (2) là hình tròn tâm I, bán kính R = .
Đặt 	 r 0;	0 2
Từ đó x + y = r( + ) + 1 = r + 1
 x + y đạt GTLN khi r = ; = 1 = .
max(x + y) = ..1 + 1 = 2. Khi r = ; = .
Ví dụ 6. Tìm GTLN của y = + .
Giải.
y = + 
TH1: x = 0 y = 2
TH2: x = y = 2
TH3: x 0 và x : Do + = 1
nên đặt = cost; = sint
Do x 0 và x 0 < t < .
Khi đó y = + = f(t)
f ’(t) = (– .sint + .cost)ln2
f ’(t) = 0 cost. – sint. = 0 = tgt
 sint – cost = = – 
 sint – = cost – .
Hàm đặc trưng g(u) = u – , 0 < u < 1.
g’(u) = 1 – > 0 u (0; 1) g(u) đồng biến trong (0; 1).
Từ f ’(t) = 0 g(sint) = g(cost) sint = cost t = (0; ).
Bảng biến thiên:
t
0
f ’(t)
+
0
–
f(t)
3
3
Vậy maxy = t = = x = .
Ví dụ 7. Tìm GTLN, GTNN của y = + .
Giải.
Từ điều kiện – 1 x 1 đặt x = với [0; ]
y = + = ( + ) = 2
Vì 0 + 
 1 y 2.
Bài tập áp dụng:
1) Tìm GTLN, GTNN của y = 8x(2 – 1)(8 – 8 + 1) với x [– 1; 1].
2) Tìm GTLN, GTNN của y = 32( – 1) + 1 với 0 x 1.
3) Tìm GTNN của y = + .
4) Tìm GTLN của y = + với 1; n .
5) Tìm GTLN, GTNN của y = .
(HD: đặt x = ).
6) Cho x, y, z, t thỏa mãn hệ sau:
Tìm GTLN của S = x + z; T = x + t.
7) Cho x 1. Tìm GTLN của hàm số f(x) = + .
8) Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 1.
Tìm GTLN của P = x(1 – )(1 – ) + y(1 – )(1 – ) + z(1 – )(1 – ).
(HD: đặt 
 0 < A, B, C < .
Từ đk zy + yz + zx = 1 A, B, C là 3 góc của 1 tam giác.)