Chuyên đề Tổ hợp 11

Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 1 - Ng.S: Văn Phong 
TỔ HỢP 
I. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 
1. Quy tắc cộng 
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, A3...., Ak. Có n1 cách 
lựa chọn phương án 1, n2 cách chọn phương án 2,... và nk cách chọn phương án k. Khi đó công việc đó 
có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + n3 +...+nk cách. 
2. Quy tắc nhân 
 Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, A3...., Ak. Công đoạn A1 có thể thực 
hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,..., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk 
cách. Khi đó công việc đó có thể thực hiện theo n1.n2....nk cách. 
II. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP 
1. Hoán vị 
- Cho tập hợp A có n(n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị 
các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). 
- Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: 
Pn = n! = n(n – 1)(n – 2).....1 = 1.2.3.4.5....n 
2. Chỉnh hợp 
- Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng 
theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A) 
- Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: 
)1)...(2)(1(  knnnnAkn 
Chú ý: 
+) Với 0<k<n thì: 
)!(
!
kn
nAkn 
 
+) Ta quy ước: 0! = 1 và 10 nA 
3. Tổ hợp 
- Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một 
tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). 
- Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: 
!
)1)...(2)(1(
! k
knnnn
k
AC
k
nk
n

 
- Tính chất 1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n. Khi đó knn
k
n CC
 
- Tính chất 2. Cho số nguyên n và k với 1 k n. Khi đó: 11

 
k
n
k
n
k
n CCC (hằng đẳng thức Pascal) 
Các dạng toán ứng dụng. 
Dạng 1: Các bài toán đếm số phương án. 
Dạng 2: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
Dạng 4. Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 2 - Ng.S: Văn Phong 
DẠNG 1. CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN 
Dạng này gồm 3 phần: 
1. Các bài toán liên quan đến số tự nhiên. 
2. Các bài toán liên quan đến yếu tố hình học 
3. Các bài toán đếm thực tế 
1. Các bài toán liên quan đến số tự nhiên. 
Ví dụ 1. Một nhóm học có 15 học sinh. Nhóm cần bầu ra 1 nhóm trưởng, một nhóm phó và một thư ký. 
Biết rằng không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có bao nhiêu cách? 
Giải 
- Có 15 cách chọn nhóm trưởng. 
- Có 14 cách chọn nhóm phó 
- Có 13 cách chọn thư ký. 
Vậy có 15.14.13 = 2730 cách chọn. 
Ví dụ 2. Có 4 tuyến xe bus giữa A và B. Có 3 tuyến giữa B và C. Hỏi: 
a. Có mấy cách đi bằng xe bus từ A qua B và đến C. 
b. Có mấy cách đi rồi về bằng xe bus từ A đến C, qua B. 
c. Có mấy cách đi rồi về bằng xe bus từ A đến C qua B sao cho mỗi tuyến xe bus không đi quá 
một lần? 
Giải 
a. – Có 4 cách đi từ A đến B 
 - Có 3 cách đi từ B đến C. 
 Vậy có 4.3 = 12 cách đi từ A đến C qua B. 
b. – Có 12 cách đi từ A đến C qua B. 
 - Có 12 cách đi về từ C đến A qua B. 
 Vậy có 12.12 = 144 cách đi rồi về từ A đến C qua B. 
c. – Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C. Để tránh đi đường cũ thì chỉ có 2 cách từ C 
quay về B và 3 cách đi từ B về A. 
 Vậy có 4.3.2.3 = 72 cách. 
Ví dụ 3. Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các số đã cho lập được bao nhiêu số đôi một khác nhau 
và: 
a. Gồm 3 chữ số 
b. Gồm 3 chữ số nhỏ hơn 400 
c. Gồm 3 chữ số và chẵn 
d. Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5. 
Giải 
Đặt A = abc 
a. Có 6 cách chọn a. 
 Có 5 cách chọn b. 
 Có 4 cách chọn c. 
 Vậy có 6.5.4 = 120 số 
b. Có 2 cách chọn a (2 hoặc 3). 
 Có 5 cách chọn b. 
 Có 4 cách chọn c. 
 Vậy có 2.5.4 = 40 số 
c. Có 2 cách chọn c (2 hoặc 6) 
 Có 5 cách chọn b. 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 3 - Ng.S: Văn Phong 
 Có 4 cách chọn c. 
 Vậy có 2.5.4 = 40 số 
d. Vì 5A nên có 1 cách chọn c (c = 5) 
 Có 5 cách chọn a 
 Có 4 cách chọn b 
 Vậy có 1.5.4 = 20 số. 
Bài 1. Xét dãy gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) thỏa mãn chữ số ở vị trí 
thứ 3 là chẵn, chữ số cuối cùng không chia hết cho 5, các chữ số 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn. 
Bài 2. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ 0, 4, 5, 7, 8? 
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? 
Bài 4. Cho tập  9,8,7,6,5,4,3,2,1,0E 
1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ E? 
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ E? 
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ khác nhau và phải có mặt chữ số 3 được lập từ E? 
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn được lập từ E? 
5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ E? 
6. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2013 được lập từ E? 
7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 3210 được lập từ E? 
8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ E? 
9. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau, và có chữ số 2 đứng đầu được lập từ E? 
10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 được lập từ E? 
11. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 được lập từ E? 
12. Tính tổng S các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ  9,8,7,6,2,0\EA  
13. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ E? 
14. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 chữ số khác nhau được lập từ E? 
15. Tính tổng S các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ  9,8,7,6,0\EA  
16. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và 3? 
17. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 chữ số khác nhau trong đó có 123 được lập từ E? 
18. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 chữ số khác nhau trong đó các số 1,2,3 cạnh nhau được lập từ E? 
19. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 5 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 6 và 9 được lập từ E? 
20. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số được lập từ E? 
21. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau được lập từ E? 
22. Có bao nhiêu số tự nhiêu có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 5 được lập từ E và các chữ số 
1,2,5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó? 
23. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 5 được lập từ E và các chữ số 
0,3,2,5 đứng cạnh nhau theo thứ tự ấy? 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 4 - Ng.S: Văn Phong 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1 (ĐHQG HCM-99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt 
thoả mãn điều kiện: 
 a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278. 
 c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278. 
 Bài 2 Xét một dãy số gồm 7 chữ số (Mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, 3, 4,9 ) thoả mãn: 
 - Chữ số ở vị trí thứ 3 chẵn. 
 - Chữ số ở vị trí cuối cùng chia hết cho 5. 
 - Các chữ số ở vị trí thứ 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy ? 
 Bài 3 (ĐHCSND99): với 10 chữ số từ 1 đến 9 có thể lập được thành bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số 
khác nhau? 
Bài 4 (ĐH Đà Lạt–D): có 10 chữ cái khác nhau: 
a. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái? 
b. Lập bao nhiêu chữ có 5 chữ cái khác nhau? 
Bài 5 (ĐHSPV99-00): Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu 
số, mỗi số gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và chia hết cho 10. 
Bài 6 (ĐHSPV-2000): Có 5 số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác 
nhau tạo thành từ 5 số đã cho? 
Bài 7 (ĐHYHN99) Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 2, 3, 
6, 9? 
Bài 8 (CĐSPHN) Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng có ghi 1 trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng từ 
5 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái qua phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi lập được bao 
nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn. 
Chú ý: các chữ số đôi một khác nhau do mỗi số chỉ chỉ có một miếng bìa. 
Bài 9 (ĐHQGHCM01) 
 1. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 
 2. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn. 
Bài 10 (ĐHSPHN2): 
 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các 
chữ số khác có mặt một lần từ các chữ số: 1,2,3,4,5,6? 
Bài 11 Với các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 
lần mỗi số khác có mặt 1 lần? 
Bài 12 (ĐHHuế2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ các chữ số đã cho lập được: 
 1. Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một? 
 2. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một. 
 3. Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một. 
Bài 13 Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết 
có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy. 
Bài 14 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số 2 
xuất hiện 2 lần. 
Bài 15 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số? 
Bài 16 Cho A = {1,3,5,6,8}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số trong tập A? 
Bài 17 Cho A = {0,1,2,3,5,7,9}. Từ tập A có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau. 
Bài 18 Với tập E = {1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và: 
 a. Trong đó có chữ số 7. 
 b. Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1. 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 5 - Ng.S: Văn Phong 
Bài 19 Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau: 
 a. Không bắt đầu từ chữ số 1 
 b. Không bắt đầu từ 123. 
Bài 20 Cho E = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau lấy từ 
E trong mỗi trường hợp sau: 
 a. Là số chẵn. 
 b. Một trong 3 số đầu tiên bằng 1. 
Bài 21 Từ các số 0,1,2,...,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các số 
đó có mặt chữ số 0 và 1. 
 Bài 22 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho 
trong các số đó phải có mặt chữ số 5. 
Bài 23 Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số: 
 a. Có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau. 
 b. Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5. 
Bài 24 Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thoả mãn: 
 a. Mỗi số nhỏ hơn 40000. 
 b. Mỗi số nhỏ hơn 45000. 
Bài 25 Cho các số 0,1,2,...,9 có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 60000 xây dựng từ 
10 chữ số đó. 
Bài 26 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được: 
 a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. 
 b. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. 
Bài 27 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0,2,4,6,8. 
Bài 28 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được: 
 a. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số? 
 b. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho: 
 1. Chữ số đầu tiên là 3. 
 2. Các chữ số đều khác nhau. 
 3. Không tận cùng bằng chữ số 4. 
Bài 29 Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số 
khác nhau. 
Bài 30 Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A: 
a. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số. 
b. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ. 
c. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau. 
d. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau và chia hết cho 5 
e. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng 
cuối chia hết cho 4. 
Bài 31 Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt. 
Bài 32 Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là: 
 a. Số lẻ. 
b. Số chẵn. 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 6 - Ng.S: Văn Phong 
Bài 33(ĐHAN-97) Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau. 
Bài 34 Từ 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó có bao 
nhiêu số chia hết cho 5. 
Bài 35 Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không 
chia hết cho 5. 
Bài 36 Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và số đó 
không chia hết cho 10. 
Bài 37. (ĐH Huế99): Người ta viết các chữ số 0,1,2,3,4,5, lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu 
nhiên thành một hàng. 
a. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành. (288) 
b. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành. (312) 
Bài 38. (ĐHHH99): Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế sao 
cho: 
a. Bạn C ngồi chính giữa (24) 
b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. (12) 
Bài 39. (ĐHSPV2000): Tìm tất cả các số thự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 
đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước? 
- Số 0 không thể đứng trước số nào nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các chữ số thuộc tập 
A = {1,2,3...9}. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số chọn ra chỉ có duy nhất một cách sắp xếp thỏa mãn bài toán. 
Vậy số các số là: 12659 C số. 
Bài 40. (ĐHAN2001): Cho các chữ số 0,1,2,3,4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ 
những chữ số trên, trong đó chứ số 4 có mặt đúng ba lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần? 
- Có 6 cách chọn vị trí cho số 0. 
- Có 2036 C cách sắp vị trí cho 3 chữ số 4 vào 6 vị trí. 
- Có 623 A cách sắp 3 số 1,2,3 vào 2 vị trí còn lại. 
=> có 6.20.6 = 720 số. 
Bài 41. (ĐH Huế 2001): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại 
đúng 3 lần? 
- Số các số tự nhiên có 4 chữ số là 9.10.10.10 = 9000 số. 
- Ta đi tìm số các số tự nhiên lặp lại đúng ba lần (để dùng phương pháp bù trừ) 
+ Có 9 số dạng 000a 
+ Có 35 số mà số 1 lặp lại 3 lần 
... 
+ Có 35 số mà số 9 lặp lại đúng ba lần. 
=> có 9.35 + 9 = 324 số lặp lại đúng ba lần. 
Vậy số các số thỏa mãn là: 9000 – 324 = 8676 số. 
Bài 42. (ĐH khối A dự bị2005): Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, 
mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, trăm, ngàn bằng 8? (1440) 
Bài 43. (ĐH khối B2003 dự bị): Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà 
mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số khác nhau và trong mỗi số đó có tổng 
ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối một đơn vị? (108) 
- Lập luận suy ra a1 + a2 + a3 = 10. Từ đó suy ra có 108 số. 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 7 - Ng.S: Văn Phong 
2. Các bài toán liên quan đến yếu tố hình học. 
Bài 1. Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng 
a. Có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7 điểm nói trên? 
b. Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh là 3 trong 7 điểm nói trên? 
c. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0? 
Bài 2. (CĐSP A02) Tìm số giao điểm tối đa của: 
a. 10 đường thẳng phân biệt? 
b. 6 đường tròn phân biệt? 
c. 10 đường thẳng và 6 đường tròn trên? (195) 
Bài 3. a. Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh? 
 b. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh? Trong đó có bao nhiêu tam giác có 
cạnh không phải là cạnh của đa giác n cạnh? 
Bài 4. (CĐBC Hoa Sen D06): Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 cho 10 điểm phân biệt. 
Trên d2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm 
trên? (640) 
3. Các bài toán thực tế 
Bài 1. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng, ta chọn ra một bó gồm 7 bông. 
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ? 
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ? 
Bài 2. (HVKTQS–2000): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 
một đội gồm 4 h/s trong đó: 
 a. Số nam nữ bằng nhau. 
 b. Có ít nhất 1 nữ. 
Bài 3. (ĐHYHN-2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn 
công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? 
Bài 4. (ĐHĐN-2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc 
 a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 
 b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau? 
Bài 5. (ĐHHuế-2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s được chọn ra để lập một tốp ca. 
Hỏi có bao nhiêu cách lập khác nhau: 
 a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ? 
 b. Nếu chọn tuý ý? 
Bài 6. (ĐHThái Nguyên–2000): Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho: 
 a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 
 b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 người đó . 
Bài 7. (HVKTQS-2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm 
vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách 
phân công? 
Bài 8. (ĐHGTVT–2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách 
cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp? 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 8 - Ng.S: Văn Phong 
Bài 9. (HVCTQGHCM-01-02): Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. 
 a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có 
số nữ như nhau? 
 b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó có không quá 1 nam? 
Bài 10. (ĐHCần Thơ-01-02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách 
xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau? 
 a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 
 b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau? 
Bài 11. (ĐH khối B DB2003): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong 
đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? 
Bài 12. (ĐHHuế-99-2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta 
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu? 
Bài 13. (HVQY-99-2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một dãy 7 
ô trống. 
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? 
b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh 
xếp cạnh nhau? 
Bài 14. (ĐH Cần Thơ D-99-00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
trong mỗi trường hợp sau: 
 a. Có 3 h/s trong nhóm? 
 b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ? 
Bài 15. (ĐHCần Thơ A-99-00): Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp 
chỗ ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: 
a. Các h/s ngồi tuỳ ý? 
 b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn? 
Bài 16. (ĐHluật HN-99-00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 
hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: 
 a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầu đó? 
 b.Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành khách trên? 
Bài 17. (ĐHSPHN 2 –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, 
trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 h/s trong số 50 h/s trên đi dự đại hội cháu 
ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
Bài 18. (ĐHSPV-G-99-00): Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ 
biết tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em 
biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
Bài 19. (ĐHKT-98-99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần 
chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu 
cách thành lập tổ công tác? 
Bài 20. Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc: 
 - Chọn trường thi có tất cả 305 trường 
 - Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. 
 Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ? 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 9 - Ng.S: Văn Phong 
Bài 21. Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành 
 phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y. 
a. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z? 
b. Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường khác 
nhau? 
Bài 22. Ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi vào một trường đại học 
(có 305 trường) hoặc một trường cao đẳng (có 105 trường) hoặc một trường trung học chuyên nghiệp 
(có 21 trường). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách chọn trường thi? 
Bài 23. Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký 
tự là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi mỗi người có thể có 
bao nhiêu mật khẩu? Biết rằng có 26 chữ in hoa, 10 chữ số. 
Bài 24. Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một kệ 
sách theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? 
Bài 25. Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi 
bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự? 
Bài 26. Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm: 
a. 3 học sinh. 
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ. 
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. 
Bài 27. (ĐH, CĐ 2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh 
có 4 nam và 1 nữ? 
Bài 28. (Đề thi CĐ 2005 – Khối D) 
 Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Hoa muốn chọn ra 5 
bông để cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu 
cách chọn? 
Bài 29. (ĐH 2004–KB) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 
10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề 
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, 
dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 10 - Ng.S: Văn Phong 
NHỊ THỨC NIU-TƠN 
1. Công thức nhị thức Niu-tơn 
  nnkknknnnnnnkkn
n
k
k
n
n CbaCbaCbaCCbaCba  

 ......222110
0
. Với n *N 
2. Tính chất 
1. Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 
2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n 
3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng: kknknk baCT  1 (k = 1, 2, 3, 4....,n) 
4. Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 1 knkn CC 
5. 10  nnn CC ; 111   knknkn CCC 
- Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nếu ta gán cho a và b những giá trị đặc 
biệt, cụ thể thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. 
Ví dụ: 
  nnknknnnnn
n CxCxCxCx   ......1 110 nnnnnn CCCCC 2....
43210  
  nnnknknknnnn
n CxCxCxCx )1(...)1(...1 110   0)1(....3210  nn
n
nnnn CCCCC 
Các dạng toán thường gặp: 
- Tính tổng tổ hợp 
- Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 
- Tìm giá trị của hệ số trong khai triển 
- Tìm số hạng không chứa biến. 
Bài 1: Cho khai triển:   15152210532 ....1)( xaxaxaaxxxxf  
a. Tính hệ số a11. 
b. Tính tổng: S1 15210 .... aaaa  
c. Tính: S2 153210 .... aaaaa  
d. Tính: S3 15210 .... aaaa  
Bài 2: Cho khai triển:   1001002210
100 ....3)( xaxaxaaxxf  
a. Tính hệ số a95 của x95 
b. Tính tổng: S 15210 .... aaaa  
Bài 3: Cho khai triển:   24242210122 ....321)( xaxaxaaxxxf  
a. Tính hệ số a3. 
b. S 2419210 .... aaaaa  
Bài 3: Tính tổng: 
0
1
2001
2002
2001
20022002
2001
2001
1
2002
2001
2002
0
2002 .......... CCCCCCCCS
k
k
k   







 nnnnnn
n CCCCS
)3(
1...
3
1
3
13 22
10 
Chuyên đề Tổ hợp 11 
 - 11 - Ng.S: Văn Phong 
Bài 4: Tính: 
 a. nnnnn CCCCS
2
2
4
2
2
2
0
22 .. 
 b. nn
n
nnn CCCCS 6..66
2
2
210
3  
Bài 5: Chứng minh rằng: 
a. 0)1(....3210  nn
n
nnnn CCCCC 
b. 122
3
2
1
2
2
2
2
2
0
2 .......
 nnnn
n
nnn CCCCCC 
Bài 6: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: 
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 
Bài 7: Tìm hệ số của x9 trong khai triển của biểu thức: 
(x + 1)9 + (x + 1)10 + (x + 1)11 +...+ (x + 1)14 
Bài 8: Trong khai triển của: 1010
9
9
2
210
10
...
3
2
3
1 xaxaxaxaax 




  . 
Tìm hệ số ak lớn nhất ( 100  k ) 
Bài 9: Trong khai triển của:   12122210
12 ...21 xaxaxaax  . Tìm max(a1, a2,..