Chuyên đề : Toán chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn

Chuyeân ñeà :
TOAÙN CHÖÙNG MINH NHIEÀU ÑIEÅM THUOÄC MOÄT ÑÖÔØNG TROØN
I-MUÏC TIEÂU:
HS:Naém vöõng caùc phöông phaùp chöùng minh nhieàu ñieåm thuoäc moät ñöôøng troøn.
HS:Coù kyõ naêng vaän duïng caùc phöông phaùp vaøo baøi taäp moâït caùch linh hoaït
HS:Reøn luyeän kyû naêng veõ theâm ñöôøng phuï ,choïn phöông aùn giaûi quyeát phuø hôïp vôùi ñeà baøi ,reøn luyeän tính linh hoaït saùng taïo.
 II-THÔØI LÖÔÏNG:(8Tieát)
Tieát 1,2,3
CAÙC PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH:
1-Chæ ra caùc ñieåm cuøng caùch ñeàu moät ñieåm
2-Chöùng minh hai goùc ñoái cuûa töù giaùc buø nhau
3-Chöùng minh hai ñænh lieân tieáp cuûa töù giaùc cuøng nhìn xuoâng moät ñoaïn döôùi nhöõng goùc baèng nhau.(Döïa vaøo cung chöùa goùc)
	Caùc caùch khaùc ñeå chöùng minh töù giaùc noäi tieáp .
-Chöùng minh töù giaùc laø hình thang caân
-Chöùng minh moät goùc cuûa töù giaùc baèng moät goùc ngoaøi cuûa goùc ñoái dieän
Ví du1ï:
Cho tam giaùc ABC noäi tieáp (O) M laø moät ñieåm baát kyø thuoäc AC.Goïi H,I,K theo thöù töï laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán caùc ñöôøng thaúng AB,AC,BC .Chöùng minh raèng:
A
M
B
C
K
I
OŸ
H
a)caùc ñieåm A,M,H,I cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .
b)Caùc ñieåm M,I,K,C cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.
c)Caùc ñieåm I,H,K thaúng haøng.
Giaûi:Giaû söû H naèm ngoaøi caïnh AB ,ñieåm K naèm treân caïnh BC 
Töù giaùc AHMI coù AHM + AIM = 900+900 = 1800 
=> AHMI laø töù giaùc noäi tieáp 
=> A,H,M,I cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .
b) MIC = MKC = 900 => I vaø K thuoäc ñöôøng troøn coù ñöôøng kính MC => M,I,K,C cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn .
c) Töø caâu a) => MIH = MAH (Hai goùc noäi tieáp cuøng chaén cung HM)
Töø caâu b) => MIK+ MCK = 1800 (Tính chaát cuûa töù giaùc …). 
Ta laïi coù MAH = MCK (cuøng buø BAM) 
M
E
N
B
C
A
L
D
I
P
H
 Ÿ Q
F
Ÿ
=> MIH + MIK = 1800 .Vaäy H,I,K thaúng haøng .
Ví duï 2:
 Cho tam giaùc ABC, caùc ñöôøng cao AM,BN ,CP caét nhau taïi H .
Goïi D,E,F theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa BC,AC,AB .Goïi (Q) laø 
ñöôøng troøn ñi qua D,E,F.Goïi I laø trung ñieåm cuûa HA 
a) C/M töù giaùc DEIF laø töù giaùc noäi tieáp 
b) Goïi K,L theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa HB,HC .C/m K,L thuoäc ñöôøng troøn (Q)
c) C/m:M,N,P thuoäc ñöôøng troøn (Q).
Baøi giaûi 
Theo tính chaát ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc ,FI //BH,
FD //AC ,maø BH AC neân FI FD
IFD = 900 .Töông töï 
DEI = 900 .Vaäy DEIF laø töù giaùc noäi tieáp ñöôøng troøn coù ñöôøng kính DI .Ñöôøng troøn naøy ñi qua D,E,F neân laø ñöôøng troøn (Q).
Theo caâu a) ñöôøng troøn (Q) ñi qua trung ñieåm cuûa 
AH ,do ñoù töông töï ñöôøng troøn (Q) cuõng ñi qua trung
 ñieåm cuûa HB,HC töùc laø K,L cuõng thuoäc ñöôøng troøn (Q)
Ta coù IMD = 900 = > M thuoäc ñöôøng troøn ñöôøng kính ID töùc laø ñöôøng troøn (Q). Töông töï N,P cuõng thuoäc ñöôøng troøn (Q).
Ví duï 3:
Cho ñöôøng troøn taâm (O) vaø ñöôøng thaúng xy ôû ngoaøi ñöôøng troøn ñoù .Töø O veõ OA vuoâng goùc vôùi xy ; Töø A veõ moät caùt tuyeán baát kyø caét ñöôøng troøn taïi B vaø C caét xy taïi D vaø E .Chöùng minh AD = AE .
x
D
A
B
 Ÿ O
y
C
E
HD:
Chuùng minh :OAD = OBD = 1v 
=> B,D thuoäc ñöông troøn ñöôøng kính OD hay töù giaùc OBAD 
noäi tieáp moät ñöôøng troøn ñöôøng kính OD
Chöùng minh:OCE =1v;OAE =1v 
=> OCE + OAE =1v+1v= 2v 
=> OCEA noäi tieáp 
D
C
A
B
E
F
OŸ
Chöùng minh rOBD = rOCE (g-c-g) => OD =OE
=> DA = AE
Ví duï 4:Cho ñöôøng troøn taâm O AB laø ñöôøng kính ta keõ hai ñöôøng thaúng caét tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi B ôû E vaø F vaø caét ñöôøng troøn taïi C vaø D .c/m töù giaùc ECDF noäi tieáp .
HD: Chuùng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v 
=> CEFD noäi tieáp moät ñöôøng troøn
Ví duï5:
M
OŸ
B
A
C
D
H
E
I
Treân ñöôøng troøn (O;R) ñöôøng kính AB , laáy hai ñieåm M,E theo thöù töï A,M,E,B (hai ñieåm M,E khaùc hai ñieåm A,B).AM caét BE taïi C ;AE caét BM taïi D.
Chöùng minh MCED laø moät töù giaùc noäi tieáp vaø 
Goïi H laø giao ñieåm cuûa CD vaø AB .Chuùng minh BE.BC = BH.BA .
c)Chöùng minh caùc tieáp tuyeán taïi Mvaø E cuûa (O) caét nhau taïitrung ñieåm I cuûa CD 
d)Cho bieát BAM = 450 vaø BAE = 300 .
Tính dieän tích tam giaùc ABC theo R.
H.Daãn:
Caâu a:Chöùng minh töù giaùc MCED noâi tieáp 
Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v 
	Chöùng minh:CD (Tính chaát caùc ñöôøng cao trong tam giaùc) 
Caâu b: Chöùng minh hai tam giaùc BEA vaø BHC ñoàng daïng 
=> BE.BC = BH.BA 
Caâu c: Chöùng minh IM laø tieáp tueán cuûa (O) 
Ta chuùng minh:IMD =MAB => MI laø tieáp tuyeán cuûa (O) 
Töông töï chuùng minh treân ta cuõng C/m ñöôïc IE laø tieáp tuyeán cuûa (O) 
Caâu d:Tính dieän tích tam giaùc ABC theo R 
Tính CH = Töø ñoù (ñvdt)
B
E
C
I
A
H
K
Ÿ O
Ví duï 6:Cho tam giaùc ABC caân taïi A,noäi tieáp tong (O) ñöôøng kính AI Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB vaø K laø trung ñieåm cuûa OI .C/mR:AEKC laø töù giaùc noäi tieáp.
Baøi giaûi:
Goïi H laø trung ñieåm cuûa BE thì KH laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang vuoâng OEBI ,suy ra HK//OE//BI,maø OE Töø ñoù Tam giaùc KBE caân taïi K,suy ra KEB=KBE,Maët khaùc KBE=KCA .Vaäy KEB=KCA.Do ñoù Töù giaùc AEKC noäi tieáp 
Ví duï 7:
Cho ñoaïn thaúng AB = 2a coi trung ñieåm laø O .treân cuøng nöûa mp bôø AB döïng nöûa (O) ñöôøng kính AB vaø nöûa (O’) ñöôøng kính AO .Treân (O’) laáy moät ñieåm M (khaùc A vaø O) ,tia OM caét (O) taïi C ,goïi D laø giao ñieåm thöù hai cuûa CA vôùi (O’)
a)Chöùng minh tam giaùc ADM caân 
b) Tieáp tuyeán taïi C cuûa (O) caét tia OD taïi H ,ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc COH caét (O) taïi ñieåm thöù hai laø N ,chöùng minh ba ñieåm A,N vaø M thaúng haøng .
c)Taïi vò trí cuûa M sao cho ME//AB ,haõy tính OM theo a.
Höoùng daãn:
1)TacoùOAC caân taïi O coù OD AC ,MOD=DOA caân taïi D
N’
K
A
B
Ÿ O
E
C
M
O’Ÿ
D
2)Deã thaáy EAO=ECO =900 hay EAAB noùi caùch khaùc EA laø tieáp tuyeán chung cuûa (O) vaø (O’)
3)Giaû söû AM caét (O) taïi N’ ,AOC=2AN’C COH=CN’H Daãn ñeán töù giaùc CHON’ noäi tieáp trong moät ñöôøng troøn ,töø ñoù ta coù Thaúng haøng .
4)Veõ MK Töø GT :EM//AB ,ta suy ra MEO caân taïi M vaø töù giaùc AEMK laø hình chöõ nhaät .Ñaët ME=MO=x . Ta coù MO2=AO2-AM2=AO2-AO.AK=AO2-AO.ME.
 Vaäy x2=a2-ax.Giaûi ta ñöôïc:x = 
Tieát 5,6,7, 
LUYEÄN TAÄP:
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O .Treân caïnh AB laá ñieåm E vaø treân caïnh AC keùo daøi veà phía C laáy F sao cho BE = CF .Veõ ñöôøng kính AA’ cuûa (O).
Chöùng minh tam giaùc A’EF caân vaø töù giaùc AEA’F noâi tieáp 
Goïi I laø giao ñieåm cuûa EF vaø BC .Chuùng minh IE =IF 
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC nhoïn noäi tieáp (O;R) H laø tröïc taâm BD vaø CE laø hai ñöôøng cao 
a) Chöùng minh töù giaùc ADEH noäi tieáp 
b) Goïi H’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua BC .Chöùng minh raèng töù giaùc ABH’Cnoäi tieáp (O)
c) Chuùng minh raèng :OA vuoâng goùc DE
 Baøi 3: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A laáy D treân AB . veõ ñöôøng troøn döôøng kính BD caét BC taïi E vaø CD caét ñöôøng troøn taïi F AE caét (O) Taïi G 
a) Chöùng minh töù giaùc ADEC vaø AFBC noäi tieáp
b) Chuùng minh :FG//AC
c) Chuùng minh 3 ñöôøng ED,CA,BF ñoàng quy taïi moät ñieåm.
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC caân taïi A .Veõ (O) tieáp xuùc AB taïi B vaø tieáp xuùc AC taïi C.Treân cung nhoû BC ôû beân trong tam giaùc ABC laáy M veõ MD,ME vaø MF laàn löôït vuoâng goùc vôùi BC ,ABvaøAC.
a) Chöùng minh raèng :Caùc töù giaùc :MDBE vaø MDCF noäi tieáp 
b) Chöùng minh raèng :MD2 = ME.MF
c) Chöùng minh raèng :M laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc DEF
d) Goïi P vaø Q laà löôït laø giao ñieåm cuûa BM vôùi DE vaø MC vôùi DF.Chöùng minh raèng :Töù giaùc MPDQ noäi tieáp
Baøi 5: Cho (O;R),ñöôøng kính AB .Keõ tieáp tuyeán Bx . Mlaø moät ñieåm di ñoäng treân Bx (M khaùc B).AM caét (O) taïiN.Goïi I laø trung ñieåm cuûa AN.
	a) C/m: Töù giaùc BOIM noäi tieáp 
	b) C/m:Tam giaùc IBN ñoàng daïng vôùi tam giaùc OMB
	c) Tìm vò trí cuûa M treân tia Bx ñeå dieän tích tam giaùc AIO coù giaù trò lôùn nhaát.
Baøi 6: Cho hình vuoâng ABCD .laáy M thuoäc AB vaø N thuoäc CB sao cho MB= CN .goïi o laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo .AN caét DC keùo daøi taïiP, BP caét ON taïi Q.
a) Chuùng minh raèng :Töù giaùc BMON noâi tieáp 
b) Chuùng minh raèng :MN//BP
c) Chöùng minh raèng :CQ vuoâng goùc vôùi PB
-----š¯›----

GV:Nguyeãn Hoàng AÂn
Duyeät cuûa toå chuyeân moân


Duyeät cuûa BGH