Chuyên đề Tứ giác nội tiếp

Chuyªn ®Ò: tø gi¸c néi tiÕp
I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) Kh¸i niÖm:
Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn ®îc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (Gäi t¾t lµ tø gi¸c nét tiÕp)
2) §Þnh lÝ
- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800
-NÕu mét tø gi¸c cã tæng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 th× tø gi¸c ®ã néi tiÕp ®êng trßn.
3) DÊu hiÖu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø gi¸c néi tiÕp
- Tø gi¸c cã tæng sè do hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800.
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn.
- Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm(mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc). §iÓm ®ã lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc a.
II) Bµi tËp
Bµi tËp 1
 Cho ABC vu«ng ë A. Trªn AC lÊy diÓm M vµ vÏ ®êng trßn ®êng kÝnh MC. KÎ BM c¾t ®êng trßn t¹i D. §êng th¼ng DA c¾t §êng trßn t¹i S. Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp.
b) 
c) CA lµ ph©n gi¸c cña 
Bµi tËp 2
Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AD. Hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E. VÏ EF vu«ng gãc víi AD. Chøng minh:
a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp .
b) CA lµ ph©n gi¸c cña ÐBCF.
c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp
Bµi tËp 3
Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N . Chøng minh : 
CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b
Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . 
 BE . DN = EN . BD 
Bµi tËp 4
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . C¸c ®êng th¼ng CD , AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i c¸c ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : 
	a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . 
	b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . 
	c) AC song song víi FG . 
	d) C¸c ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy . 
Bµi tËp 5
 Cho tam gi¸c vu«ng ABC (; AB > AC) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®o¹n AC (M kh«ng trïng víi A vµ C). Gäi N vµ D lÇn lît lµ giao ®iÓm thø hai cña BC vµ MB víi ®¬ng trßn ®êng kÝnh MC; gäi S lµ giao ®iÓm thø hai gi÷a AD víi ®êng trßn ®êng kÝnh MC; T lµ giao ®iÓm cña MN vµ AB. Chøng minh:
a. Bèn ®iÓm A, M, N vµ B cïng thuéc mét ®êng trßn.
b. CM lµ ph©n gi¸c cña gãc .
c. .
Bµi tËp 6
Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn. Qua A dùng hai tiÕp tuyÕn AM vµ AN víi ®êng trßn (M, N lµ c¸c tiÕp ®iÓm) vµ mét c¸t tuyÕn bÊt k× c¾t ®êng trßn t¹i P, Q. Gäi L lµ trung ®iÓm cña PQ.
a/ Chøng minh 5 ®iÓm: O; L; M; A; N cïng thuéc mét ®êng trßn.
b/ Chøng minh LA lµ ph©n gi¸c cña 
c/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN vµ LA. Chøng minh MA2 = AI.AL
d/ Gäi K lµ giao ®iÓm cña ML víi (O). Chøng minh r»ng KN // AQ.
e/ Chøng minh KLN c©n.
Bµi tËp 7
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH.
2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H để AB= R.
Bµi tËp 8
 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P.
Chøng minh r»ng:
C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp .
Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H vµ M ®èi xøng nhau qua BC.
5. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF
Bµi tËp 9
 Cho DABC kh«ng c©n, ®êng cao AH, néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. Gäi E, F thø tù lµ h×nh chiÕu cña B, C lªn ®êng kÝnh AD cña ®êng trßn (O) vµ M, N thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, AB. Chøng minh: 
Bèn ®iÓm A,B, H, E cïng n»m trªn ®êng trßn t©m N vµ HE// CD.
M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp DHEF.
Bµi tËp 10
 Cho ®êng trßn t©m O vµ ®iÓm A ë bªn ngoµi ®êng trßn. VÏ ccs tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn ADE víi ®êng trßn ( B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi Hlµ trung ®iÓm cña DE.
CMR: A,B, H, O, C cïng thuéc mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®êng trßn nµy.
Chøng minh: HA lµ tia ph©n gi¸c .
Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE. Chøng minh: AB2 = AI.AH
BH c¾t (O) t¹i K. Chøng minh: AE // CK.
Bµi tËp 11
Tõ mét ®iÓm S ë ngoµi ®êng trßn (O) vÏ hai tiÕp tuyÕn SA, SB vµ c¸t tuyÕn SCD cña ®êng trßn ®ã.
Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y CD. Chøng minh 5 ®iÓm S,A,E,O,B cïng thuéc mét ®êng trßn
NÕu SA = AO th× SAOB lµ h×nh g×? t¹i sao? 
c) Chømg minh r»ng: 
Bµi tËp 12
Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).
Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi.
Chøng minh Ð ABD = Ð DFB.
Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
Bµi tËp 13
Trªn ®êng th¼ng d lÊy ba ®iÓm A,B,C theo thø tù ®ã. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê d kÎ hai tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi dt. Trªn tia Ax lÊy I. Tia vu«ng gãc víi CI t¹i C c¾t By t¹i K. §êng trßn ®êng kÝnh IC c¾t IK t¹i P. 
1) Chøng minh tø gi¸c CBPK néi tiÕp ®îc ®êng trßn .
2) Chøng minh AI.BK = AC.CB
3) Gi¶ sö A, B, I cè ®Þnh h·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm C sao cho diÖn tÝch h×nh thang vu«ng ABKI lín nhÊt.
Bµi tËp 14
 Cho DABC vu«ng t¹i A. KÎ ®êng cao AH, vÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AH, ®êng trßn nµy c¾t AB t¹i E, c¾t AC t¹i F.
 a) Chøng minh AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt.
b) Chøng minh:BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp .
c) Chøng minh: AB.AE = AC.AF	
d) Gäi M lµ lµ giao ®iÓm cña CE vµ BF. H·y so s¸nh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c BMC.
Bµi tËp 15
Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE.
Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp .
Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
Chøng minh ED = BC.
Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).
TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bµi tËp 16
Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE.CF
c) IK CD
Bµi tËp 17
Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung nhá BC. Trªn ®o¹n th¼ng MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC.
	a) Chøng minh ®Òu. 
b) Chøng minh MB + MC = MA.
	c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp ®îc.
	d) Khi M Di ®éng trªn cung nhá BC th× D di ®éng trªn ®êng cè ®Þnh nµo ?
Bµi tËp 18
Cho ®­êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®­êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ^ MB, BD ^ MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.
Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn .
Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.
Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.
T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d.
Bµi tËp 19
Cho 3 ®iÓm A; B; C cè ®Þnh th¼ng hµng theo thø tù. VÏ ®­êng trßn (O) bÊt kú ®i qua B vµ C (BC kh«ng lµ ®êng kÝnh cña (O)). KÎ tõ c¸c tiÕp tuyÕn AE vµ AF ®Õn (O) (E; F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC; K lµ trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D. Chøng minh:
AE2 = AB.AC
Tø gi¸c AEOF
N¨m ®iÓm A; E; O; I; F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
ED song song víi Ac.
Khi (O) thay ®æi t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OIK lu«n thuéc mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi tËp 20
Cho DABC cã c¸c gãc ®Òu nhän vµ . VÏ ®êng cao BD vµ CE cña DABC. Gäi H lµ gia ®iÓm cña BD vµ CE.
Chøng minh tø gi¸c ADHE néi tiÕp.
TÝnh tØ sè 
c) Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC. Chøng minh OA ^ DE
Bµi tËp 21
Cho tam gi¸c nhän PBC. Gäi A lµ ch©n ®êng cao kÎ tõ P xuèng c¹nh BC. §êng trßn ®êng kÝnh BC c¾t PB, PC lÇn lît ë M vµ N. Nèi N víi A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC ë ®iÓm thø hai E
a/ Chøng minh r»ng: 4 ®iÓm A, B, N, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. H·y x¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn Êy.
b/ Chøng minh: EM vu«ng gãc víi BC
c/ Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua BC. Chøng minh r»ng AM.AF = AN.AE
Bµi tËp 22
Cho tam gi¸c vu«ng ABC (); trªn ®o¹n AC lÊy ®iÓm D (D kh«ng trïng víi c¸c ®iÓm A vµ C). §êng trßn ®êng kÝnh DC c¾t BC t¹i c¸c ®iÓm thø hai E; ®êng th¼ng BD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh DC t¹i ®iÓm F (F kh«ng trïng víi D). Chøng minh:
a. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EDC.
b. Tø gi¸c ABCF néi tiÕp ®êng trßn.
c. AC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc EAF.
Bµi tËp 23
 Cho h×nh thang c©n ABCD (AB>CD; AB//CD) néi tiÕp trong ®êng trßn (O). TiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn (O) t¹i A vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo AC vµ BD
a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp
b/ Chøng minh AB//EI
c/ §­êng th¼ng EI c¾t c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t­¬ng øng ë R vµ S. Chøng minh:
* I lµ trung ®iÓm cña RS
* 
Bµi tËp 24
Cho ®êng trßn (O; R) cã hai ®êng kÝnh AOB vµ COD vu«ng gãc víi nhau. LÊy ®iÓm E bÊt k× trªn OA, nèi CE c¾t ®êng trßn t¹i F. Qua F dùng tiÕp tuyÕn Fx víi ®]êng trßn, qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA. Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey 
a/ Chøng minh I; E; O; F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
b/ Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g×? v× sao?
c/ Khi E chuyÓn ®éng trªn AB th× I chuyÓn ®éng trªn ®êng nµo?
Bµi tËp 25
 Cho nöa ®­êng trßn ®êng kÝnh BC b¸n kÝnh R vµ ®iÓm A trªn nöa ®­êng trßn (A kh¸c B vµ C). Tõ A h¹ AH vu«ng gãc víi BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm A vÏ nöa ®­êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
a. Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao?
b. Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
c. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A sao cho tø gi¸c AFHE cã diÖn tÝch lín nhÊt. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã theo R.
Bµi tËp 26
Cho 3 ®iÓm M, N, P th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Mét ®­êng trßn (O) thay ®æi ®i qua hai ®iÓm M, N. Tõ P kÎ c¸c tiÕp tuyÕn PT, PT’ víi ®­êng trßn (O)
Chøng minh: PT2 = PM.PN. Tõ ®ã suy ra khi (O) thay ®æi vÉn qua M, N th× T, T’ thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
Gäi giao ®iÓm cña TT’ víi PO, PM lµ I vµ J. K lµ trung ®iÓm cña MN. 
 Chøng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp.
Chøng minh r»ng: Khi ®­êng trßn (O) thay ®æi vÉn ®i qua M, N th× TT’ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh.
Cho MN = NP = a. T×m vÞ trÝ cña t©m O ®Ó gãc TPT’ = 600.
Bµi tËp 27
	Cho DABC vu«ng ë A. Trªn AC lÊy ®iÓm M (M≠A vµ C). VÏ ®­êng trßn ®­êng kÝnh MC. Gäi T lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BC víi ®êng trßn. Nèi BM kÐo dµi c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ D. §êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai S. Chøng minh:
Tø gi¸c ABTM néi tiÕp
Khi M chuyÓn ®éng trªn AC th× cã sè ®o kh«ng ®æi.
AB//ST.
Bµi tËp 28
Cho hai ®êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A, B. §êng vu«ng gãc víi AB kÎ qua B c¾t (O) vµ (O') lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm C, D. LÊy M trªn cung nhá BC cña ®êng trßn (O). Gäi giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng MB víi ®êng trßn (O') lµ N vµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng CM, DN lµ P.
a. Tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c g×, t¹i sao?
b. Chøng minh ACPD néi tiÕp ®îc ®êng trßn.
c. Gäi giao ®iÓm thø hai cña AP víi ®êng trßn (O') lµ Q, chøng minh r»ng BQ // CP.
Bµi tËp 29
Cho ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng
c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của 
Bµi tËp 30
Cho ®­êng trßn (O), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi Ac c¾t MN t¹i E.
Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp .
Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM.
Chøng minh AM2 = AE.AC.
Chøng minh AE. AC - AI.IB = AI2 .
H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt.
Bµi tËp 31
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K.
Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp.
Chứng minh KHAB
Cho BC = R. Tính PK.
Bµi tËp 32
Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK.
Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).
3. TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bµi tËp 33
Cho ®iÓm A bªn ngoµi ®êng trßn (O ; R). Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn ADE 
 ®Õn ®êng trßn (O). Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE.
	a) Chøng minh n¨m ®iÓm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
	b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña .
	c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh : .
	d) Cho vµ . TÝnh HI theo R.
Bµi tËp 34
Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÓ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K.
a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n.
d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi.
e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn.
Bµi tËp 35
Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E và F. (E Î (O1); F Î (O2)).
Chứng minh AE = AF.
Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( CÎ (O1); D Î (O2)). Gọi P là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng:
a.	Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường tròn.
b.	Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng.
Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đường nào?
Bµi tËp 36
Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC, CD lÇn lît lÊy ®iÓm E, F sao cho . BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H. Chøng minh: 
ADFG, GHFE lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp 
DCGH vµ tø gi¸c GHFE cã diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi tËp 37
Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, hai ®iÓm C vµ D thuéc ®êng trßn, B lµ trung ®iÓm cña cung nhá CD. KÎ ®êng kÝnh BA; trªn tia ®ãi cña tia AB lÊy ®iÓm S, nèi S víi C c¾t (O) t¹i M; MD c¾t AB t¹i K; MB c¾t AC t¹i H.
a. Chøng minh: = , tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMHK néi tiÕp.
b. Chøng minh: HK // CD.
c. Chøng minh: OK.OS = R2.
Bµi tËp 38
Cho ®êng trßn (O), mét ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, mét ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O sao cho AI = AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN, sao cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B. Nèi AC c¾t MN t¹i E.
a. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.
b. Chøng minh AME ®ång d¹ng víi ACM vµ AM2 = AE.AC.
c. Chøng minh AE.AC AI.IB = AI2.
d. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt.
Bµi tËp 39
Cho ba ®iÓm A, B, C trªn mét ®êng th¼ng theo thø tù Êy vµ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC t¹i A. VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh BC vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm M bÊt k×. Tia CM c¾t ®êng th¼ng d t¹i D; Tia AM c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai N; Tia DB c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai P.
Chøng minh: Tø gi¸c ABMD néi tiÕp ®îc.
Chøng minh: TÝch CM. CD kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M.
Tø gi¸c APND lµ h×nh g×? T¹i sao?
Chøng minh träng t©m G cña tam gi¸c MAB ch¹y trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh.
Bµi tËp 40
 Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn. C¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn ë B vµ C. Gäi M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn (M kh¸c B vµ C). Gäi H; K; I lÇn lît lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kÎ tõ M xuèng BC; CA; AB.
a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp.
b/ Chøng minh:.
c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK.
Bµi tËp 41
Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A. M vµ Q lµ hai ®iÓm trªn (d) sao cho M≠A, M≠Q, Q≠A. C¸c ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lît c¾t ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm thø hai lµ N vµ P. Chøng minh:
TÝch BN.BM kh«ng ®æi.
Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp.
BÊt ®¼ng thøc: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bµi tËp 42
Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O vµ P lµ trung ®iÓm cña cung AB kh«ng chøa C vµ D. Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F. C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t nhau t¹i I, c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t nhau t¹i K. Chøng minh r»ng:
a. Gãc CID b»ng gãc CKD.
b. Tø gi¸c CDFE néi tiÕp ®îc mét dêng trßn.
c. IK // AB.
Bµi tËp 43
Trªn ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB, lÊy hai ®iÓm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iÓm M, E kh¸c hai ®iÓm A, B). AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D.
a. Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB.
b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA.
c. Chøng minh c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ E cña ®êng trßn (O) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn ®êng th¼ng CD.
d. Cho biÕt vµ . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R.
Bµi tËp 44
Cho ®­êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Mét c¸t tuyÕn MN quay xung quanh trung ®iÓm H cña OB. Giäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Tõ A kÎ Ax vu«ng gãc víi MN t¹i K. Gäi C lµ giao ®iÓm cña Ax víi tia BI.
a/ Chøng minh r»ng: BN// MC
b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC lµ h×nh ch÷ nhËt
c/ TiÕp tuyÕn Bt víi ®êng trßn (O) c¾t tia AM ë E, c¾t tia Ax ë F. Gäi D lµ giao ®iÓm thø hai cña tia Ax víi (O). Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp
Bµi tËp 45
 Cho D ABC c©n (AB = AC) vµ gãc A nhá h¬n 600; trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC.
Tam gi¸c BCD lµ tam gi¸c g×? t¹i sao?
KÐo dµi ®êng cao CH cña D ABC c¾t BD t¹i E. VÏ ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi CD t¹i F. Qua C vÏ tiÕp tuyÕn CG cña ®êng trßn nµy. Chøng minh: Bèn ®iÓm B, E, C, G thuéc mét ®êng trßn. 
C¸c ®êng th¼ng AB vµ CG c¾t nhau t¹i M, tø gi¸c AFGM lµ h×nh g×? T¹i sao?
Chøng minh: D MBG c©n.
Bµi tËp 46
Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R, ®êng th¼ng d kh«ng qua O vµ c¾t ®êng trßn t¹i hai ®iÓm A, B . Tõ mét ®iÓm C trªn d (C n»m ngoµi ®êng trßn), kÎ hai tiÕp tuyÕn CM, CN víi ®êng trßn (M, N thuéc (O)). Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB, ®êng th¼ng OH c¾t tia CN t¹i K.
a. Chøng minh bèn ®iÓm C, O, H, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
b. Chøng minh KN.KC = KH.KO.
c. §o¹n th¼ng CO c¾t ®êng trßn (O) t¹i I, chøng minh I c¸ch ®Òu CM, CN vµ MN.
d. Mét ®êng th¼ng ®i qua O vµ song song víi MN c¾t c¸c tia CM, CN lÇn lît t¹i E vµ F. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C trªn d sao cho diÖn tÝch tam gi¸c CEF lµ nhá nhÊt.
Bµi tËp 47
Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn (O; R) (0 < BC < 2R). A lµ mét ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC sao cho ABC nhän. C¸c ®êng cao AD; BE; CF c¾t nhau t¹i H (DBC; ECA; FAB)
Chøng minh: Tø gi¸c BCEF néi tiÕp. Tõ ®ã suy ra AE.AC = AF.AB
Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: AH = 2OA'
KÎ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A. §Æt S lµ diÖn tÝch ABC, 2p lµ chu vi DEF. Chøng minh:
d // EF
S = p.R
Bµi tËp 48
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín AD vµ ®¸y nhá BC néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O; AB vµ CD kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m O t¹i B vµ D c¾t nhau t¹i ®iÓm K.
a. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBID vµ OBKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
b. Chøng minh IK song song víi BC.
c. H×nh thang ABCD ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ó tø gi¸c AIKD lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi tËp 49
Cho ®­êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm A n»m trªn ®­êng trßn. Mét gãc xAy = 900 quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax, Ay c¾t ®êng trßn (O). Gäi c¸c giao ®iÓm thø hai cña Ax, Ay víi (O) t¬ng øng lµ B, C. §êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t AB, AC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t¬ng øng lµ M, N. Tia OM c¾t ®êng trßn t¹i P. Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP. Chøng minh r»ng
AMON lµ h×nh ch÷ nhËt
MN//BC
Tø gi¸c PHOB néi tiÕp
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña gãc xAy sao cho tam gi¸c AMN cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi tËp 50
 Cho ®­êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. ®iÓm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O). KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh:
a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp.
b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2
Bµi tËp 51
Cho nöa ®­êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ hai ®iÓm C, D thuéc nöa ®­êng trßn sao cho cung AC nhá h¬n 900 vµ gãc COD = 900. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM. C¸c d©y AM, BM c¾t OC, OD lÇn lît t¹i E, F
a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g×? T¹i sao?
b) Chøng minh: D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung MB.
c) Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nöa ®êngtrßn t¹i M vµ c¾t c¸c tia OC, OD lÇn lît t¹i I, K. Chøng minh c¸c tø gi¸c OBKM vµ OAIM néi tiÕp ®îc.
d) Gi¶ sö tia AM c¾t tia BD t¹i S. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C vµ D sao cho 5 ®iÓm M, O, B, K, S cïng thuéc mét ®êng trßn.
Bµi tËp 52
 Cho ®­êng trßn (O) vµ hai ®iÓm A, B ph©n biÖt thuéc (O) sao cho ®­êng th¼ng AB kh«ng ®i qua t©m O. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm lÊy ®iÓm M kh¸c A, tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn ph©n biÖt ME, MF víi ®êng trßn (O) (E, F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi H lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB. C¸c ®iÓm K vµ I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng EF víi c¸c ®êng th¼ng OM vµ OH.
a) Chøng minh 5 ®iÓm M, O, H, E, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn.
b) Chøng minh: OH.OI = OK. OM
c) Chøng minh: IA, IB lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O)
Bµi tËp 53
Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. CD c¾t ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC t¹i I. 
Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp .
Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi.
Chøng minh BI // AD.
Chøng minh I, B, E th¼ng hµng.
Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC.
Bµi tËp 54
Cho ®­êng trßn (0) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi ®êng trßn (B, C, M, N thuéc ®êng trßn vµ AM < AN). Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng CE víi ®êng trßn.
Chøng minh: Bèn ®iÓm A, 0, E, C cïng thuéc mét ®êng trßn.
Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC
Chøng minh: BI // MN
X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸t tuyÕn AMN ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c AIN lín nhÊt.
Bµi tËp 55
Cho ®­êng trßn (O) cã t©m O, ®­êng kÝnh AB. Trªn tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn O t¹i A lÊy ®iÓm M (M kh«ng trïng víi A). Tõ M kÎ c¸t tuyÕn MCD (C n»m gi÷a M vµ D; tia MC n»m gi÷a tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I lµ tiÕp ®iÓm) víi ®êng trßn (O). §êng th¼ng BC vµ BD c¾t ®êng th¼ng OM lÇn lît tai E vµ F. Chøng minh:
a. Bèn ®iÓm A, M, I vµ O n»m trªn mét ®êng trßn.
b. .
c. O lµ trung ®iÓm cña FE
Bµi tËp 56
Cho nöa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M thuéc cung AB, C thuéc OA. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa M kÎ tia Ax,By vu«ng gãc víi AB .§êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P vµ Q .AM c¾t CP t¹i E, BM c¾t CQ t¹i F.
a/ Chøng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp 
b/ Chøng minh : EF//AB
c/ T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C ®Ó tø gi¸c AEFC lµ h×nh b×nh hµnh
Bµi tËp 57
Cho ®êng trßn (O) vµ ®êng th¼ng xy ngoµi ®êng trßn. §êng th¼ng ®i qua O vu«ng gãc víi xy t¹i H c¾t ®êng trßn (O) t¹i A vµ B. M lµ ®iÓm trªn (O), ®êng th¼ng AM c¾t xy t¹i E, ®êng th¼ng BM c¾t xy t¹i F, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t xy t¹i I, ®êng th¼ng AF c¾t (O) t¹i K. Nèi E víi K.
Chøng minh: IM = IF
Chøng minh: 4 ®iÓm E, M, K, F cïng thuéc mét ®êng trßn.
Chøng minh: IK lµ tiÕp tuyÕn cña (O).
T×m tËp hîp t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp AMH khi M di ®éng trªn (O)
Bµi tËp 58 
 Cho ®êng trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB; ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ O. KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I, ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O; R) t¹i M vµ N. Gäi S lµ giao ®iÓm BM vµ AN. Qua S kÎ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lît ë K vµ H. H·y chøng minh:
1) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK=HA.HM.
2) KM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O; R)
3) Ba ®iÓm H; N; B th¼ng hµng
Bµi tËp 59
Cho ®êng trßn (0; R), mét d©y CD cã trung ®iÓm M. Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm S, qua S kÎ c¸c tiÕp tuyÕn SA, SB víi ®êng trßn. §êng th¼ng AB c¾t c¸c ®êng th¼ng SO ; OM t¹i P vµ Q.
Chøng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp.
Chøng minh SA2 = SD. SC. 
Chøng minh OM. OQ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S.
Khi BC // SA. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A
X¸c ®Þnh vÞ ®iÓm S trªn tia ®èi cña tia DC ®Ó C, O, B th¼ng hµng vµ BC // SA.
Bµi tËp 60
Cho nöa ®êng trßn (0) ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB. K thuéc cung BM ( K kh¸c M vµ B ). AK c¾t MO t¹i I.
Chøng minh : Tø gi¸c OIKB néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.
Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M lªn AK. Chøng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp .
Tam gi¸c HMK lµ tam gi¸c g× ?
Chøng minh : OH lµ ph©n gi¸c cña gãc MOK.
X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó chu vi tam gi¸c OPK lín nhÊt (P lµ h×nh chiÕu cña K lªn AB)
Bµi tËp 61
Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (0). Tia ph©n gi¸c trong cña gãc B, gãc C c¾t ®êng trßn nµy thø tù t¹i D vµ E, hai tia ph©n gi¸c nµy c¾t nhau t¹i F. Gäi I, K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC.
a) Chøng minh: c¸c tam gi¸c EBF, DAF c©n.
b) Chøng mi