Chuyên đề về bất đẳng thức và bất phương trình

 1 
Chuyên Đề Bấc Đẳng Thức Và Bất Phương Trình 
I. Bất đẳng thức Côsi 
a/ Định lý: Nếu a0, b0 thì abba 
2
 hay 
a+b  ab2 Dấu '=' xảy ra  a=b 
b/ Các hệ quả: 
- Nếu a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b 
max  a = b 
- Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là min 
 a = b 
- Nếu a1, a2, a3,..,an  0 thì: 
n
n
n aaaa
n
aaa
....
...
3.21
21 

- 1 2a
a
  , a > 0 
* Ý nghĩa hình học: 
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, 
hình vuông có diện tích lớn nhất. 
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện 
tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
II. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối 
Định nghĩa: |x| =





0x neáu x-
0x neáu x 
; Rba  , 
baba  , dấu '=' xảy ra  a.b 0 
baba  , dấu '=' xảy ra khi a.b 0 
baba   a.b 0 
baba   a.b 0 
III. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 
Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: 
 (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2) 
 ))(( 2222 dbcacdab  
CM: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2) 
  a2b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2 
  a2d2+b2c2-2abcd  0 
  (ad-bc)20 đúng Rdcba  ,,, => đpcm 
Bài Tập: 
A. Chứng minh các bất đẳng thức sau. 
1. chứng minh rằng | x-y | + | y-z |  | x- z| 
HD: |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm 
2. Cho x2+y2=1,CMR: 22  yx 
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 1, d = y 
(1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2) 
 (x+y)2  2  22  yx 
3.Cho x+2y = 2 , CMR: x2+y2
5
4 
HD: Bunhiacopxki 4 số a = 1, b = x, c = 2, d = y 
4. Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 
2 2 22 yxyz x z  HD: Đưa về hằng đẳng thức 
5.Chứng minh rằng: 
1 1 1 , a 1a a
a
      
HD: bình phương 
6.Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1
1x x


với 0<x<1 HD: AD Côsi 
7.Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là 
những số thực tùy ý. CMR : a. 4 4 3 3y yx x y x   
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung. 
b. 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z      
HD: Chuyển vế sau đó đặt nhân tử chung. 
c.* a b a b
b a
   HD:Quy đồg chuyển vế 
d. 1 1 4
a b a b
 

 HD: Cô si cho 2 số a,b và 1/a , 
1/b sau đó nhân vào 
e.* 4
4
a b c d abcd    (bđt Cô-si cho 4 số) 
f. 1 1 1 1 16
a b c d a b c d
   
  
HD: Cô-si 4 số dương a, b, c, d và 1 1 1 1, , ,
a b c d
g. 2 1a 2b a
b
  HD: Cô-si 2 số dương a2b, 1/b 
h. ( )( )( ) 8a b b c c a abc    
HD: Cô-si cho a, b và b, c và c, a. 
i.  2 2 2( )a b a b ab   
Hd: Khai triển rồi Cô-si ( )a b và 2 ab 
 2 
j. 1 1 1 9
a b c a b c
  
 
HD: Cô-si 3 số dương a, b, c và 1 1 1, ,
a b c
B.Chứng minh các bất đẳng thức sau. 
1. Với x>3. Chứng minh 4 2
3
x
x



HD: 4 2 3x x   Cô-si cho 1 và x+3 
2.Với 
2 2y 1
4 9
x
  . Chứng minh |x.y|≤3 
HD: Cô-si cho 
2
4
x ,
2y
9
3.* Với a, b, c0 và a+b+c=1. CM: b+c  16abc 
HD: b+c  2 bc  (b+c)2  4bc (1) 
 a+(b+c)  2 ( )a b c  1 4a(b+c) (2) 
 (1)x(2) ta được đpcm 
4. Cho a, b, c, d  0. 
CM: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd 
HD: Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1 
5. Cho a,b,c >0. CMR : 8)1)(1)(1( 
a
c
c
b
b
a 
HD: Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,a b c
b c a
6. Với a,b,c,d không âm. 
CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)16abcd. 
7.Cho a,b,c > 0. CMR : 2bca ab
c
  
8. Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(
cba
111
 )  9 
9.Cho a,b > 0. CMR : (a+b)( 1 1
a b
 )  4 
10.Cho a,b,c > 0. CMR : 
4
22
a bc ab
c

 
HD: 
4
2
2 22 2
a bc aab bc ab
c c

    
11.Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. 
CMR : 64)11)(11)(11( 
cba
13.Cho a > 1 . CMR : 
2
1 aa  
HD: bình phương 2 vế 
14.Cho a,b,c >0 . CMR : 
1 1 1 1 1 1
a b c ab bc ac
     
15.Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1
b a
 
16. 2 2 2a , a,b,cb c ab bc ca       . Khi 
nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? 
17. 2 2a 0, ,b ab a b     . Khi nào dấu "=" 
(đẳng thức) xảy ra.? 
18. i. (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c  . 
 ii. a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương. Đẳng 
thức xảy xảy ra khi nào ? 
19. Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 53  x . 
Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 
20. Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau 
a. f(x)= 0x vôùi 
x
3x  b.f(x)= 
1
1


x
x với x > 1 
21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
y= 4 9
1x x


 với 0<x<1 
HD:
4 9 4( 1 ) 9( 1 )
1 1
4(1 ) 9 4(1 ) 9 4 9 13 2 . 25
1 1
25 , x (0;1)
x x x xy
x x x x
x x x x
x x x x
y
   
   
 
 
      
 
   
 Đẳng thức xảy ra 

4(1 ) 9 6 5
1
2(0;1)
x x
xx x
x
    
 
22.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3  x4 
với 0≤ x ≤ 4 
HD: 
12 3
27 3
2 12 2
0 4
x x
x x
y x
x x
x

     
 
  
 23.a2 – 3a + 3 > 0 , aR 
24.a2 + b2  2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR 
25.a2 + b2 + 4  ab + 2(a +b) , a, bR 
26.a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, 
c, d, eR 
27.
2
4
1
1 2
a a R
a
  

 , . Suy ra 
2 2
4 4 11 1
a b
a b
 
 
, a, bR 
28.
2 2 2 2
3 3
a b c a b c      
 
 , a, b, cR 
29.a3 + b3  ab(a+b) , a, b  0 
30. a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR 
31. a4 + 16  2a3 + 8a , aR 
32. ( )( )a b c d ac bd    , a, b, c, d > 0 
33. a b a b
b a
   , a, b > 0 
 3 
34. 2 2 3
2
a ab b a b    , a, bR 
35. 1 1 1a a
a
    , a  1 
36. 
2 2 2a b c a b c
b c a
     , a, b, c > 0 
37. a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR 
38.x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT 
5 3
2 3
( 1) ( 1) 1 0 
(1 ) (1 )
x x x x
x x x
      
     
8
neáu x 1
x neáu x < 1
39. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 
i. Nếu 1a a c
b b c

 

a thì 
 b 
ii. Nếu 1a a c
b b c

 

a thì 
 b 
b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 
1 2a b c
a b b c c a
   
  
40.Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam 
giác. CMR: 
a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) 
b. abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0 
41.Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2 1
2
 
42.Cho x + y + z = 1. CMR: 2 2 2 1
3
x y z   
43.CMR: a. 2 5 7x x    , xR 
b. 1 2 3 6x y x y       , x, yR 
44. 4
4
a b c d abcd    . (a, b , c, d  0) 
45. 3
3
a b c abc   . (a, b , c  0) 
46. 1 1 1 9
a b c a b c
  
 
 (a, b , c > 0) 
47. 1 1 1a b c
bc ca ab a b c
     (a, b , c > 0) 
48. ab bc ca a b c
c a b
     (a, b , c > 0) 
49. 2 2 1 1 2( )x y x y
x y
     (x , y > 0) 
50.(a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0) 
51. 1 1 1 8a b c
b c a
         
   
 (a, b , c > 0) 
52.(a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0) 
53.(1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = 1 và 
a, b, c  0 
54. 1 11 1 9
x y
      
  
 với x+y =1 và x , y > 0. 
55. (a + 2) (b + 8)  36 với ab = 4 và a, b > 0 
56. 1 1a b b a ab    a, b  1 
57. 4 1 4 1 4 1 5a b c      
với a + b + c = 1 và a, b, c  - 1
4
58. (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. 
Dấu bằng xảy ra khi nào? 
59. 2 3 13x y  với x2 + y2 = 1 
60. 3 2x y  2 với 9x2 + 4y2 = 1 
61. 2 3 35x y  với 2x2 + 3y2 = 7 
62. 2 2 14 9
8
x y  biết 4x + 6y = 1. 
Dấu bằng xảy ra khi nào? 
63. 2 2 94 3
7
x y  biết 4x - 3y = 3. 
Dấu bằng xảy ra khi nào? 
64.Tìm GTLN của hàm số sau: 
1. y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  7 
 (maxy = 36 khi x = 1) 
2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10
2 3
x  
3. y = 4
2
x
x
 với x  4 (maxy = 1
8
 khi x = 8) 
4. y = x + 28 x (maxy = 4 khi x =  2) 
5.y = 5 8
2 5
x
x



 với x > -5(miny = 4 khi x = -1) 
6. y = 9
2
x
x


 với x > 2 (miny = 8 khi x = 5) 
7. y = 2 2
9x
x
 với x  0 (miny = 6 khi x = 3 ) 
8. y = 
4
2
1x
x
 với x  0 (miny = 2 khi x = 1) 
9. y = (4 )(1 )x x
x
  với x > 0(miny = 9 khi x = 2) 
10. y = 2 4x x   (miny = 2 khi 2 < x < 4) 
11. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 
S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1 
 4 
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO ( Ôn Thi ĐHCĐ) 
1. Cho a,b,c,d > 0 
a. nếu a < b thì ab < 
a + c
b + c 
b. nếu a > b thì ab > 
a + c
b + c 
c. 1 < 
a
a + b + 
b
b + c + 
c
c + a < 2 
d. 2 < a + ba + b + c + 
b + c
b + c + d + 
c + d
c + d + a + 
d + a
d + a + b 
< 3 
2. Cho a b < 
c
d và b,d > 0,CM: 
a 
b < 
a + c
b + d < 
c
d 
3. Chứng minh rằng  a , b ,c 
a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a 
d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc  a2 + b2c2 
f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 
h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2  (a2 – b2)2 
j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0 
k) a
b
 + 
b
a
 ≥ a + b m) a
2
1 + a4  
1
2 
l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) 
n) ( a + b2 )
2  
a2 + b2
2 
o) a
2 + b2 + c2
3 ≥ ( 
a + b + c
3 )
2 
p) a
2
4 + b
2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc 
q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) 
s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac 
t) a2 + ab + b2 ≥ 34 (a + b)
2 
u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b 
v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
4.Cho a ,b  [– 1;1] . CM : |a + b|  |1 + ab| 
a)CM: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x1 + x ≥ 
y
1 + y 
b)CM: với hai số a và b tùy ý ta có 
|a – b|
1 + |a – b| ≤ 
|a|
1 + |a| + 
|b|
1 + |b| 
5.Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. CM : ab ≥ a + b 
6.Cho x ≥ 0,CM: x4 – x5 + x – x + 1 > 0 
7. Cho ba số a ,b ,c  [0;1], 
CM : a + b + c – ab – bc – ca  1 
8.Cho 0 < a  b  c . 
CM : b(
1
a + 
1
c ) + 
1
b (a + c)  (
1
a + 
1
c )(a + c) 
9. Cho a > b > 0 và c ≥ ab . 
CM: 
c + a
c2 + a2 
 ≥ 
c + b
c2 + b2 
10. Cho a + b + c  0. CM:a
3 + b3 + c3 – 3abc
a + b + c ≥ 0 
11. Cho ba số dương a ,b ,c CMR: 
1
a3 + b3 + abc + 
1
b3 + c3 + abc 
+ 
1
c3 + a3 + abc  
1
abc 
12. Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. 
CM: a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 
b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 
13.a) Cho a.b ≥ 1,CMR 11 + a2 + 
1
1 + b2 ≥ 
2
1 + ab 
 b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 . 
CMR: 
1
1 + a3 + 
1
1 + b3 + 
1
1 + c3 ≥ 
3
1 + abc 
 c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0. 
CMR: 
1
1 + 4x + 
1
1 + 4y ≥ 
2
1 + 2x+y 
14.  a,b,c,d CMR: 
a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 b. 
1<
a
a + b + c + 
b
a + b + d + 
c
b + c + d + 
d
a + c + d <2 
15. Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam 
giác ,CMR: 
a) ab + 
b
c + 
c
a – 
a
c – 
c
b – 
b
a < 1 
b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 
c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 
*d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 
*e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c 
*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 
16. Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 
CMR : a4 + b4 ≥ a3 + b3 
17. Cho a ,b ,c ≥ 0 CMR: 
a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc 
b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab 
c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 
18*. Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với 
a  b  c 
CMR: (a + b + c)2  9bc 
19*. Cho tam giác ABCCMR: aA + bB + cCa + b + c ≥ 

3 
20*. Cho a ,b ,c  [0;2] . 
CMR: 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4 
21.CMR : 11.2 + 
1
2.3 + 
1
3.4 + + 
1
n(n + 1) < 1 
 n  N 
22.CMR : 12! + 
2
3! + 
3
4! + + 
n – 1
n! < 1 
 n  N n ≥ 2 
 5 
23.Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + 
ca = 1 . CMR: 3  a + b + c  
1
abc 
24.Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. CMR: 
a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 
b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 
1.Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 CMR: 
a) ab + 
b
a ≥ 2 a , b > 0 b) a
2b + 
1
b ≥ 2a b > 0 
c) 2a
2 + 1
4a2 + 1
 ≥ 1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) 
e) a4+ a3b +ab+ b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab 
g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 h) a
2
a4 + 1  
1
2 
i) 1a + 
1
b ≥ 
4
a + b j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )
2 
k) 1a + 
1
b + 
1
c ≥ 
2
a + b + 
2
b + c + 
2
c + a 
l) a
2 + 2
a2 + 1
 ≥ 2 m) a
6 + b9
4 ≥ 3a
2b3 – 16 
o) a
2 + 6
a2 + 2
 ≥ 4 p) a
2
b2 + 
b2
c2 + 
c2
a2 ≥ 
a
c + 
c
b + 
b
a 
2/ Cho a > 0 CMR : (1 + a)2



1
a2 + 
2
a + 1 ≥ 16 
3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . CMR: 
a) a2b + 1b ≥ 2a 
b) a + b + c ≤ 12 ( a
2b + b2c + c2a + 
1
a + 
1
b + 
1
c ) 
4/ Cho 0 < a < b CMR: a < 21
a + 
1
b
 < ab < 
a +b
2 
5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 
CMR: a b – 1 + b a – 1  ab 
6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng : 
a) ab + 
c
b ≥ 2 ac (b  0) 
b) a + b + c ≥ ab + bc + ca 
c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc 
d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab 
e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac 
f) a2 + b2 + c2 ≥ 13 (a + b + c)
2 
g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc 
h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 
i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 
i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3 
7/ CMR: x (0; /2) ta có: 
cosx + sinx + tgx + cotgx + 
1
sinx + 
1
cosx > 6 
8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. 
CMR : a4 + b4 + c4 ≥ abc 
9/ Cho 3 số a,b,c không âm,CMR: 
a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc 
b) bca + 
ac
b + 
ab
c ≥ a + b + c 
c) (ab + 
b
a )( 
a
c + 
c
a )(
c
b + 
b
c ) ≥ 8 
d) (1 + ab )(1+ 
b
c )(1+ 
c
a ) ≥ 8 
e) (a + b + c)(1a + 
1
b + 
1
c ) ≥ 9 
f) (a + b + c)( 1a + b + 
1
b + c + 
1
c + a ) ≥ 
9
2 
g) a + bc + 
b + c
a + 
c + a
b ≥ 6 
h) a b+ c + 
b
c + a + 
c
a + b ≥ 
3
2 
i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 
j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac 
k) a + b + c + 62 ≥ a + b + 1 + c + 2 
10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,CMR: 
a) (ab + cd)( 1ac + 
1
bd ) ≥ 4 
b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) 
c) 1ab + 
1
cd ≥ 
8
(a + b)(c + d) d) 
(a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 
e) 1a + 
1
b + 
1
c ≥ 
9
a + b + c 
f) 1a + 
1
b + 
1
c + 
1
d ≥ 
16
a + b + c + d 
g) a
6 + b9
4 ≥ 3a
2b3 – 16 h) 
(abc + 1)( 
1
a + 
1
b + 
1
c )(
a
c + 
c
b + 
b
a ) ≥ a + b + c + 6 
11/ Cho hai số dương a và b. CMR: 
 (1 + 
a
b )
n + (1 + 
b
a )
n ≥ 2n+1 n  N 
12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng : 
a. ab  14 b. a
2 + b2 ≥ 
1
2 c. a
4 + b4 ≥ 
1
8 d. a
3+b3 ≥ 
1
4 
13/*.Cho a > b và ab = 1 CMR: a
2 + b2
a – b ≥ 2 2 
14/*. CMR: – 12  
(a + b)(1 – ab)
(1 + a2)(1 + b2)  
1
2 
 6 
15/ a) CMR: nếu b > 0 , c > 0 thì : b + cbc ≥ 
4
b + c 
b)Sử dụng kết quả trên CMR nếu a ,b ,c là ba 
số không âm có tổng 
 a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc 
16/ Cho a + b = 1,CMR: (1 + 1a )(1+ 
1
b ) ≥ 9 
17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . CMR: 
a) (1 + 1a )(1+ 
1
b )(1+ 
1
c ) ≥ 64 
b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  8729 
18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 
1
1 + a + 
1
1 + b + 
1
1 + c + 
1
1 + d ≥ 3 
 CMR: abcd  181 
19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 
b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) 
c) (p – a)(p – b)(p – c)  abc8 
d) 1p – a + 
1
p – b + 
1
p – c ≥ 2( 
1
a + 
1
b + 
1
c ) 
e) p < p – a + p – b + p – c < 3p 
20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1. 
CMR : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 
21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. 
CMR: – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3 
23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,.,an. CMR: 
a) a1a2 + 
a2
a3 +  + 
an
a1 ≥ n 
b) (a1 + a2 +  + an)(
1
a1 + 
1
a2 + + 
1
an ) ≥ n
2 
c) (1+ a1)(1+ a2)(1+ an) ≥ 2n với a1.a2.an = 1 
24/ Cho n số a1 ,a2 ,.,an  [0;1] CMR: 
 (1 + a1 + a2 + + an)2 ≥ 4(a12 + a22 + + an2) 
25/ Cho a > b > 0 , CMR : a + 1b(a – b) ≥ 3 
26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . CMR: 
a) 2 a + 33 b ≥ 55 ab 
b) 17125 ab17b12a5  
c) a
6 + b9
4 ≥ 3a
2b3 – 16 
27/ CMR: 1.3.5.(2n – 1) < nn 
28*.Cho ba số không âm a ,b ,c . CMR: 
 a + b + c ≥ 
knm nmkknm mknknm knm cbacbacba   
29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,.,an và b1 ,b2 
,.,bn. CMR: 
n
a1.a2....an + 
n
b1.b2....bn  
n
(a1 + b1)(a2 + b2).(an + bn) 
30/ CMR: 
4
(a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3)
a + b + c + d ≤ 
1
4 
  a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3 
31/*.  n  N CMR: 
a) 1. 122 
. 
1
33
. 1
44
.. 1
nn < 
2
)1n(n
1n
2








b) 1.22.33.44nn < 
2
)1n(n
3
1n2






  
32/*.Cho m,n  N ;m > n . CMR : 
 ( 1 + 
1
m )
m > ( 1 + 
1
n )
n 
33/*.Cho x1,x2,xn > 0 và x1 + x2 + .+ xn = 1 
CMR: (1 + 1x1 )(1+ 
1
x2 )(1+ 
1
xn ) ≥ (n + 1)
n 
34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 
thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 
CMR : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 
35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). CMR: trong 3 bất 
đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai. 
a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; 
c(1 – a) > 1/4 (3) 
36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. CMR: 
2 a 
a3 + b2 + 
2 b 
b3 + c2 + 
2 c 
c3 + a2  
1
a2 + 
1
b2 + 
1
c2 
37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,CMR : 
(2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  
81
8 
38/*.Cho a , b , c > 1. CMR: 
a) log2a + log2b  2 log2


a + b
2 
b) 2



logba
a + b + 
logcb
b + c + 
logac
c + a ≥ 
9
a + b + c 
39/ Cho a ,b ,c > 0. CMR: 
a) ab + c + 
b
c + a + 
c
a + b ≥ 
3
2 
b) a
2
b + c + 
b2
c + a + 
c2
a + b ≥ 
a + b + c
2 
c) a + bc + 
b + c
a + 
c + a
b ≥ 6 
d) a
3
b + 
b3
c + 
c3
a ≥ ab + bc + ca 
e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc 
f) bca + 
ac
b + 
ab
c ≥ a + b + c 
 7 
g) a
2
b + c + 
b2
c + a + 
c2
a + b ≥ 
a + b + c
2 
 ≥ 
ab
a + b + 
bc
b + c + 
ca
c + a 
40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . CMR: 
 a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 
41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1a + 
1
c = 
2
b . 
CMR: a + b2a – b + 
c + b
2c – b ≥ 4 
42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. 
CMR: a) 1a + 
1
b + 
1
c ≥ 9 
b) 1a2 + 2bc + 
1
b2 + 2ac + 
1
c2 + 2ab ≥ 9 
43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. CMR: 
 (1 + 
1
a )(1 + 
1
b )(1 + 
1
c ) ≥ (1 + 
3
k )
3 
44/ Cho ba số a ,b ,c  0. CMR: 
a2
b2 + 
b2
c2 + 
c2
a2 ≥ 
a
b + 
b
c + 
c
a 
45/ Cho tam giác ABC, CMR: 
a) ha + hb + hc ≥ 9r 
b) a – ba + b + 
b – c
b + c + 
c – a
c + a < 
1
8 
Dùng tam thức bậc hai 
1/  x , y  R CMR: 
a. x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 
b. x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z 
c. 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0 
d. 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0 
e. x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 
f. (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y) 
g. 3



x2
y2 + 
y2
x2 – 8


x
y + 
y
x + 10 ≥ 0 
h. (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z) 
2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d . 
CMR: (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) 
3/ CMR: (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 
4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. CMR: ab ≥ 1/4 
5*/ Cho – 1  x  12 và – 
5
6 < y < 
2
3 , 
CMR: x2 + 3xy + 1 > 0 
6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1. 
Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 
a2
3 
a) CMR: f(x) > 0 x 
b) CMR: a
2
3 + b
2 + c2 > ab + bc + ca 
7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . 
CMR: x3 – 3x  y3 – 3y + 4 
Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số : 
a) y = x2 + 4x2 
b) y = x + 2 + 1x + 2 với x > – 2 
c) y = x + 1x – 1 với x > 1 
d) y = x3 + 
1
x + 2 với x > – 2 
e) y = x
2 + x + 1
x với x > 0 
f) y = 4x + 
9
1 – x với x  (0;1) 
8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: 
a. y = x(2 – x) 0 x  2 
b. y = (2x – 3)(5 – 2x) 32  x  
5
2 
c. y = (3x – 2)(1 – x) 23  x  1 
d. y = (2x – 1)(4 – 3x) 12  x  
4
3 
e. y = 4x3 – x4 với x  [0;4] 
11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox 
và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao 
cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường 
tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A 
và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 
12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 A = 
ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4 
abc 
13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
hàm số y = x – 1 + 5 – x 
 8 
Bất phương trình bậc nhất 
A. Lý thuyết. 
Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức: 






BA
A
BA
0
 ; 






BA
A
BA
0









2
0
0
BA
B
A
BA ; 









2
0
0
BA
B
A
BA 


















2
0
0
0
BA
B
B
A
BA ; 


















2
0
0
0
BA
B
B
A
BA 
BABA  33 
Bất phương trình ax+b > 0 
Từ bất phương trình ax+b > 0  ax > -b (1) 
 Biện luận: 
 + Nếu a = 0 => (1)  0x > -b 
 . nếu b > 0 => bpt VSN 
 . nếu b 0 => bpt VN 
 + Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x > 
a
b
 
 + Nếu a bpt có nghiệm x < 
a
b
 
VD: giải và biện luận bpt: (m-1)x -2+3m > 0 (1) 
HD: (1) (m-1)x > 2-3m (2) 
Nếu m-1= 0  m=1 (2) 0x > -1 => bptVSN 
. Nếu m-1> 0  m > 1 => bpt có ng x > 
1
32


m
m 
. Nếu m-1 bpt có ng x < 
1
32


m
m 
 KL. m =1 bpt VN 
 . m > 1 bpt có nghiệm x > 
1
32


m
m 
 . m < 1 bpt có nghiệm x < 
1
32


m
m 
B. BÀI TẬP 
1. Giải btp sau:
a) (2 3)( 1)x x x x    b) ( 1 3)(2 1 5) 1 3x x x       c) 2( 4) ( 1) 0x x   
d) 2( 2) ( 3) 0x x   e) 2(x1)+x > 3 3
3
x 
 f) 2 2( 2) ( 2) 2x x    g) x(7x)+6(x1)<x(2x) 
h) 2 2 1 3
2 3 4 2
x x x x  
    k) ( 2) 3 4 0x x x    l) ( 2) 3 4 0x x x    
m) 2( 1) ( 2) 0x x   n) 2 8 4 21 0x x    
2.Giải các hệ bất phương trình sau. 
a) 
3 5 2 1
4 1 3 2
x x
x x
  

  
 b) 
4 7 8
2 3 12
x x
x x
  

  
 c) 
5 2 4 5
5 4 2
x x
x x
  

  
 d) 
2 1 3 4
5 3 8 9
x x
x x
  

  
 e) 
8 3 15
8 5 6 7
2 4 5 3
x x
x x
x x
  

  
   
f) 
1 2 2
2 3 6
4 3 2 5
x x x
x x
    

   
 g) 
6 5 2 4
6 2 4 3
3 2
x x
x x
  

 

 h) 
3 3(2 7)2
5 3
1 5(3 1)
2 2
xx
xx
  

  

i) 
3 1 3 1 2 1
2 3 4 3
2 1 43
5 3
x x x x
x x
      

   

3. Tìm điều kiện của các bpt sau: a. 2 2
1 2 1
4 ( 1)
x x
x x
 

 
 b. 3 2
2 5 3
3 4
x x
x x

 
 
4. CMR các bpt sau vô nghiệm: 
a/ 2 1 1x x   b/ 2 7 2x x    c/ 4 2
8 ( 1)( 3)
x x
x x x
 

  
 d/ 11 2
1
x
x
  

 9 
5/Giải các bpt sau: a. ( 3) 1 5
1
x x
x
 


 b. x2 > x c. 4 2x x d. 1 1
x
 
6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: 
a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m 
7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: 
a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2 
8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: 
2 4
(1 ) 4
x x
m x m
  

 
 (ĐS: m<1) 
9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm: 
a. 
4
3 1 5 2
x m
x x
 

  
 b. 
2 5 2
2 3
x x
mx m
  

 
10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : 
5 3 1
3 2 3
x m x
x x m
  

  
 (ĐS: m=
1
7
) 
Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a  0) 
x - -b/a + 
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các 
nhị thức bậc nhất: 
(ax+b)(cx+d)(fx+k);
))((
))...()((
mkxhgx
fexdcxbax

 
ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng 
một bảng xét dấu. 
Các bước xét dấu biểu thức : 
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc 
dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. 
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất. 
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một 
bảng xét dấu. 
B4 : Tổng hợp => kết luận. 
Giải bất phương trình bậc nhất 
B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc 
f(x)<0 hoặc f(x)  0 hoặc f(x)  0. 
B2 : Xét dấu biểu thức f(x). 
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => 
tập nghiệm. 
Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng 




(2) pt Baát
(1) pt Baát
 (I) 
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1. 
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 . 
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1 S2. 
BÀI TẬP 
A. Xét dấu các biểu thức sau: 
1. f(x)= (2x1)(x+3) 2. f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) 3. f(x)= 4 3
3 1 2x x


 
 4. f(x)= 4x21 5. f(x)= 2 1
( 1)( 2)
x
x x

 
6. f(x)=(2x+3)(x2)(x+4) 7. f(x)= 3 1
2 1 2x x

 
 8. f(x)=(4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 9. G=(3x1)(x+2)
 10. H= 2 3
5 1
x
x


 11. K= (x+1)(x+2)(3x+1) 12. L= 22
3 2
x
x



 13. M= 9x2 1 14. N= x3+7x6 
15. O= x3+x25x+3 16. P=x2x 2 2 17. Q= 1 1
3 3x x

 
 18. R=
2
2
6 8
8 9
x x
x x
 
 
 19. S=
2
4 2
4 4
2
x x
x x
 

20. T= 2
| 1 | 1
1
x
x x
 
 
B. Giải các bất phương trình sau 
 10 
 1. |5x4| 6 2. 5 10
2 1x x


 
 3. |2x1|≤ x+2 4. |x1|≤ 2+x4|+x2 5. 3 1
2 x


 6. 
2
2
3 1
4
x x
x
 


7. 1 1 1
1 2 2x x x
 
  
 8. |x3| > 1 9. |58x|≤ 11 10. |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 11. ( 2 x+2)(x+1)(2x3)>0 
12. 4 1 3
3 1
x
x
 
 

 13. |x+1|+|x1|=4 14. | 2 1 | 1
( 1)( 2) 2
x
x x


 
 15. |5+x|+|x3|=8 16. |x25x+6|=x25x+6 
17. |2x1|= x+2 18. |x+2|+|x1|=5 19. |3x