Chuyên đề về các bất phương trình

 1 
Chuyên Đề Bất Phương Trình 
Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất. 
Giải và biện luận dạng 0 :ax b  
0ax b  bx
a
   . 
+ Nếu a>0 thì bx
a
  .Tập ng S= ( ; ).b
a
  
+ Nếu a<0 thì bx
a
  . Tập ng S= ( ; ).b
a
  
+Nếu a=0 thì , 0x b  do đó: 
 . Khi 0b  thì bpt vô nghiệm:S= . 
 . Khi 0b  thì bpt thỏa với mọi x: S=R. 
 *Giải và biện luận dạng 0x b a : 
0x b  a x b a . 
+Nếu a>0 thì bx
a
  . Tập ng S= ; ).b
a
 [ 
+Nếu a<0 thì bx
a
  . Tập ng S= ( ; .b
a
  ] 
+Nếu a=0 thì 0x b  . Do đó: 
. Khi 0b  thì bpt thỏa với mọi x : S=R. 
. Khi 0b  thì bpt vô nghiệm: S= . 
Chú ý: 
+ Điều kiện cần để 0x b a có nghiệm 
hoặc vô nghiệm với mọi x là a=0. 
+ Điều kiện để 0x b a có nghiệm là 0.a  
hoặc a=0, b>0. 
VD1: Giải các bất phương trình: 
a. 2 1 3.
3
x x x     (1) b. 1 2 3 1 .
2 3 4 2
x x x x  
    (2) 
HD: a, (1) 42 3 3 3 9 5 4
5
x x x x x            . Vậy: S= 4( ; ).
5
  
 b, 11(2) 6 6 4 8 3 9 12 6 7 11 .
7
x x x x x x              . Vậy Tập nghiệm S= 11;
7
   
. 
 Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 
1. 3 5 21 .
2 3
x x x    2. (1 2) 3 2 2.x   3.  22( 3) 3 2.x x    4. 25( 1) (7 ) .x x x x    
6. 2( 1) 3( 1) 2 5.x x x x      7. 2 2 2 2( 1) ( 3) 15 ( 4) .x x x x       
VD2:Giải và biện luận các bất phương trình: 
a) ( ) 1.m x m x   b) 23 ( 3).x m m x   
HD: a) ( ) 1.m x m x   2( 1) 1.m x m    ( 1) ( 1)( 1).m x m m    
 Nếu: m=1 thì 0 2x  (đđúng). Tập nghiệm: S=R. 
 Nếu: m>1 thì x m+1. Tập nghiệm: S=  ; 1m  . 
 Nếu : m<1 thì x m+1. Tập nghiệm: S=  1;m  . 
 b) 23 ( 3).x m m x   2( 3) 3 .m x m m    ( 3) ( 3).m x m m    
 Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x 0: nghiệm với mọi x . 
 Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x m. 
 Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x m. 
Bài tập: Giải và biện luận các bất phương trình: 
1. 6 2 3 .mx x m   2. ( 1) 3 4.x k x x    3. ( 1) 3 4 1.a x a x     4. ( ) 2(4 ).m x m x   
5. ( 1) 4 5.k x x   6. ( 1) 2b x x   . 
 2 
Dạng 2: Bất phương trình bậc hai. 
Bất phương trình bậc hai 2 0ax bx c   
(a 0) được giải như sau: 
Xét dấu tam thức: 2( )f x ax bx c   . 
+Xét 0  : ( )f x luôn cùng dấu với a, x . 
Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô 
nghiệm. 
 Nếu a>0 thì bất phương trình 
nghiệm đúng với mọi x . 
+Xét 0  : ( )f x luôn cùng dấu với a, 
x 
2
b
a
 . 
Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô 
nghiệm. 
 Nếu a>0 thì bất phương trình 
nghiệm đúng x 
2
b
a
 . 
+Xét 0  : ( )f x luôn có hai nghiệm phân 
biệt 1 2x x . 
Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình có 2 
nghiệm 1 2x x x  . 
 Nếu a>0 thì bất phương trình có 
nghiệm 1x x hoặc 2x x . 
x - 1x 2x + 
f(x) Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a 
 * Bất phương trình tích: 
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng 
( ) 0P x  ; ( )P x  0; ( )P x >0; ( )P x  0. trong 
đó ( )P x là tích một số nhị thức bậc nhất và 
tam thức bậc hai. 
- Lập bảng xét dấu vế trái rồi chọn miền 
nghiệm.
 * Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức. 
 - Đặt điều kiện xác định. 
-Đưa bất phương trình đã cho về dạng 
( ) ( ) ( ) ( )0; 0; 0; 0.
( ) ( ) ( ) ( )
P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x
    
Trong đó : tử thức, mẫu thức là tích một số 
nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. 
-Lập bảng xét dấu vế trái rồi chọn miền 
nghiệm thích hợp với điều kiện. 
VD1: Giải bất phương trình: a. 25 4 12 0x x    . b. 
2
2
9 14 0
5 4
x x
x x
 

 
 HD: a, Tam thức bậc hai: 2( ) 5 4 12.f x x x    có nhgiệm 6
5
x   và 2.x  
 BXD: 
 x - 6
5
 2 
+ 
 ( )f x - 0 + 0 - 
 Vậy tập nghiệm: 6( ; ) (2; )
5
S      . 
 b, * Tìm nghiệm: 
 2 9 14 0.x x   2
7
x
x

 
 . (Nghiệm tử) 2 14 4 0
4
x
x x
x

     
 (Nghiệm mẫu). 
 x - 1 2 4 7 
+ 
VT +  - 0 +  - 0 
+ 
 3 
 Vậy tập nghiệm: ( ;1) (2;4) (7; )S      . 
 Bài tập:Giải các bất phương trình sau: 
1. 216 40 25 0x x   2. 23 4 4 0x x   . 3. 2 6 0x x   . 4. 2(2 1)( 30) 0x x x    . 5. 4 23 0x x  . 
6. 2 2( 3)( 6) ( 2)( 5 4)x x x x x x       . 7. 3 22 2 0x x x    . 8. 
2
2
2 7 7 1
3 10
x x
x x
  
 
 
. 
9. 2 2
1 1 .
5 4 7 10x x x x

   
 10. 
3
2
( 1)( 1) 0
(1 2 2) 2 2
x x
x x
 

   
. 12. 2
18( 1)( 3)
4 4
x x
x x
  
 
. 
13. 2 2
6 0
2 5 3 2 5 3
x x
x x x x
 
   
. 
VD2: Tìm m để phương trình sau: 2 2( 6 16) ( 1) 5 0m m x m x      có hai nghiệm trái dấu. 
HD: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c<0. 
 2( 6 16)( 5) 0m m    .  2 6 16 0m m   .  m2. 
 Vậy ( ; 8) (2; )m     thì thỏa bài toán. 
Bài tập: 1). Xác định m để: 
a. 2( 5) 4 2 0m x mx m     có nghiệm. b. 2( 1) 2( 1) 2 3 0m x m x m      có nghiệm. 
c. 2 (2 ) 2 0x m x m     có hai nghiệm x1, x2 thỏa: 
2 2
1 2
2 1
7x x
x x
   
    
   
. 
d. 2 26 2 2 9 0x mx m m     có 2 nghiệm dương phân biệt. e. 25 0x x m   có nghiệm. 
 2) Giải và biện luận các bất phương trình: 
a. 2 1 (3 2) 3a x a x    . b. 2 22 ( 9) 3 4 0x m x m m      . c. 2( 2) 2( 1) 0m x m x m     . 
d. 2 ( 1) 2 0mx m x    . 
Dạng 3: Một số bất phương trình quy về bậc hai: 
* Bất pt chứa ẩn dưới căn thức: 
Phá căn thức bằng cách: 
- Đặt điều kiện và bình phương. 
- Đặt ẩn phụ. 
-Nhân lượng liên hiệp,.. 
- Dạng cơ bản: 
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
 
  
 
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
f x
f x g x
g x

  

hoặc 
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x



. 
Chú ý: 
- Biến đổi về bất phương trình tích. 
- Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến 
của hàm số. 
- Đặt ẩn phụ rồi chuyển phương trình 
thành hệ phương trình cơ bản. 
VD1: Giải bất phương trình: 2 6 1.x x x    (1) 
HD: (1) 
2
2 2
6 0
1 0
6 ( 1)
x x
x
x x x
   

  
    
 72 .
3
x   Vậy Tập nghiệm 72;
3
S    
. 
Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 
1. 2 1 2 3.x x   2. 22 1 1 .x x   3. 2 5 14 2 1.x x x    4. 26 ( 3)( 2) 34 48x x x x     . 
5. 
2
2 4 1
3 10
x
x x


 
. 6. 2 2( 2) 4 4.x x x    7. 2 2 22 2 3 4 5x x x x x x        . 
 4 
 * Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách 
- Dùng định nghĩa 0
0.
A khi A
A
A khi A

 
 
 - Chia miền xét dấu. 
- Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn 
phụ, đánh giá 2 vế. 
Dạng cơ bản: 
( ) 0
( ) ( )
( ) 0, ( ) ( ) y f ( ) ( ).
g x
f x g x
g x f x g x ha x g x

      
 
2 2
( ) 0
( ) 0, ( ) ( ).
g x
g x f x g x

  
( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
g x
f x g x
g x f x g x

  
  
  
   2 2
( ) 0g x
f x g x



. 
VD2: Giải bất phương trình: 2 1 2 5.x x x     (*) 
HD: (*)  
2
2 5 0
(2 5) 1 2 5.
x
x x x x
 

       
2
2
5
2
2 5 1
1 2 5.
x
x x x
x x x
  
      
    

. 2
2
5
2
3 4 0
3 6 0.
x
x x
x x
  
    
   

1 4.x    Vậy nghiệm của bất phương trình là  1;4x  . 
Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 
1. 2 2 1x x x   . 2. 3 4 3
2
x
x



. 3. 2 3 1
3
x
x



. 4. 24 4 2 1 5x x x    . 
5. 2 25 4 6 5x x x x     . 6. 25 4 12x x x    . 7. 3 8 2x x   .