Chuyên đề về các Số chính phương

CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.II. TÍNH CHẤT:1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNGA. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phươngBài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n>1 không phải là số chính phương
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương.
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.
CM : 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k-1) + (2k+1) là số chính phương với k là số tự nhiên

Chúng ta đều biết rằng một số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nhưng 2 chữ số của một số chính phương có thể là những số nào ?~x(Nếu A là một số chính phương thì ta luôn có thể biểu diễn nó dưới dạng như sau: A = (10a + b)^2 với a,b là các số nguyên không âm, b<=9.Khi đó A = 20a(5a + b) + b^2 có:+ Số 20a(5a + b) có hàng đơn vị là 0, còn hàng chục là một số chẵn.Do đó tính chẵn lẻ của 2 chữ số tận cùng của A trùng với tính chẵn lẻ của 2 chữ số của số b^2.+ Ta lại thấy : tất cả các giá trị có thể có của b^2 là : 00, 01, 04, 09, 16, 25 , 36, 49, 64, 81 Từ đó ta có thể rút ra đựoc kết luận sau:1) Nếu hàng đơn vị của một số chính phương là 6 thì chữ số hàng chục pảhi là số lẻ.2) Nếu hàng đơn vị của số chính phương là khác 6 thì chữ số hàng chục phải là số chẵn3) Không có số chính phương nào tận cùng là 2 số lẻ4) Nếu 2 chữ số cuối của số chính phương là cùng là chẵn thjì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là 0 hoặc 4Căn cứ vào đó ta có thể giải quyết một số nhiều các bài toán liên quan đến số chính phương.Ví dụ:a) Cho 5 số chính phưong có hàng chục đôi một khác nhau và hàng đơn vị là 6. CHứng minh rằng tổng tất cả các chữ số hàng chục của 5 số trên cũng là một số chính phuơng..b) Tìn số chính phương có 4 chữ số, trong đó có 3 số cuối giống nhau ( abbb )

) Cho 5 số chính phưong có hàng chục đôi một khác nhau và hàng đơn vị là 6. CHứng minh rằng tổng tất cả các chữ số hàng chục của 5 số trên cũng là một số chính phuơng.Chỉ có 5 chữ số lẻ là tập A = {1, 3, 5, 7, 9}, mà 5 số chính phương có số hàng chục đôi một khác nhau nên tương ứng giữa tập các số hàng chục của 5 số chính phương và tập A là 1 - 1, do đó tổng các số hàng chục này là: 1+3+5+7+9 = 25 là số chính phương. Đó là đpcm.b) Tìm số chính phương có 4 chữ số, trong đó có 3 số cuối giống nhau ( abbb ).Căn cứ tính chất 4 của limit_tq nêu trên ta suy ra b = 0 hoặc b = 4.- Nếu b=0 thì số a000 = a0 x 100 là số chính phương khi a0 là số chính phương. Nhưng với a = 1, 2,... 9 đều không có số nào chính phương cả. Loại !- Nếu b = 4, thì số a444 là nằm trong khoảng từ 1444 (= 38^2) đến 9444 (nhỏ hơn 49^2). Vậy nếu số a444 là số chính phương thì nó chỉ có thể là bình phương của các số trong khoảng từ 38 đến 48. Hơn nữa số chính phương có tận cùng là 4 thì nó phải là bình phương của 1 số có tận cùng là 2 hoặc 8. Kết hợp 2 điều này ta chỉ cần xét các số 38^2, 42^2 và 48^2. Kiểm tra ta chỉ có số 38^2 thỏa mãn (tương ứng với a = 1).Vậy số chính phương duy nhất phải tìm là 1444.Nhận xét: Khi sử dụng các tính chất của bạn limit_tq nêu ra, ta phải chứng minh trước khi sử dụng. Tuy nhiên việc chứng minh lại khá đơn giản, nên điều quan trọng hơn là có biết các tính chất này không để mà sử dụng thôi !!!
Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương
Hjz !!! Em hok phải là kẻ "lót đường" :(:(:(:LÀm hẳn hoi choa dễ nhìn :D:D (cái đề ý thứ nhất thiếu 1 ý là n nguyên dương nhá :p:p:pa)(n^2+3n)^2 A=m(m+1)(m+2)(m+3) .Xét n<-3 theo ý trên thì A không thể là 1 số chính phương (do m \ge 0)Vậy n \ge -3Xét n \ge 0 thì m \ge 0 (không là 1 số chính phương)Vậy -3 \leq n \leq 0 vậy n \in [0,-1,-2.-3]
Xét các dãy số được viết theo quy luật số sau nhận từ số trước bằng cách chèn số vào giữa.Chứng minh tất cả các số trong dãy trên đều là số chính phương
Ta CM = quy nạp theo số chữ sốTa Cm (Số chữ số 5 kém số chữ số 1 là 1 và số chữ số 3 = số chữ số 5)Đầu tiên với số chữ số ta có: Giả sử CM quy nạp đúng tới số chữ số . Ta Cm điều này cũng đúng với Điều này tương đương với CM(k+1 chữ số 5 và 3;k+2 chữ số 1) biết (k chữ số 5 và 3;k+1 chữ số 1)Ta có Từ đây chỉ cần đem cộng lại(dễ dàng cộng do số có quy luật về chữ số)=>với số chữ số 1 và 5 tăng lên 1=> Giả thiết quy nạp đúng.
Tìm số chính phương sao cho các số sau đều là số chính phương: 

Xét riêng với 2 số Ta đặtNhận xét: Mà ta có Ta có Nhận xét: Nếu thừa số 5 ở cả 1 vế hoặc thì vô lí vì và cùng tính chẵn lẻ=> => => Nhận xét tiếp: Thay vào ta ra 2 giá trị m thỏa mãnCứ tiếp tục chặn 2 đầu chắc là ra

đặt ta có: do nên vì vậy suy ra chữ số tận cùng của và giống nhau, mà nên có tận cùng bằng đặt ta có vậy ta có: tiếp tục làm thía này với các số còn lạihíc, nhầm một tí, nhưng xóa mất bài trc' ùi nên hem sửa đc