Chuyên đề Về hình học phẳng

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG.
Bài 1: Cho tam giác ABC cố định. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm di động trên BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF luôn đồng quy ở O. Xác định vị trí các điểm D, E, F sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Đặt 
Do luôn đồng quy tại , ta có định lý Mê-nê-la-uýt:
 ; 
Mà 
Do 
Và 
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: 
Dấu “=” xảy ra lần lượt là trung điểm các đoạn .
Bài 2: Cho đường tròn và một đường thẳng . Gọi là chân đường vuông góc từ tới . . Từ kẻ 2 đường tiếp tuyến tới là . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định.
Giả sử .
Từ kẻ ; 
Dễ dàng chứng minh cố định.
Trước hết ta dễ dàng chứng minh các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính 
Mà ta lại có: là đường thẳng Xim-sơn của 
 thẳng hàng.
Do tứ giác nội tiếp 
Ta lại dễ dàng nhận thấy tứ giác nội tiếp
Từ (1) và (2) suy ra (do )
 cân ở F 
Mà vuông ở cố định
Mà luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 3: Cho có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn . Các đường phân giác lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp . Nối .
Ta có: Do là phân giác góc C nên 
Tương tự: là phân giác góc A nên 
Suy ra cân
Chứng minh tương tự: 
Ta cũng có: 
 (do (1)) 
Do tứ giác nội tiếp, áp dụng định lý Ptôlêmê:
Từ (2) và (3) suy ra: 
Tương tự: 
Dấu “=” xảy ra đều.
Vậy đều.
Bài 4: Cho và điểm là chân đường cao kẻ từ xuống . Đường thẳng đi qua sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn Chứng minh rằng: .
Trước hết, ta thấy các tứ giác nội tiếp
Mà lần lượt là trung điểm các đoạn