Chuyên đề: Về Phương trình bậc cao

CHUYấN ĐỀ: PHƯƠNG TRèNH BẬC CAO 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIấN THCS Trang 1 
I. Giải phương trỡnh khi biết một nghiệm của phương trỡnh 
 Cần dự đoỏn nghiệm của phương trỡnh bằng cỏch thử cỏc ước của hệ số tự do. 
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh x3 – x2 + 3x – 10 = 0 (1) 
 Dễ thấy, x = 2 là nghiệm của phương trỡnh, nờn: (1) Û (x – 2)(x2 + x + 5) = 0. 
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh 8x3 – 2x2 – x + 1 = 0. Dễ thấy: x = 1
2
- là nghiệm. 
Bài tập: 
 a) x4 + 4x + 3 = 0. 
 b) x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = 0. 
 c) x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0. (Bài toỏn Đề Cỏc) 
 d) x3 – 19x – 30 = 0. 
II. Phương phỏp đặt ẩn phụ 
 Ngoài 2 dạng chỳng ta đó biết về phương phỏp đặt ẩn phụ đó học trong chương trỡnh lớp 9 đú 
là phương trỡnh trựng phương và phương trỡnh tớch. Chỳng ta cần xột một số dạng sau: 
1. Đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trỡnh bậc hai 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh (x2 + 2x + 3)2 – 9(x2 + 2x + 3) + 18 = 0. 
HD: Đặt y = x2 + 2x + 3. Phương trỡnh cú dạng y2 – 9y + 18 = 0. 
Bài tập: 
 a) 
22x 1 2x 14 3 0
x 2 x 2
- -ổ ử ổ ử- + =ỗ ữ ỗ ữ+ +ố ứ ố ứ
 b) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0. 
 c) (x2 – x + 1)4 – 10x2(x2 – x + 1) + 9x4 = 0. 
2. Phương trỡnh hệ số đối xứng 
 - Phương trỡnh hệ số đối xứng nếu cú nghiệm x0 thỡ x0 ≠ 0 và 
0
1
x
 cũng là nghiệm 
 - Phương trỡnh hệ số đối xứng bậc lẻ luụn nhận x = –1 là nghiệm. 
 - Nếu f(x) là đa thức bậc lẻ cú hệ số đối xứng thỡ f(x) = (x + 1) g(x), trong đú g(x) là đa thức bậc 
chẵn cú hệ số đối xứng. 
PP giải: Chia cả hai vế của phương trỡnh cho x2. Đặt x + 1
x
 = t ị x2 + 2
1
x
 = t2 – 2. 
Vớ dụ: Cho phương trỡnh 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + 8 = 0. 
 a) Giải phương trỡnh khi m = –16 
 b) Tỡm m để phương trỡnh vụ nghiệm. 
Bài tập: Giải phương trỡnh 
 a) x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0. 
 b) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x + 6 = 0. 
 c) 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0. 
 d) x4 – 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0 
 e) x4 – x3 – x + 1 = 0 
 f) x5 – 5x4 + 4x3 + 4x2 – 5x + 1 = 0. 
 g) x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0. 
3. Phương trỡnh hồi qui 
 - Phương trỡnh ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a, d ≠ 0 và ac3 = db3. Dễ thấy: x = c
b
- là một nghiệm của 
phương trỡnh. 
 - Phương trỡnh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0 và ad2 = eb2). Đặt d t
b
= thỡ e = at2, d = bt và 
phương trỡnh trở thành: ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0. Do x = 0 khụng là nghiệm, nờn ta chia cả hai 
vế của phương trỡnh cho x2. 
Tiếp theo đặt x + t
x
 = y ị x2 + 
2
2
t
x
 = y2 – 2t. Lỳc này, phương trỡnh theo y là một phương trỡnh 
bậc hai, dễ dàng giải được. 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0. 
CHUYấN ĐỀ: PHƯƠNG TRèNH BẬC CAO 
ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIấN THCS Trang 2 
HD: Đặt x – 5
x
 = y ta được phương trỡnh: 2y2 – 21y + 54 = 0. 
4. Phương trỡnh dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ( c > 0): 
 - Đặt x = y a b
2
+
- . Khi đú, phương trỡnh đó cho trở về dạng phương trỡnh trựng phương. 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = 2. 
HD: x = 2005. 
Bài tập: 
 a) (x – 2)4 + (x – 3)4 = 1. 
 b) (x – 5)4 + (x – 2)4 = 17. 
 c) x4 + (x – 1)4 = 97. 
 d) (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4 
 e) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 
5. Phương trỡnh dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (a + b + c + d = b) 
PP Giải: Biến đổi về dạng (x2 + bx + ab)(x2 + bx + cd) = m. Đặt x2 + bx = y ị phương trỡnh bậc 2. 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297. 
Bài tập: 
 a) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 3 
 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 
 c) (x2 + 3x – 4)(x2 + x – 6) = 24. 
6. Phương phỏp hệ phương trỡnh đối xứng: 
PP Giải: Phương trỡnh dạng a(x2 + bx + c)2 + (x2 + bx + c) + c = x (a ≠ 0) Đặt y = x2 + bx + c. Lỳc 
này ta cú hệ phương trỡnh đối xứng: 
2
2
ax bx c y
ay by c x
ỡ + + =ù
ớ
+ + =ùợ
. Trừ từng vế được 
Û 
2 2
2 2
x y x ax bx c ax (b 1)x c 0
(b 1) (b 1) b ac 1x y x ax bx c ax (b 1)x 0
a a a
= ộ ộ= + + + - + =ộ
ờ ờờ Û Û- + - + + +ờ ờờ + = + + + = + + + =
ờ ờở ở ở
Vớ dụ: Giải phương trỡnh: (x2 + x – 2)2 + x2 = 4. 
HD: (1) Û (x2 + x – 2)2 + (x2 + x – 2) – 2 = x. ĐS: x ẻ {0, -2, 2± } 
4. Phương phỏp chia xuống 
 Chia cả tử và mẫu cho một lượng khỏc khụng thỡ khụng đổi. 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh 2 2
x 2x 1
x 3x 1 3x 5x 3
+ = -
+ + + +
. 
HD: ĐK: x ≠ 3 5
2
- ± . Dễ thấy, x = 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh, Chia cả tử và mẫu cho x, 
sau đú đặt x + 1 y
x
= . Giải phương trỡnh theo y, được kết quả là: x = - 1, hoặc x = 13 133
6
- ± . 
Bài tập: 2 2
2x 13x 6
2x 5x 3 2x x 3
+ =
- + + +
. 
III. Phương phỏp đỏnh giỏ 
Vớ dụ: Giải phương trỡnh x2 + 2
1
x
 + y2 + 2
1
y
 = 4. 
HD: Biến đổi phương trỡnh về dạng 
221 1x y 0
x y
ổ ửổ ử- + - =ỗ ữỗ ữ
ố ứ ố ứ
.Suy ra: x = ±1; y = ±1. 
Bài tập: 
 a) 4x2 – 4xy + 5y2 + 4y + 1 = 0. 
 b) x2 – 4y2 – 2x + 4y + 2 = 0 
 c) x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2 = 0. 
 d) 5x2 + 3y2 + z2 – 4x + 6xy + 4z + 6 = 0.