Công thức Herong

II.GIảI QUYếT VấN Đề:
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đường cao và các đường trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lượt là h, h, h, m, m, m.S và p lần lượt là diện tích và nữa chu vi của tam giác ABC 
Chứng minh:
a, S = (1)
b, b = a + c - 2acCosB (2)
 a = b + c - 2bcCosA (3)
 c = a + b - 2abCosC (4) A
Bài giải: 
 
 	 h 
 x a - x
 B H C
	 
a, Giả sử: AH = h(hình 1) khi đó ta có: 
 BC = BH + CH (*)
 Đặt BH = x (0a).Từ (*) ta có: HC = a - x. áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có hệ sau:
 (I)
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ (I) ta có:
2ax - a= c - b x = (5)
Thay (5) vào phương trình đầu của hệ (I) ta được:
 h + ()= c
 h = (c + )(c - )
= .
=.=
Vì p là nữa chu vi của tam giác ABC nên a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c),
a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) . Do đó:
h = h= . = S = 
Vậy công thức (1) đã được chứng minh.
Bằng cách thay đổi vai trò của a,b,c ta được:

 h= .
 h= .
Chú ý:Trường hợp điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC cũng chứng minh tương tự
Như vậy ta có thể tính được độ dài đường cao và diện tích của một tam giác thông qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác. 
b, Giả sử trung tuyến AM = m A 

	
	 h m 

 B	C (hình2)
 H M
*Trường hợp1:Tam giác ABC có hai góc 
B và C đều nhọn
áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có: 
AH + CH = ACvà AH + BH = AB	 
Trừ theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có:
 CH - BH = AC - AB 
 (BC - BH) - BH = AC - AB 
 BC- 2BC.BH = AC - AB 
Hay a - 2a.BH = b - c BH = (6) 
Trong tam giác vuông ABH có cosB = kết hợp với (6) suy ra 
 cosB = hay 
 b = a+ c - 2ac cosB (i)


Tráo đổi vị trí của điểm B với điểm C ta cũng được:
 
 c = a+ b - 2ab cosC (ii)


*Giả sử AB < AC thì BH < BM nên
 HM = BM - BH = - = 
 
 HM = 
 

Từ đó m = AM = AH+ HM = AB - BH + HM
 = c- ()+ ()
 = c- 
 m = (iii)
Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu giữa điểm B với điểm C (hình 2) thì công thức (iii) chỉ đổi vị trí b với c nên ta vẩn có công thức (iii)
Nếu AB = AC thì H trùng với M và lúc đó : 
 
 m = b- 

 nghĩa là công thức (iii) vẩn đúng 
*Bây giờ ta xét các trường hợp tam giác ABC có góc A nhọn hoặc tù hoặc vuông .
1, Tam giác ABC có 3 góc nhọn 
Tam giác ABC có góc B , C đều nhọn nên đã có các công thức (i),(ii),(iii)
Nếu góc A nhọn thì áp dụng kết quả chứng minh trên đối với tam giác có các góc A,C ta có công thức m và a, với tam giác có các góc A,B nhọn ta có công thức m .Như vậy với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có các công thức sau:
a = b+ c - 2bc cosA 
b = a+ c - 2ac cosB 
 c = a+ b - 2ab cosC 
m = 
m = 
 m = 
2,Tam giác ABC có góc A tù 
 Khi tam giác ABC có góc A tù thì các góc B,C đều nhọn nên vẫn có các công thức (i),(ii),(iii).Ta chỉ cần xét thêm công thức của a, m, m.
Gọi BK là đường cao của tam giác ABC (hình 3)
áp dụng định lý Pitago trong tam giác BCK có 
 BK + CK = BC
và trong tam giác BAK có 
 BK + AK = AB

Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên ta có 
 CK - AK = BC - AB 
 (AC + AK) - AK = BC - AB 
 


 K

 A
 (hình 3)
 	 	 N

 B C


 AC + 2AC.AK = BC - AB
Hay b + 2b.AK = a - cAK = 
Xét tam giác ABK có Cos(180 - Â) = . Từ đó suy ra: 
Cos(180 - Â) = hay a = b+ c + 2bcCos(180 - Â) 
Tính m = BN = BK+ KN = AB - AK+ (AK + AN) 
 = AB+ AN + 2AN.AK
Hay m = c+ + = . Tráo đổi kí hiệu điểm B với điểm C trên (hình 3)
Từ công thức m trên ta thấy lại công thức m = đối với m Như vậy với tam giác ABC có góc A tù ta vẩn có các công thức đường trung tuyến 
 m = 
m = 
 m = 
Còn với các cạnh thì có các công thức:
a = b+ c + 2bc cos(180 - Â) 
b = a+ c - 2ac cosB 
c = a+ b - 2ab cosC 
3,Tam giác ABC có góc A vuông 
Khi góc A vuông (hình 4) thì theo định lý Pitago có a = b+ c còn các góc B,C nhọn nên các công thức
b = a+ c - 2ac cosB 
c = a+ b - 2ab cosC 
m = 
vẩn đúng 

Công thức m = trở thành m=(do a = b+ c) 
 m = Ta có m= BN = AB+ AN
 m = c + . B
Tráo đổi vị trí điểm B với điểm C và điểm N P M
với điểm
 P trên (hình 3) từ công thức 
m = c + ta có m = b + A N C
Như vậy với tam giác vuông ABC ta có các 
công thức:
b = a+ c - 2ac cosB 
c = a+ b - 2ab cosC 
a = b+ c 
m = 
m = b + , m = c +