Công thức Toán 11

COÂNG THÖÙC TOAÙN 11
I.LÖÔÏNG GIAÙC (LG)
I.1.HAØM SOÁ LG
I.1.1.GOÙC VAØ CUNG LG:	Y
I.1.1.1.GOÙC LG
GOÙC LG (OX,OY) THEO THÖÙ TÖÏ NAØY LAØ GOÙC QUEÙT BÔÛI	Z
TIA OZ THEO MOÄT CHIEÀU NHAÁT ÑÒNH TÖØ OX ÑEÁN OY. 
I.1.1.2.Ñöôøng troøn LG
Ñöôøng troøn coù baùn kính baèng ñôn vò (R=1) vaø treân ñoù ta ñaõ choïn moät chieàu (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà) laøm chieàu döông (+) ñöôïc goïi laø ñöôøng troøn LG.
I.1.1.3.Cung LG
CUNG LG AB VÔÙI A,B LAØ HAI ÑIEÅM TREÂN ÑÖÔØNG TROØN LG LAØ CUNG VAÏCH BÔÛI ÑIEÅM M DI CHUYEÅN TREÂN ÑÖÔØNG TROØN LG THEO MOÄT CHIEÀU NHAÁT ÑÒNH TÖØ A ÑEÁN B.
OX: TIA GOÁC; OY: TIA NGOÏN O X
B +
M
-1 O A
1
I.1.1.4.SOÁ ÑO CUÛA CUNG VAØ GOÙC LG
SOÁ ÑO CUÛA GOÙC LG: SÑ(OX,OY)=A0+K3600 TRONG ÑOÙ 0<A0<3600 HAY SÑ(OX,OY)=a+K2p TRONG ÑOÙ 0<a<2p 
SOÁ ÑO CUÛA CUNG LG: SÑAB=SÑ(OA,OB). (KÎZ)
I.1.1.5.COÂNG THÖÙC ÑOÅI ÑÔN VÒ
l=Ra
A COÙ ÑÔN VÒ LAØ ÑOÄ; a COÙ ÑÔN VÒ LAØ RADIAN (RAD) KHI ÑOÙ TA COÙ: HAY
I.1.1.6.ÑOÄ DAØI CUÛA MOÄT CUNG TROØN
I.1.2.HAØM SOÁ LG SIN TAN
AM=a+k2p (kÎZ) ta ñònh nghóa:
*Nhaän xeùt: .
M
cot
I.1.2.1.ÑÒNH NGHÓA S
B
P T
-1 O A COS
Q 1
I.1.2.2.GIAÙ TRÒ CUÛA CAÙC HAØM SOÁ LG
*BAÛNG CAÙC GIAÙ TRÒ:
GOÙC
HAØM
0 00
 300
 450
 600
 900
 1200
 1350
 1500
 1800
SIN
0
1
0
COS
1
0
-1
TAN
0
1
||
-1
0
COT
||
1
0
-1
||
*DAÁU CUÛA CAÙC HAØM SOÁ LÖÔNG GIAÙC:
GOÙC
HAØM
 00<a<900
 900<a<1800
 1800<a<2700
 2700<a<3600
SIN
+
+
-
-
COS
+
-
-
+
TAN
+
-
+
-
COT
+
-
+
-
I.1.2.3.CAÙC HEÄ THÖÙC LG CÔ BAÛN
I.1.2.4.CAÙC CUNG LIEÂN KEÁT
Cung ñoái
Cung buø
Cung hôn keùm p
Cung phuï
Cung hôn keùm
Ñaëc bieät
I.1.2.5.KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ LG
1.MIEÀN XAÙC ÑÒNH
Y=SINU XAÙC ÑÒNH KHI U XAÙC ÑÒNH; Y=TANU XAÙC ÑÒNH KHI
Y=COSU XAÙC ÑÒNH KHI U XAÙC ÑÒNH; Y=COTU XAÙC ÑÒNH KHI (KÎZ)
2.CHU KYØ
CHU KYØ CUÛA Y=SIN(AX+B), Y=COS(AX+B) LAØ: ; CHU KYØ CUÛA Y=TAN(AX+B), Y=COT(AX+B) LAØ: .
I.1.3.COÂNG THÖÙC LG
Coâng thöùc coäng:
Coâng thöùc nhaân:
Tích thaønh toång:
cosa.cosb =[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina.sinb =[cos(a-b)-cos(a+b)]
SINA.COSB =[SIN(A-B)+SIN(A+B)]
Toång thaønh tích:
Coâng thöùc haï baäc:
cos2a =(1+cos2a)
SIN2A =(1-COS2A)
Bieåu dieãn caùc haøm soá LG theo 
I.2.PHÖÔNG TRÌNH
I.2.1.PHÖÔNG TRÌNG LG CÔ BAÛN
* sinu=sinv	* cosu=cosvÛu=±v+k2p
* tanu=tanvÛu=v+kp	* cotu=cotvÛu=v+kp .
I.2.2.MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH LG THÖÔØNG GAËP
1.PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI ÑOÁI VÔÙI MOÄT HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC:
A.PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI MOÄT HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC: ÑEÅ GIAÛI CAÙC PHÖÔNG TRÌNH NAØY TA DUØNG CAÙC COÂNG THÖÙC LG ÑEÅ ÑÖA PHÖÔNG TRÌNH VEÀ PHÖÔNG TRÌNH LG CÔ BAÛN.
B.PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI ÑOÁI VÔÙI MOÄT HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC: LAØ NHÖÕNG PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÏNG A.SIN2X+B.SINX+C=0 (HOAËC A.COS2X+B.COSX+C=0, A.TAN2X+B.TANX+C=0, A.COT2X+B.COTX+C=0) ÑEÅ GIAÛI CAÙC PHÖÔNG TRÌNH NAØY TA ÑAËT T BAÈNG HAØM SOÁ LG.
2.PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI SINX VAØ COSX:
Daïng: asinx+bcosx=c. Ñk ñeå phöông trình coù nghieäm laø .
Caùch 1: Chia hai veá phöông trình cho a roài ñaët , ta ñöôïc: sinx+tanacosx=
sinx+cosx=	 sin(x+)=.
Caùch 2: Chia hai veá phöông trình cho, ta ñöôïc: 
Ñaët: . Khi ñoù phöông trình töông ñöông:
 hay .
Caùch 3: Ñaët .
3.PHÖÔNG TRÌNH THUAÀN NHAÁT BAÄC HAI ÑOÁI VÔÙI SINX VAØ COSX:
Daïng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Caùch 1: + Kieåm tra nghieäm vôùi .
+ Giaû söû cosx¹0: chia hai veá phöông trình cho cos2x ta ñöôïc: atan2x+btanx+c=0.
Neáu phöông trình coù daïng asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d thì bieán ñoåi d=d(sin2x+cos2x) roài ñöa veà phöông trình (*).
Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc haï baäc.
4.PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG ÑOÁI VÔÙI SINX VAØ COSX:
Daïng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Caùch giaûi: Ñaët t= sinx± cosx. Ñieàu kieän | t |.
II.DAÕY SOÁ_CAÁP SOÁ
II.1.Daõy soá
II.1.1.Ñònh nghóa
Daõy soá laø haøm soá vôùi ñoái soá nguyeân döông. Kí hieäu: (un) hay u0; u1;  ;un; trong ñoù u0 laø soá haïng ñaàu tieân, un laø soá haïng thöù n.
Ví duï: Xeùt daõy soá vôùi n>0 coù u1=1; u2=; ;un=
II.1.2.Tính taêng, giaûm
(un) taêng Û unun+1, "n
Caùch xaùc ñònh tính taêng giaûm cuûa daõy soá:
*Caùch 1: Chöùng minh tröïc tieáp unun+1)
*Caùch 2: Laäp hieäu soá T:=un+1-un
Neáu T>0Þ (un) taêng
Neáu T<0Þ (un) giaûm
*Caùch 3: (un>0) Laäp tæ soá H:=
Neáu H>1Þ (un) taêng
Neáu H<1Þ (un) giaûm
II.1.3.Daõy bò chaën
(un) bò chaën treân Û $M: unM, "nÎN.
(un) bò chaën döôùi Û $m: unm, "nÎN.
(un) bò chaën Û (un) vöøa bò chaën treân vöøa bò chaën döôùi.
II.2.Caáp soá
II.2.1.Caáp soá coäng (CSC)
II.2.1.1.Ñònh nghóa
 (haèng soá d ñöôïc goïi laø coâng sai)
II.2.1.2.Coâng thöùc
1.Soá haïng toång quaùt
2.Tính chaát caùc soá haïng cuûa CSC
3.Toång n soá haïng ñaàu cuûa CSC
II.2.2.Caáp soá nhaân (CSN)
II.2.2.1.Ñònh nghóa
 (haèng soá q ñöôïc goïi laø coâng boäi)
II.2.2.2.Coâng thöùc
1.Soá haïng toång quaùt
2.Tính chaát caùc soá haïng cuûa CSN
 (n³2)
3.Toång n soá haïng ñaàu cuûa CSN
 (q¹1) 
III.GIÔÙI HAÏN
III.1.Giôùi haïn cuûa daõy soá
a.Ñònh nghóa:
a ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa daõy soá un neáu ">0 beù tuyø yù $Nsao cho "n>N ta coù |un-a|<. 
Kí hieäu:.
b.caùc giôùi haïn cô baûn:
limC=C; (C_haèng soá) ;(keN)
.
c.Tính chaát:
d.Caùch tính:
*Daïng: lim (p(n),q(n) laø caùc ña thöùc) thì chia töû vaø maãu cho u vôùi soá muõ cao nhaát (hoaëc ñaët u vôùi soá muõ cao nhaát laøm thöøa soá tröôùc khi laáy lim).
*Daïng: lim[] ta nhaân bieåu thöùc lieân hôïp tröôùc khi laáy lim.
III.2.Giôùi haïn cuûa haøm soá
a.Ñònh nghóa:
L ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa haøm soá f(x) khi x®x0 neáu ">0 beù tuyø yù $d>0 sao cho 0<x<x0<d ta coù | f(x)-L|<. 
Kí hieäu:.
b.Tính chaát:
c.Caùch tính:
*Neáu thì 
*Neáu thì vôùi a laø soá lôùn nhaát trong caùc soá muõ cuûa bieán x.
*Giôùi haïn haøm caên thöùc: caùch tìm töông töï caùch tìm giôùi haïn cuûa daõy soá chöùa caên thöùc.
* Giôùi haïn haøm LG: ta coù: ;. Baèng caùc pheùp bieán ñoåi LG ñöa veà moät trong caùc daïng coù chöùa caùc giôùi haïn cô baûn treân. 
*Caùch tính giôùi haïn traùi, phaûi:
.
Khi ñoù: 
Ñieàu kieän ñeå $gh: 
III.3.Haøm soá lieân tuïc_öùng duïng
 III.3.1.Haøm soá lieân tuïc
. Caùc haøm ña thöùc, höõu tæ, LG laø lieân tuïc treân taäp xaùc ñònh.
III.3.2.ÖÙng duïng (chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình)
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a)f(b)<0 thì phöông trình f(x)=0 coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc [a;b]
*
* *
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
I. Quy taéc nhaân
Neáu muoán hoaøn thaønh moät coâng vieäc phaûi traûi qua k giai ñoaïn,trong ñoù:
4Giai ñoaïn 1 coù n1 caùch thöïc hieän
4Giai ñoaïn 2 coù n2 caùch thöïc hieän
. . . . . . .
4Giai ñoaïn k coù nk caùch thöïc hieän
Khi ñoù, coù taát caû n1.n2  nk caùch hoaøn thaønh coâng vieät aáy.
II. Quy taéc coäng
Neáu moät coâng vieäc coù theå ñöôïc hoaøn thaønh theo moät trong k tröôøng hôïp ñoäc laäp vôùi nhau, trong ñoù: 
4Tröôøng hôïp 1 coù n1 caùch 
4Tröôøng hôïp 2 coù n2 caùch
. . . . . . .
4Tröôøng hôïp k coù nk caùch
Khi ñoù, soá caùch hoaøn thaønh coâng vieäc aáy laø: n1+n2+  +nk.
III. Hoaùn vò_chænh hôïp_toå hôïp
1.Hoaùn vò
Moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû khaùc nhau laø moät caùch saép xeáp coù thöù töï cuûa n phaàn töû ñoù.Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø: Pn=n!=1.2.3(n-1).n 
hay Pn=n!=n.(n-1).(n-2)!
Quy öôùc: 0!=1!=1
2.Chænh hôïp
Cho taäp hôïp A coù n phaàn töû. Moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñoù laø moät caùch saép xeáp k phaàn töû cuûa taäp hôïp A theo moät thöù töï nhaát ñònh (0<k£n)
Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø: 
3.Toå hôïp
Ñònh nghóa:
Cho taäp hôïp A coù n phaàn töû. Moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñoù laø moät taäp hôïp con cuûa A coù k phaàn töû (0£k£n)
Soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø: 
Tính chaát:
IV. Nhò thöùc newton
Hay: 
Heä quaû: 
Tính chaát:
Soá caùc soá haïng cuûa nhò thöùc baèng n+1.
Toång caùc soá muõ cuûa a vaø b trong moãi soá haïng baèng soá muõ cuûa nhò thöùc (n-k)-k=n
Soá haïng toång quaùt cuûa nhò thöùc:
Caùc heä soá cuûa nhò thöùc caùch ñeàu hai soá haïng ñaàu vaø cuoái baèng nhau.
ü Moät soá phöông phaùp chöùng minh ñaúng thöùc toå hôïp:
4CAÙC KEÁT QUAÛ CAÀN NHÔÙ: 
4KHI CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC VEÀ TOÅ HÔÏP; NEÁU SOÁ MUÕ HAI VEÁ BAÈNG N THÌ LIEÂN HEÄ ÑEÁN CAÙC KEÁT QUAÛ TREÂN; NEÁU SOÁ MUÕ NHOÛ HÔN N THÌ LIEÂN HEÄ ÑEÁN ÑAÏO HAØM; NEÁU SOÁ MUÕ LÔÙN HÔN N THÌ LIEÂN HEÄ ÑEÁN NGUYEÂN HAØM;
*
* *
ĐẠO HÀM
Ñònh nghóa:
Cho y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0Î(a;b). Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi x0 ñöôïc kí hieäu laø y’(x0) hoaëc f’(x0) vaø ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: hay .
Caùch tính ñaïo haøm baèng ñònh nghóa:
Böôùc 1: Tính 
Böôùc 2: Laäp tæ soá 
Böôùc 3: Tìm giôùi haïn :=y’.
Quy tắc tính đạo hàm
Công thức tính đạo hàm
ĐỌC THÊM: }; ¾
Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Dạng toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0;y0). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): (*).
Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp 2: y’’=(y’)’
Đạo hàm cấp 3: y’’’=(y’’)’
Đạo hàm cấp 4: y(4)=(y’’’)’
..
Đạo hàm cấp n: y(n)=(y(n-1))’.
*
* *