Đại số 11 học kỳ 2 (CB & NC) Giới hạn dãy số và hàm số

ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 1 
CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ 
A: TÓM TẮC LÝ THUYẾT 
I.GIỚI HẠN HỮU HẠN 
1.Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một 
số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu: lim 0 hay u 0 khi n + .nnun
   

2.Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a (hay un dần tới a) khi ( n), nếu 
 lim 0. n
n
u a

  Kí hiệu: nlim hay u khi n + .n
n
u a a

    
 Chú ý: lim limn n
n
u u

 . 
3.Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) 
*
k
1 1
lim 0 , lim 0 , n
n
  
n
b)  lim 0 nq  với 1q  . 
c) Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. 
4.Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số. 
 a) Nếu: limun=a , limvn=b thì: +    lim
n n
u v a b 
 +  lim . lim .lim .
n n n n
u v u v a b  
 +   lim , 0n
n
u a
b
v b
 b)Nếu 0nu  với mọi n và limun = a thì  0 ; lim na u a 
5.Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q  

1
1
u
S
q
II GIỚI HẠN VÔ CỰC 
1.Định nghĩa: 
Ta nói dãy số (un) có giới hạn  khi  n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng 
nào đó trở đi. 
Kí hiệu: limun= hay un  khi n . 
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  khi n nếu lim nu   . 
Ký hiệu: limun= hay un khi n . 
2.Một vài giới hạn đặc biệt. 
a) lim kn   với k nguyên dương 
 b)    lim nq với 1q . 
 3.Định lý: 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 2 
 Nếu :   lim va limv
n n
u a thì lim 0n
n
u
v
 Nếu :  lim 0, lim =0 
n n
u a v và vn > 0 với mọi n thì  lim n
n
u
v
 Nếu :  lim , lim =a>0 
n n
u v thì limun.vn = 
B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 
Dạng 1: lim n
n
u
v
 
 
 
- Cách nhận biết dạng 


 là khi n thì nu  và nv  
- Phương pháp thường dùng để khử dạng 


 khi gặp phân thức đại số, ta chia cả tử và mẫu cho lũy 
thừa bậc cao nhất của n có mặt ở phân thức đó. 
 *Bài tập áp dung:Tìm các giới hạn 
 a)
3 2
3
2
lim
1
n n n
n
 

 b) 
2
3
2
lim
1
n n
n


 c) 
4 2
3
lim
n n n
n n
 

 d) 
2 1 4
lim
3 2
n n
n
 

 e) 
2
1 2 3 ...
lim
1
n
n
  

 f) 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


Giải 
 a)
3 2
3
2
lim
1
n n n
n
 

 Chia tử và mẫu số cho 
3n ta được 
2
3
2 1
1
1 0 0
lim
1 1 0
1
n n
n
 
 


=1 
 b) 
2
3
2
lim
1
n n
n


 Chia tử và mẫu số cho 
3n ta được 
2
3
1 2
0 0
lim
1 1 0
1
n n
n




 =0 
 c) 
4 2
3
lim
n n n
n n
 

 Chia tử và mẫu số cho 
4n ta được 
2 3
3
1 1
1
lim
1 1
n n
n n
 
 

 d) 
2 1 4
lim
3 2
n n
n
 

 Chia tử và mẫu số cho n ta được 
2
1
1 4
1 0 4 5
lim
2 3 0 3
3
n
n
 
 
 

 e) 
2
1 2 3 ...
lim
1
n
n
  

 Trước khi tính giới hạn ta đi tính tổng 1+2+3++n 
 Ta có 
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n

     (tổng n số hạng đầu của cấp số cộng) 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 3 
 Khi đó 
2
1 2 3 ...
lim
1
n
n
  

=
2
2
2 2
( 1)
( 1)2lim lim lim
1 2 22( 1)
n n
n n n n
n nn

 
 
 
 Chia tử và mẫu cho 
2n ta được 
2
1
1
1
lim
2 2
2
n
n



 f) 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


 Áp dụng công thức: lim 0, 1
nq q  . Để xuất hiện dạng nq , ta chia tử và mẫu cho 7n : 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


=
4.3 7 .7
lim
2.5 7
n n
n n


=
33 4. 74. 7
4.0 777lim lim
5 2.0 15
2. 1 2. 1
7 7
n
n
n
n n
n
 
     
   
 
=7 
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau: 
 a) 
3 3 5 9
lim
3 2
n n
n
 

 b) 
3 2
2
2 1
lim
1
n n
n n
  
 
 c) 
3 2
4 2
5
lim
2 1
n n
n n
 
 
 d) 
29 1 2
lim
6 2
n n
n
 

 e) 
12.5 9
lim
1 9
n n
n


 f) 
2 2 2 2
3 2
1 2 3 ...
lim
5 1
n
n n
  
 
2 Dạng 2: lim(un – vn) ( ) 
- Cách nhận biết dạng ( ) là khi n thì nu  và nv  
-Phương pháp thường dùng để khử dạng ( ) khi gặp phân thức đại số , ta nhân lượng liên hợp (hoặc qui 
đồng phân thức) để đưa về dạng 


, sau đó sữ dụng cách giải ở dạng 1 
-Các dạng liên hợp thường dùng: 
 +Lượng liên hợp bậc hai: a – b có lượng liên hợp là a + b 
 a +b có lượng liên hợp là a – b 
 +Lượng liên hợp bậc ba: a – b có lượng liên hợp là a2 +ab +b2 
 a + b có lượng liên hợp là a2 - ab +b2 
*Bài tập áp dụng:Tìm các giới hạn sau: 
a)
2lim( )n n n  b) 
3
1 1
lim
1 1n n
 
 
  
c)  2 2lim 1 2n n n   d) lim  3 3 2n n n  
Giải 
a)
2lim( )n n n  ta nhân lượng liên hợp 
2n n n  , ta được: 
2lim( )n n n  =
  2 2
2 2
lim lim ( )
n n n n n n n
n n n n n n
    

   
 =
1 1
lim lim
211
1 11 1
n
n
nn
 
 
   
 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 4 
 b) 
3
1 1
lim
1 1n n
 
 
  
 Qui đồng biểu thức giới hạn ta được 
2 2 2
3 3
3
1 1
1 1
lim lim lim 0
11 1
1
n n n n n n
n n
n

   
  
  
 c)  2 2lim 1 2n n n   Nhân lượng liên hợp :  2 21 2n n n   ta được; 
 2 2lim 1 2n n n   =
  2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
lim lim
1 2 1 2
n n n n n n n
n n n n n n
      

     
 =
2 2
1
2
1 2
lim lim 1
1 2 1 2
1 1 1 1
n n
n n
n n n n


  
     
d) lim  3 3 2n n n  =
  3 33 2 3 2 2 3 2 23
33 2 2 3 2 23
( )
lim
( )
n n n n n n n n n
n n n n n n
     
   
= lim
 
3
3 3 2 3
2
2 2 2
3 3
2
1 1
. 1 . 1
n n n
n n n
n n
 
 
    
 
= lim
2
2
2 2 2
3 3
2
1 1
. 1 . 1
n
n n n
n n

 
    
 
= lim 
2
3 3
2
1 1
31 1
1 1 1
n n

 
 
    
 
* Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2 2lim( 2 1 7 3)n n n n     b) 2 4lim(1 3 1)n n n    
c)  lim 1n n  d)  2lim 1n n n   
DẠNG 3: Sữ dụng qui tắc tính giới hạn 
* Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3 2lim( 3 4 5 6)n n n    b) 
4 3lim 3 5 6 1n n n   c)
2
( 1)
lim 9
1
n
n
 
 
 
d)
os4
lim 6
5
c n
n
 
 
 
 e) 
1
lim
3 1 1n n  
 f) lim 3.4 2 1
n n  
 Giải 
a) 
3 2lim( 3 4 5 6)n n n    = 3
2 3
4 5 6
lim[ ( 3 )]n
n n n
    
Vì limn
3
 = và 
2 3
4 5 6
lim( 3 ) 3 0
n n n
       , nên 3 2lim( 3 4 5 6)n n n    = 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 5 
b) 
4 3lim 3 5 6 1n n n   =lim 4
3 4
5 6 1
(3 )n
n n n
   = 4
3 4
5 6 1
lim . 3n
n n n
   
Vì 
4lim n   và 
3 4
5 6 1
lim 3 3 0
n n n
     
Nên 
3 2lim( 3 4 5 6)n n n    = 
c)
2
( 1)
lim 9
1
n
n
 
 
 
 =lim 9 + 
2
( 1)
lim
1
n
n


 = 9 + 0 = 9 
 d)
os4
lim 6
5
c n
n
 
 
 
 = 
os4
lim lim6 0 6 6
5
c n
n
     
e) 
1
lim
3 1 1n n  
 Nhân lượng liên hợp 3 1 1n n   ta được 
3 1 1
lim
( 3 1 1)( 3 1 1)
n n
n n n n
  
     
 =
2 2
3 1 1 1
3 1 1
lim lim
2 2
n n
n n n n n n
n n
  
  
 
 = 
2 2
3 1 1 1
lim 0
2
n n n n
  
 
f) lim 3.4 2 1
n n  =
2 1 2 1
lim 4 (3 ) lim( 4 . 3 )
4 4 4 4
n n
n n n n
n n
     
Vì lim 4n   và 
2 1
lim 3 3 0
4 4n n
n
    Nên lim 3.4 2 1n n  =  
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau; 
a) lim(2 os2 )n c n b) 2
1
lim( 3sin 4 6)
2
n n  
c)lim
3 3 2 1n n n   d)
3 6 5 7 8
lim
2 6
n n n
n
  
 
4.DẠNG 4:Vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn 
-Phương pháp chung là biến đổi biểu thức cần tính về tổng của một dãy số quen thuộc 
*Bài tập áp dụng : Tính tổng sau: 
a) S=
1 1 1
2 ...
3 6 12
    = 
1
1 1 1 1
2 ( ... ...)
3 6 12 3.2n
      
Với 
1
1 1 1 1
... ...
3 6 12 3.2n
     là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 
u1 = 
1
3
 và công bội q =
1
2
Do đó 
1
1 1 1 1
... ...
3 6 12 3.2n
     = 1
1
23
11 3
1
2
u
q
 
 
Vậy S = 
1
1 1 1 1
2 ( ... ...)
3 6 12 3.2n
      = 2+
2 8
3 3
 
b) S = 1+ 2x +3x
2
 +4x
3
 + Với 1x  
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 6 
2 3 4
2 3
2 3 4 ...
1 ...
xS x x x x
S xS x x x
     
      
(Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn u1 = 1 và q = x, với 1x  ) 
Do đó 
2 3 11 ...
1
S xS x x x
x
       

Hay 
2
1 1
(1 )
1 (1 )
S x S
x x
   
 
*Bài tập tương tự: Tính tổng sau: 
a) S=
1
1 1 1 1
3 ... ...
2 4 8 2.2n
     ; b) S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4 + Với 1x  
BÀI TÂP TỔNG HỢP 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
2n 1
lim
n 1


 b. 
2
2
3n 4n 1
lim
2n 3n 7
  
 
 c. 
3
3
n 4
lim
5n n


d. 
3
n(2n 1)(3n 2)
lim
2n 1
 

 e. 
2
n 1
lim
n 2


 f. 
3
n(n 1)
lim
(n 4)


Bài 2. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
n 1
lim
n 1


 b. 
3 3n n 2
lim
n 2
 

 c. 
32 3
2
n n 1 n n
lim
n n 1 3
  
 
d. 
2n 4
lim
n 2


 e. 
3 23
2
n 3n 2
lim
n 4n 5
 
 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau: 
a.  lim n 1 n  b.  2 2lim n 5n 1 n n    
c.  2 2lim 3n 2n 1 3n 4n 8     d.  2lim n 4n n  
e.  2lim n n 3  f.  3 2 3lim n n n  
g.  3 3lim n n 1  h.  3 2 23lim n 3n 1 n 4n    
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
n
n
1 4
lim
1 4


 b. 
n n 1
n 2 n
3 4
lim
3 4




 c. 
n n n
n n n
3 4 5
lim
3 4 5
 
 
Bài 4. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
sin n
lim
n 1


 b. 
2
sin10n cos10n
lim
n 2n


Bài 5. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
2
1 3 5 ... (2n 1)
lim
3n 4
    

 b. 
2
1 2 3 ... n
lim
n 3
   

c. 
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 n(n 1)
 
   
 
 d. 
2 2 2 21 2 3 ... n
lim
n(n 1)(n 2)
   
 
Bài 6. Tính các giới hạn sau: 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 7 
a. 
n
n
1 1 1 1
lim 1 ... ( 1)
3 9 27 3
 
      
 
 b. lim (2 + 0,3 + 0,3
2
 + 0,3
3
 + ... + 0,3
n
) 
Bài 7. Tính các giới hạn sau: 
1)
3
3
6n 2n 1
lim
n 2n
 

2) 
2
2
1 n 2n
lim
5n n
 

3) 
3 2
3
2n 4n 3n 3
lim
n 5n 7
  
 
4) 
2
4
2n n 2
lim
3n 5
  

5) 
2
3 2
n 4n 5
lim
3n n 7
 
 
6) 
5 4
3 2
n n n 2
lim
4n 6n 9
  
 
7) 
2
2
7n 3n 2
lim
n 5
 

 8) 
3
2
3n 2n 1
lim
2n n
 

9) 
3 2
2
2n 1 5n
lim
5n 12n 3
 
   
10) 
5 3
5 4
3n 7n 11
lim
n n 3n
  
 
11) 
2
6 5
2n 3
lim
n 5n


12) 
2
2
2n n
lim
1 3n


13) 
3 3n n
lim
n 2


14) 
4
2
2n 3n 2
lim
2n n 3
 
 
15) 
3 6 3n 7n 5n 8
lim
n 12
  

16) 
2n 1 n 1
lim
3n 2
  

17)  3lim 3n 7n 11  
18) 
4 2lim 2n n n 2   
19) 
3 3lim 1 2n n  
20) 
2
1 2 ... n
lim
n
  
21) 
2
n 2 4 ... 2n
lim
3n n 2
  
 
22) 
3 3 3
4 3
1 2 ... n
lim
n n 3n 2
  
  
23) 
2
n. 1 3 ... (2n 1)
lim
2n n 1
   
 
25) 
2 n
2 n
2 2 2
1 ...
3 3 3
lim
1 1 1
1 ...
5 5 5
   
      
   
   
      
   
26) 
n
n n
4
lim
2.3 4
 27) 
n
n
3 1
lim
2 1


28) 
n n
n
3 2.5
lim
7 3.5


29) 
n n
n n
4 5
lim
2 3.5


30) 
n n
n 1 n 1
( 3) 5
lim
( 3) 5 
 
 
31)  lim 3n 1 2n 1   
32)  lim n 1 n n  
33)  2lim n n 1 n   
34)  2lim n n 2 n 1    
35)  lim n 3 n 5  
36)  2lim n n 3 n   
37)
1
lim
n 2 n 1  
 38)  2 2limn n n 1  
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 8 
CHỦ ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
1. Các công thức tính giới hạn cần nhớ 
+ 
0
0
x x
lim x x

 
+ 
x
1
lim 0
x
 
+ 
kx
1
lim 0
x
 với k > 0 
+ 
k
x
lim x

  với k > 0 
+ 
     
0 0 0
x x x x x x
lim f x L lim f x lim f x L
   
   
+ 
o ox x x x
lim[cf (x)] c lim f (x)
 
 
+  
o o ox x x x x x
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
  
   
+  
o o ox x x x x x
lim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x)
  
 
+ o
o
o
x x
x x
x x
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)



 
 
 
 nếu 
ox x
lim g(x) 0

 
2. Các định lý cơ bản 
Định lý 1: 
a) Nếu vaø , thì 
 
 
 
 
b) Nếu f(x)≥ 0 vaø , thì L ≥ 0 vaø 
Định lý 2 
3. Quy tắc tìm giới hạn 
 a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) . 
L>0 
+∞ +∞ 
-∞ -∞ 
L <0 
+∞ -∞ 
-∞ +∞ 
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương 
Dấu của g(x) 
L ±∞ Tùy ý 0 
L>0 0 
+ +∞ 
- -∞ 
L <0 0 
+ -∞ 
- +∞ 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 9 
CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1. Dạng vô định 
0
0 
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: 
a)
2
2
x 2
x 4
lim
x 3x 2

 
 b) 
2
2
x 1
x 1
lim
x 3x 2 

 
 c)
2
2
x 5
x 5x
lim
x 25


d)
2
2
x 2
x 2x
lim
2x 6x 4

  
 e)
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3
 
 
 f) 
3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 3x 2
  
  
 g) 
2
3
 2
2 6
lim
8x
x x
x 
 
 
h) 
4 2
2
3
72
lim
2 3x
x x
x x
 
  
 i) 
5
3
1
1
lim
1x
x
x


j) 
3 2
4 2
x 3
x 5x 3x 9
lim
x 8x 9
  
 
k) 
4 3 2
3 2x 1
2x 8x 7x 4x 4
lim
3x 14x 20x 8
   
   
 l) 
3 2
3x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6  
  
 
m)
2
1
2 1
lim
1 1x x x
 
 
  
 n)
3
1
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
o)
5 6
2
x 1
x 5x 4x
lim
(1 x)
 

p) 
3 3
h 0
(x h) x
lim
h
 
q) 
2
3 3
x a
x (a 1)x a
lim
x a
  
 
r) 
4 4
x a
x a
lim
x a 


s) 
3 3
h 0
2(x h) 2x
lim
h
 
t) 
2 2x 1
x 2 x 4
lim
x 5x 4 3(x 3x 2)
  
 
    
u) 
1992
1990x 1
x x 2
lim
x x 2
 
 
k) 
n
2x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
  

Bài 2. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
x 1
x 1
lim
x 1


 b. 
2x 3
x 1 2
lim
x 9
 

c. 
2x 2
2x 5 7 x
lim
x 2x
  

 d. 
3
x 2
4x 2
lim
x 2


Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 
a. 
3
x 0
1 1 x
lim
3x
 
 b. 
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
 
 
 c. 
3
2x 1
x 1
lim
x 3 2

 
d. 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

 e. 
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
  
 f. 
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
   
g. 
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
   
 h. 
 
3 2 3
2x 1
x 2 x 1
lim
x 1
 

Bài 4: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x
   
 b) 
2x 7
x 3 2
lim
49 x
 

 c) 
2x 2
2 x 2
lim
x 3x 2
 
 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 10 
 e) 
3 2
x 1
2x 7 3
lim
x 4x 3
 
 
 f)
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
  

 g) 
2
2
1
2 3
lim
3 2x
x
x x
 
  
 d) 
2x 2
4x 1 3
lim
x 4
 

 h) 
3
2
2
lim
8x
x x
x
 

 0) 
3
2
1
1
lim
2 5 3x
x
x x

 
 i) 
2
2x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2
   
 
 j) 
x 4
3 5 x
lim
1 5 x
 
 
 k) 
x 1
3 8 x
lim
2x 5 x
 
 
 o) 
3
2
0
1 1
lim
2x
x
x x
 

 p) 
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
 
 
 x)
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1
lim
(x 1)
 

2
3
1
2 6 4 1
) lim
2 1x
x x x
m
x x
   
 
 n) 
4
3 2x 1
x 1
lim
x x 2

 
 q) 
3
2x 2
2x 12 x
lim
x 2x
 

 r) 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

 s) 
30
1 1
lim
1 1x
x
x
 
 
 t) 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

 v) 
3
4x 1
x 1
lim
x 1


 w)
3
3
x 1
x 1
lim
4x 4 2

 
Bài 5: Tìm các giới hạn sau: 
 a. 
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
   
 b. 
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
   
 c. 
3
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
   
 d.
3
x 0
x 1 x 1
lim
x
  
 e. 
3
21
3 3 5
lim
1x
x x
x
  

 f.
3
2
x 1
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
  
 
Bµi 6: Nh©n l-îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai) 
 1) .
2
35
lim
2
2 

 x
x
x
 2)
7
29
lim
4
7 

 x
x
x
 3) 
x
x
x 

 5
5
lim
5
 4) 
2
153
lim
2 

 x
x
x
 5) 
11
lim
0  x
x
x
 6) 
xx
x
x 336
1
lim
21 


 7) 
x
xx
x
11
lim
2
0


 8) 
25
34
lim
25 

 x
x
x
9) 
 
x
xxx
x


121
lim
2
0
10) 
4102
3
lim
3 

 x
x
x
 11) 
1
23
lim
3
1 

 x
xx
x
12)
x
xn
x
11
lim
0


 (nN, n  2) 
13) 
6
22
lim
6 

 x
x
x
14) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
15) 
1
132
lim
21 

 x
xx
x
16) 
2
583
lim
3
2 

 x
xx
x
17)
32
1
lim
21 

 xx
x
x
Bµi 7: Nh©n l-îng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai) 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 11 
1) 
x
xx
x


55
lim
0
 2) 
x
xx
x


11
lim
0
3) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 4) 
x
axa
x

0
lim (a > 0) 
5) 
x
xxx
x
11
lim
2
0


 6) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
7) 
23
2423
lim
2
3 23
1 

 xx
xxx
x
 10) 
x
xxx
x


131
lim
2
0
8) 
x
axa
x
33
0
lim


 9) 
1
12
lim
2
3 23
1 

 x
xxx
x
Bµi 8: Nh©n l-îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba) 
a) 
x
x
x
141
lim
3
0


 b) 
2
24
lim
3
2 

 x
x
x
c) 
x
x
x 3
11
lim
3
0


 d) 
11
lim
30  x
x
x
Bµi 9: Nh©n l-îng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu) 
1) 
x
x
x 

 51
53
lim
4
 2) 
314
2
lim
2 

 x
xx
x
 3) 
1
lim
2
1 

 x
xx
x
4) 
23
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 5) 
1
1
lim
4
3
1 

 x
x
x
 9) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
6) 
39
24
lim
2
2
0 

 x
x
x
 7) 
3
527
lim
9 

 x
x
x
 8) 
364 4
8
lim
x
x
x 


Dạng 2: Dạng vô định 

 
 -  ; 0.
Bài 10: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
x
2x 1
lim
x 1


 b) 
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x

 
c)
2
x
x x 1
lim
x x 1

 
d) 
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)

 
e) 
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1x
x x
x x
 
  
f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2x
x x
x x
 
 
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1x
x x
x x
 
 
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2x
x x
x x
 
  
i) 
2 2
4x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
 

 j) 
2 3
2 2x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
 
 
l) 
2
3 2
lim
3 1x
x x x
x
 

k) 
2
x
4x 1
lim
3x 1


m) 
2
3 2
lim
3 1x
x x x
x
 

ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 12 
n)
2
2x
x x 2 3x 1
lim
4x 1 1 x

   
  
o) 
2
2x
4x 2x 1 2 x
lim
9x 3x 2x

   
 
p) 
2
2x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x

   
  
q)
2x
x x 3
lim
x 1


 r)
3 3 2
2
lim
2 2x
x x x
x
 

s)
33 2 2 3 2 23
2
( 2 ) 2
lim
3 2x
x x x x x x
x x
   

t)
x
(x x x 1)( x 1)
lim
(x 2)(x 1)
  
 
Bài 11: Tìm các giới hạn sau 
a. 
3x 1
1 3
lim
1 x 1 x
 
 
  
 b. 
2x 1
2 1
lim
x 1 x 1
 
 
  
 c. 
2 2x 1
1 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
 
 
    
Bài 12: Tìm các giới hạn sau 
a.  2
x
lim x x x

  b.  2
x
lim 2x 1 4x 4x 3

    
c.  2 2
x
lim x x 1 x x 1

     d.  3 3
x
lim x 1 x

  
e.  32 3
x
lim x . x 1 x

  f.  3 2 33 3
x
lim x 5x x 8x

   
Bài 13: Tìm các giới hạn sau: 
a.  3
x
lim x 2x

 b.  3
x
lim x 2x

 c. 
2
2x
5x 3x 1
lim
2x 3
 

d. 
4 2
4x
x 5x 1
lim
2x 3
 

 e. 
2
3x
3x 1
lim
2x 5


 f. 
2
3x
3x 1
lim
2x 5


g. 
2
x
x 2x 2
lim
x 1
 

 h. 
2
x
lim x 2x

 i. 
2
x
4x 1
lim
3x 1


j. 
4
2x
3x x 5x
lim
2x 4x 5
 
 
 k. 
2
2x
x 3 4x
lim
4x 1 x
 
 
 l. 
2 2
x
9x 1 4x 2x
lim
x 1
  

Dạng 3: Giới hạn một bên 
Bài 14: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
2
lim
3 1x
x x
x



 b)
2
3 1
lim
2x
x


c) 
1
1
lim
1x
x
x



d)
1
1
lim
1x
x
x



e)
2 3
x 0
x x
lim
2x

f) 
2 3
x 0
2x
lim
4x x
 
g)
2
33
lim
2
2 

 x
xx
x
h)
2
33
lim
2
2 

 x
xx
x
 i) 
4
3
lim
4x
x
x



j) 
2
33
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 13 
k) 
2
33
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
 
 
g)
x 0
1 x
lim x
x
 
  
 
h)
2
x 1
x x 2
lim
x 1
 

Dạng 4: Hàm số liên tục 
Bài 15: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo. 
a. f(x) = 
2x 25
 khi x 5
x 5
9 khi x 5
 


 
 tại xo = 5 b.  
x 5
 khi x 5
2x 1 3
f x
3
 khi x 5
2

  
 
 

 tại xo = 5 
c. 
1 2x 3
 khi x 2
f (x) 2 x
1 khi x 2
  

  
 
tại xo = 2 d. 
3 3x 2 2
 khi x 2
x 2f (x)
3
 khi x 2
4
  
  
 

 tại xo = 2 
e. 
4 2x x 1 khi x 1
f (x)
3x 2 khi x 1
    
 
  
 tại xo = –1 f.  
2x khi x 0
f x
1 x khi x 0
 
 
 
 tại xo = 0 
Bài 16: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R 
a. 
2x 2x 3
 khi x 1
f (x) x 1
4 khi x 1
  

 
 
 b. 
3
3
x x 2
 khi x 1
x 1f (x)
4
 khi x 1
3
  
   
  

Bài 17: Tìm a để hàm số liên tục trên R 
a. 
2x khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 1
 
 
 
 b. 
 
2 2a x khi x 2
f (x)
1 a x khi x 2
 
 
 
Bài 18: Cho hàm số f(x) = 
3 2x 2x 5 khi x 0
4x 1 khi x 0
   

 
Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định. 
Bài 19: Tìm a để hàm số liên tục tại xo. 
a. f(x) = 2
x 2 2
 khi x 2
x 4
a khi x 2
  

 
 
 tại xo = 2 b. 
1 x 1 x
 khi x 1
x 1f (x)
4 x
a khi 1
x 2
   
  
  
 
 tại xo = 1 
Bài 20: Xét các hàm số sau có liên tục không 
2
2
o
x 3x 2
 (x 1)
x 1
a) f(x)
x
 (x 1)
2
 vôùi x 1
  
  
 


2
o
4 x
(x 2)
b) f(x) x 2
1 2x (x 2)
 vôùi x 2
 

  
  

Bài 21: Tìm A để các hàm sau liên tục tại xo: 
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 14 
 a) 
3
x 1
(x 1)
f(x) x 1
Ax 2 (x 1)
 

  
  
 ; x0 = 1 b) 3 2
2
x 6 2x 9
A x 3
f (x) x 4x 3x
3x 2 x 3
   
 
  
  
 ; x0 = 3 
Dạng 5: Giới hạn hàm số lƣợng giác 
ADCT: 1
sin
lim
0

 x
x
x
Bài 22. Tính các giới hạn 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) , với là tham số; 
Bài 23. Tính giới hạn 
 với và là các số nguyên dương. 
Bài 24. Tính các giới hạn 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) .
Bài 25: Tìm các giá trị lượng giác sau: 
1) 
x
x
x
5sin
lim
0
2) 
x
x
x 3
2tan
lim
0
3) 
m
n
x x
x
sin
sin
lim
0
4) 
20
cos1
lim
x
x
x


5) 
30 45
sin.3sin.5sin
lim
x
xxx
x
6) 
nx xn
nxxx
!
sin....2sin.sin
lim
0
7) 
x
xx
x 30 sin
sintan
lim


8) 
ax
ax
ax 


sinsin
lim 
9) 
bx
bx
bx 


coscos
lim 
10) 
x
x
x 2sin
121
lim
0


11) 
cx
cx
cx 


tantan
lim 
12) 
xx
x
x sin
cos1
lim
3
0


13) 
cx
cx
cx 


cotcot
lim 
14) 
22
22 sinsin
lim
ax
ax
ax 


15) 
20
coscos
lim
x
xx
x
 

16) 
x
xx
x sin
3sin5sin
lim
0


17)  
2
tan1lim
1
x
x
x



18) 
)2tan(
8
lim
3
2 

 x
x
x
ĐẠI SỐ 11 HK 2 (CB&NC) GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ 
Biên soạn và hướng dẫn: Phạm Văn Lộc – 0974477839 Trang 15 
19) 
x
xxx
x cos1
3cos.2cos.cos1
lim
0 


20)    
20
sinsin22sin
lim
x
axaxa
x


21) 
   
20
tantan22tan
lim
x
axaxa
x

 
24) )0(
)(
tansin
lim
0




ba
xba
bxax
x
22) 
20
cos.coscos
lim
x
cxbxax
x


23) 
   
   xaxa
xaxa
x 

 tantan
sinsin
lim
0
25) 
x
xx
x sin
112
lim
3 2
0


 (GHN’00) 
26) 
x
x
x sin
cos1
lim
0


27) 
x
xaxa
x
)cos()cos(
lim
0


 28) 
30
tansin
lim
x
xx
x


29) 
2
sin
sincos.sin
lim
0 x
xxx
x


30) 
x
x
x cos1
3sin11
lim
0 


 (QG–KB 97) 
31) 
x
x
x cos1
cos1
lim
0 


34) 







xx
x 4
tan.2tanlim
4


 (SPHN ‘00) 
32) 
   
2
2
0
tanta