Đại số tổ hợp + xác suất

GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
A.Qui tắc cộng, qui tắc nhân : 
 1.Qui tắc nhân : 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số 
cách chọn công việc A là tích các giai đoạn 
VD: có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải). Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ 
Giải : . 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 1
Bài tương tự : 
1/ Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi. Hỏi bạn A có bao nhiêu cáhc mặt đồng phục đến trường ? 
2/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu : 
 a.Số có 4 chữ số 
 b.Số có 4 chữ số đôi một khác nhau 
 c.Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau 
 d.Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau 
 2.Qui tắc cộng : công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công 
việc A là tổng các trường hợp (qui tắc công ít gặp hơn qui tắc nhân) 
B.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp : 
 1.Hoán vị : sắp xếp n phần tử 1 cách thứ tự ta có 1 hoán vị của n phần tử 
Kí hiệu : ( :đọc là n giai thừa) ! 1.2.3.4.5.....nP n= = n !n
 Qui ước : 1!=0!=1 Công thức : n!=(n-1)!.n 
VD: sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là 1 hoán vị của 4 phần tử : 
4 4! 1.2.3.4 24P = = = cách chọn 
Chú ý : 
Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có !nP n= cách 
Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có 1 ( 1)nP n− != − cách 
Bài tương tự : Có bao nhiêu cách xếp 4 người : 
 a/ Ngồi dọc thành 1 bàn dài 4 ghế b/ Ngồi dọc thành 1 bàn tròn 4 ghế 
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
 2.Chỉnh hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó (1 k n≤ ≤ ) sau đó sắp xếp có thứ tự ta 
được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử 
Kí hiệu : !
( )
k
n
nA
n k
= − ! (1 k n≤ ≤ ) 
VD: có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước 
Giải : ta chọn 3 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4 
của 6 : 46
6! 6! 3.4.5.6 .....
(6 4)! 2!
A = = = =− 
Ta cần lưu ý cách chia giai thừa : ( )! ( 1).( 2).( 3).....( )
!
n k n n n n
n
+ k= + + + + 
VD : 7! 4.5.6.7
3!
= , 9! 7.8.9
6!
= , 8! 8
7!
= 
 3.Tổ hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó ( 0 k n≤ ≤ ) sau đó sắp xếp không cần thứ 
tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử 
Kí hiệu : 
!
!.( )!
k
n
nC
k n k
= − ( 0 k n≤ ≤ ) 
Công thức bổ xung : , C0 1nn nC C= =
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2
k n k
n nC
−= 1 11k k kn n nC , C C + +++ = ( côngthứcpascal) 
VD: 1 giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan. Chọn ra 3 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: 
a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự) 
b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan 
Giải : 
a/ Chọn 4 bông bất kì từ 9 bông ( gồm hồng và lan ) ta được 1 tổ hợp chập 4 của 9 : 
4
9
9! 9! 6.7.8.9 .............
4!.(9 4)! 4!.5! 1.2.3.4
C = = = =− 
b/ ta chia làm 2 bước : chọn 1 hồng (từ 4 hồng) : 14C
 chọn 3 lan (từ 5 lan) : 35C
vậy số cách chọn là : x =.. 14C 35C
Bài tương tự : 
Bài 1: Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam. Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu 
cách chọn nếu : 
a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ 
d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ 
f/ có ít nhất 3 nam g/ An và Bình không được tham gia 
Bài 2:Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo : 
 a.Ngũ giác lồi b.đa giác lồi 12 cạnh c.đa giác lồi n cạnh 
Bài 3: trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có boa nhiêu cách lập 
tam giác 
C.Nhị thức NewTon : (dùng để khai triển hằng đẳng thức mũ cao) 
0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0
0
( ) ... ...
n
n n n n n k n k k n n k n k k
n n n n n n n
k
a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b− − − − −
=
+ = + + + + + + + =∑
chú ý cần nhớ : 
số mũ của a : giảm từ n xuống 0 
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
số mũ của b : tăng từ 0 đến n 
0 n
n nC C− − > 
Mũ a giảm thì mũ b tăng 
Số hạng thứ k + 1 : 1 .k n k kk nT C a b−+ =
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3
kSố hạng tổng quát ; 
0
( ) .
n
n k n k
n
k
a b C a b−
=
+ =∑
Công thức cần biết : 
11
21 ; ; ; ; .
n
mn n m n mnm n
n
nx x x x x x x x x x
x
− += = = = = 
Chú ý: ( quan trọng ) 
0 1 2 3
0 1 2 3
... 2
... ( 1) 0
n n
n n n n n
n n
n n n n n
C C C C C
C C C C C
+ + + + + =
− + − + + − =
Bài tập : 
2/Cho khai triển 2 12( )x x−+
 a.tìm số hạng thứ 3,5,8 b.tìm hệ số của số hạng chứa 3x 
 c.tìm số hạng không chứa x 
3/Tìm số hạng không chứ x trong khai triển : 121( )x
x
+ 
4/Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển của các tổng sau 
( )73 16 3+ ( 933 2+ ) 1051 5
3
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 
10
52 2
3
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 
5/Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của các tổng sau 
 ( )211 2x+ 111 2x
2 3
⎛ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
⎞
n
n n
 ( ) . 1001 0,5x+
6/ CMR : 1) ... 2o nn n na C C C+ + + =
 c/0 1 1) 9 9 ... 9 10o nn n nb C C C+ + + = ( )1 ... 1 0no nn n nC C C− + + − = 
7/ Cho khai triển biết tổng các hệ số trong khai triển ( )21 nx+ bằng 1024 .Tìm n 
8/ Chứng minh 
0 1 2
2
1 1 15 ... 6
5 5 5
n n n
n n n nnC C C C
⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1) 
HD : ( ) 1 1 2 21 5 5 5 .. 6n o n n n nn n n nC C C C− −⇔ + + + + = 
( ) 0 1 1 11 ....n n n nn n n nnx C x C x C x C− −+ = + + + + 
Chọn x=5 
1 1 2 25 5 5 ..n o n n n nn n n nC C C C
− − 6+ + + + = 
9/ Chứng minh 
2004 0 2003 1 2003 2004 2004
2004 2004 2004 2004
2004 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004
2004 2004 2004 2004
)3 3 ... 3 4
) 3 3 .4 ... 3.4 4 7
a C C C C
b C C C C
+ + + + =
+ + + + = 
a) ( )20041 x+ .Chọn x=3 
b) .Chọn a=3,b=4 ( )2004a b+
8/ Tìm số hạng trong các khai triển sau 
a. Số hạng thứ 13 trong khai triển 25(3 x)− 12 13 1225C 3 x
b. Số hạng thứ 18 trong khai triển 2 25(2 x )− 17 8 3425C 2 x−
c. Số hạng không chứa x trong khai triển 
12
1
x
x
⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 
6
12C 92= 4
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
9/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
1228
3 15x x x
−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 
HD : Số hạng tổng quát của 
12 1228 4 28
3 15 3 15x x x x x
− −⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 4
⎞⎟ ⎟+ = +⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ 
 là 
( ) k4 28k 16 112 k 5k k3 15
12 12x C x
⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜− − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=C x . 
Suy ra số hạng không chứa x ứng với k thỏa 
k
k 5
5
− = ⇔ =
5
12 792=
8x
1 0 
 Vậy số hạng không chứa x là C . 
10/ Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
821 x (1 x)⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
HD : 
8 82 21 x (1 x) x (1 x) 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
8
( )4 8 4 4 8 0 1 4 48 8 4 4 4(1 x) C x C C x ... C x− = − + +
3
)
5 5
 = − . 0 16 8 4 8 4 3 6 3 88 8 8C x (1 x) ... C x (1 x) C x (1 x) ... C+ + − + − + +
Suy ra hệ số của số hạng chứa x chỉ có trong 2 số hạng và C x . 8 4 8 48C x (1 x)− 3 6 38 (1 x)−
+ C x nên có hệ số chứa x8 là C C . 4 08 4
+ C x nên có hệ số chứa x8 là C C . ( )3 6 3 3 6 0 1 2 2 3 38 8 3 3 3(1 x) C x C C x C x C x− = − + − 3 28 3
Vậy hệ số cần tìm là C C . 4 0 3 28 4 8 3C C 238+ =
11/ Hệ số của số hạng chứa trong khai triển ( ) 5x 102 31 x x x+ + +
HD : ( ) ( ) ( )10 10102 3 21 x x x 1 x 1 x+ + + = + +
 = + . ( )(0 1 10 10 0 1 2 10 2010 10 10 10 10 10C C x ... C x C C x ... C x+ + + + +
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa chỉ có trong 3 số hạng: 5x
1 2
10 10C .C x
5 3 1
10 10C x, C . và . 
5 0
10 10C .C x
---------------------- 
PHẦN 2: XÁC SUẤT 
A.Phép thử, không gian mẫu, biến cố : 
 1.Phép thử : là thử 1 cách ngẫu nhiên, không biết trước kết quả mà chỉ biết tập hết quả. 
VD: gieo 1 con súc sắc có 6 mặt là 1 phép thử, ta không biết trước sẽ ra mắt nào nhưng biết chắc 
chắn số nút gieo được từ 1 Æ6 
 2.Không gian mẫu : tập các kết quả cúa phép thử, kí hiệu là Ω 
VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt thì không gian mẫu là : { }1, 2,3, 4,5,6Ω = 
 3.Biến cố : là tập con của không gian mẫu 
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt. Gọi biến cố A:”xuất hiện mặt chẵn” thì { }2, 4,6A = ∈Ω 
Bài tập tương tự: 
1/Gieo 1 đồng tiền cân đối đồng chất 2 lần 
 a.Xác định không gian mẫu 
 b.Xác định các biến cố sau : 
A:”kết quả 2 lần gieo như nhau” 
B:”có ít nhất 1 lần x.hiện mặt sấp” 
C:”lần gieo thứ 2 mới xuất hiện mặt sấp” 
2/Gieo 1 đồng tiền 3 lần 
 a.xác định không gian mẫu 
 b.xác định các biến cố : 
A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp” 
B:”mặt sấp xảy ra đúng 1 lần” 
C:”mặt ngửa xảy ra ít nhất 1 lần” 
B.Xác suất của biến cố: 
 Biến cố hợp : A B∪ hay A B+ , Biến cố giao : A B∩ hay .A B 
 Biến cố bù : A là phần bù của A, kí hiệu \A A= Ω 
VD: cho không gian mẫu { }1, 2,3, 4,5,6Ω = , biến cố A là : { }1,2, 4,6A = thì { }3,5A = 
 Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi A B∩ =∅ 
 Xác suất của biến cố A : ( )( )
( )
A n AP A
n
= =Ω Ω , với , ( )A n A là số phần tử trong A; 
, ( )nΩ Ω là số phần tử trong Ω 
VD: gieo 1 con súc sắc vô tư ta được không gian mẫu là : { }1, 2,3, 4,5,6Ω = .tính xác suất để 
được : a/ biến cố A là số lẻ b/ biến cố B là 1 số lớn hơn 4 
Giải: 
a/ Ta có { }1,3,5A = nên 3 1( )
6 2
P A = = 
b/ Ta có { }5,6B = nên 2 1( )
6 3
P B = = 
Bài tập tương tự : 
1/Trong 1 bình đựng 6 viên bi giống nhau trong đó có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. 
Tính xác suất để được 2 bi xanh 
2/Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần 
 a.Mô tả không gian mẫu 
 b.xác định các biến cố sau : 
 A:” Tổng số chấm 2 lần gieo không bé hơn 10” 
 B:” mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần” 
 c.tính P(A), P(B) ? 
C.Tính chất xác suất : 
 1.Định lý 1: a) Với mọi xác suất ta đều có : 0 ( )P A 1≤ ≤ 
 b) P( ) 0; P( ) 1∅ = Ω =
 c) nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + 
 2.Định lý 2 : A là biến cố bù của A, tức là \A A= Ω thì ta luôn có ( ) ( ) 1P A P A+ = 
 3.Công thức công xác suất : với 2 biến cố A và B bất kì ta luôn có : 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 5
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ 
Khi A,B xung khắc thì suy ra A B∩ =∅ ( ) 0P ∅ = nên trở về định lý 1 
PHẦN 3: TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI ĐH 
Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên : 
a/ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau 
c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau d/ số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 
Bài 2: 
a)Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các 
chữ số đã cho. 
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiên 
là chữ số lẻ. 
c) Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác 
gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán. 
d) Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1 
tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 
e) Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái. Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn. 
f) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam. 
g) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9? 
h) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu 
cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ? 
k) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu 
cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. 
l) Có 5 học sinh được xếp vào một bàn tròn. Tính số cách xắp xếp 5 học sinh đó vào bàn 
tròn đó. 
m) Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu. Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong 
đó có ít nhất một quả sâu? 
n) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho hai bạn A, E 
ngồi ở 2 đầu ghế. 
Bài 3: ( ĐH Đà Nẵng – 1997 ) Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có 
2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
Bài 4: ( ĐH Thái Nguyên – 1997 ) Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Thầy chọn 
ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách : 
a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữa 
c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam 
Bài 5: ( ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10 
đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ? 
Bài 6: ( ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông 
hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông 
1/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng 
2/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ? 
Bài 7: : Từ 1 tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác 
gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau: 
1 . Không có điều kiện gì thêm. 2. Tổ chỉ gồm 4 nam 3. Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ. 
Bài 8: Giải các pt , bpt sau : 
1/ 2/ 3 20nA = n 4n5 218nA A −= 3/ 2 222 50n nA A+ =
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 6
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 7
5nP −4/ 5/ 53 720 .n nP A+ = 3 2 14nn nA C −+ = n 6/ 
4 5
1 1 1
n nC C C
− =
6
n
n
7/ 8/ 1 2 3 26 6 9 14n n nC C C n+ + = − 4 5 6 13n n nC C C ++ = ( Tốt Nghiệp THPT – 2007 ) 
9/ 10/ 11/ 3 25 21x xA A+ ≤ x 4n6nC C< 2 2 321 6 102 x x xA A Cx− ≤ + 
12/ 13/ 2 11 14x xA C− − = 3 23 4 9x xC A x+ = 14/ 0 1 2 2 03 3 ... 3 1024nn n n nC C C C+ + + + =
15/ Tìm số nguyên dương n sao cho 
Bài 9: tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 
 1/ 
121 x
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ 2/ 
18
3
3
1x
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ 3/ 
10
3
2
12x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 10: Cho các số: 1,2,4,6,8,9 
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau đôi một 
Bài 11: rút gọn biểu thức sau : 0 1 2 37 7 7 7 ...S C C C C C= + + + + + 77
Bài 12: ( ĐH GTVT – 99 ) Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để ít 
nhất 1 mặt sấp xuất hiện 
Bài 13: ( ĐH Đà Nẵng -97 ) Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. Chọn ra 4 sinh viên đi lao động. 
Tính xác suất sao cho: 
 1/ Trong đó có 1 nữ 2/ Có không quá 3 nữ 
Bài 14: ( Cao Đẳng Hải Quan – 98 ) Một hộp chứa 12 bóng đèn trong đó có 7 bóng tốt. Lấy 
ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để được : 
 a/ 3 bóng tốt b/ ít nhất 2 bóng tốt 
Bài 15: Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫn nhiên 3 tấm. 
a) Mô tả không gian mẫu 
b) Xác định các biến cố sau : 
 A:” Tổng các số trên 3 tấm bìa = 8 “ 
 B: “ Các số trên 3 tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp “ 
c) Tính P(A) ; P(B) ? 
Bài 16: Một hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả câu đen, lấ ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất 
cho : 
a) Bốn quả lấy ra cùng màu b) Có ít nhất một quả màu trắng 
Bài 17: Gieo Đồng thời hai con súc sắc 
a) Mô tả không gian mẫu 
b) Xác định các biến cố sau và tính xác suất của chúng : 
 A:” số nút trên 2 súc sắc là như nhau “ 
 B:” Mặt 5 chấm xuất hiện ở súc sắc thứ nhất “ 
 C:”Tổng số chấm bé hơn 10” 
 D:”Tích số chấm là số lẻ” 
 E:”Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm” 
Bài 18: Gieo 3 đồng xu cân đối. tính xác suất để : 
a) Cả 3 đồng xu đều sấp 
b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp 
c) Có đ1ung 1 đồng xu sấp 
Bài 17: Một câu lạc bộ có 25 thành viên. 
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ? (ĐS: 12650) 
b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ Tịch, Phó Chủ tịch và thủ quỹ ? (ĐS:13800) 
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
Bài 18: Trong không gian cho 9 điểm trong đó không điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập bao 
nhiêu tứ diện ? ( ĐS :126) 
Bài 19: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao 
cho : 
a) Đôi một khác nhau b) Số lẻ đôi một khác nhau 
c) Số chẵn đôi một khác nhau c) chia hết cho 5 
Bài 20: 
a) Trong khai triển 
10
2 12x
x
⎛ −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . Tìm hệ số của số hạng chứa 8x 
b) Tìm hệ số 25 10x y trong khai triển 3 1( ) 5x xy+ 
c) Biết hệ số của 2x trong khai triển (1 3 )nx− là 95. Tìm n 
e) Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức 2 3
1 nx
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ , biết rằng 
Bài 21: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để : 
a) Số được chọn là số nguyên tố b) Số được chọn chia hết cho 3 
Bài 22: Một túi xách có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất 
để trong 4 quả cầu đó có cả màu đỏ và màu xanh ( ĐS : 97/105) 
Bài 23: Cho P(A)=0,3;P(B)=0,4 và P(AB)=0,2. Hỏi 2 biến cố A và B có : 
a) Xung khắc nhau không b) Độc lập vơi nhau không ? 
Bài 24: Giải hệ phương trình: 
Bài 25: Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 5 nữ sinh. Giáo viên muốn chọn 4 học sinh trực thư viện. 
Có bao nhiêu cách chọn như thế nếu: 
a/ Chọn học sinh nào cũng được b/ Có đúng 1 nữ sinh được chọn 
c/ Có nhiều nhất 3 nữ sinh được chọn d/ Có ít nhất 1 nữa sinh được chọn 
Bài 26: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 
người sao cho. 
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. 
Bài 27: ( Cao Đẳng Hải Quan – 2000 ) Giải pt : 1 2 3 7
2x x x
C C C x+ + = 
Bài 28: 
a)Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác 
suất để không có học sinh nữ nào là bao nhiu 
b) Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc 
hơn kém nhau 2 
c) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21.Xác suất để số được chọn chia hết 
cho 5 là bao nhiu ? 
d) Một hộp bóng đèn có 10 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng 
đèn. Tính xác suất để lấy ra cả 3 bóng đều tốt. 
Bài 29: Một hộp bóng đèn có 10 bóng đèn trong đó có 6 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 
bóng đèn. Tính xác suất để có ít nhất một bóng tốt 
Bài 30: cho T = (1+x)9 + (1+x)10 + (1+x)11 + (1+x)12 ,tìm hệ số x9 
Bài 31: (ĐH Dân lập Kỹ thuật công nghệ -1997) 
Trong một cái bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu đỏ hoàn toàn giống nhau về hình dáng và 
kích thước. Sau khi trộn đều, ta lấy ra ngẫu nhiên 3 quả cầu cùng một lúc. Tính xác suất để 3 quả 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 8
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 9
cầu lấy ra có 2 quả cầu cùng màu . 
Bài 32: (ĐH Nông nghiệp 1 -1997 ) Một tổ gồm có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ . 
1. Cần chọn một nhóm 4 người để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau.? 
2. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ,ta được nhóm có đúng 1 nữ. 
3. Cần chia tổ đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm công việc khác nhau. Hỏi có bao 
nhiêu cách chia khác nhau? Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên ta được mỗi nhóm có đúng 1 nữ. 
Bài 33: ( ĐH Thủy lợi -1997 ) 
Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả thiết rằng kích thước và 
trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 5 quả cầu. Tính xác 
suất của biến cố : trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ . 
Bài 34: ( ĐH Tài chính kế toán Hà Nội-1997 ) 
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Tính xác suất 
để lấy được : 1. 3 bóng tốt ? 2. ít nhất 2 bóng tốt ? 3. ít nhất 1 bóng tốt ? 
Bài 35: ( ĐH Đà nẵng -1997) 
Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. 
1. Tìm xác suất lấy ra 4 sinh viên đi lao động sao cho trong đó có 1 nữ . 
2. Tìm xác suất lấy ra 4 sinh viên đi lao động sao cho trong đó có không quá 3 nữ . 
Bài 36: ( ĐH Đà nẵng-1997 ) Tung 2 con xúc xắc đồng nhất . 
1. Tìm xác suất của biến cố có tổng số chấm là 8 ? 
2. Tìm xác suất của biến cố có tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3 ? 
Bài 37: ( ĐH Giao thông vận tải-Đề 1-1998 ) 
Ba xạ thủ độc lập bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất trúng đích của các xạ thủ 
lần lượt là : 0,6 ; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng bia ? 
Bài 38: ( Cao đẳng Hải quan -1998-CB ) 
Một hộp chứa 12 bóng đèn, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy 
được: 1. 3 bóng tốt ? 2. ít nhất 2 bóng tốt ? 
Bài 39: ( ĐH An ninh Phân hiệu TPHCM-1999 ) 
Trong 1 hộp có 12 bóng đèn giống nhau, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng. 
Tính xác suất để : 
1. Được 3 bóng tốt ? 2. Được 3 bóng hỏng ? 
3. Được đúng 1 bóng tốt ? 4. Được ít nhất 1 bóng tốt ? 
Bài 40: ( ĐH Kinh tế quốc dân Hà Nội-1999 ) 
Trong một hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh ( các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc ). Lấy 
ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi cùng một lúc. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên 
bi màu đỏ ? 
 BÀI TẬP (CÓ ĐA) 
Bài 1. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ 
ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách. 
Bài 2. Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. Tính số cạnh của đa giác 
đều đó. 
Bài 3. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 
5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. 
Bài 4. Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 
sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2. 
Bài 5. Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề 
nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia 
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của 
mỗi người thỏa yêu cầu trên. 
Bài 6. Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt. Tính tổng các số 
được thành lập. 
Bài 7. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội 
tiếp đường tròn tâm O. 
Bài 8. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 
trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của 
đa giác. Tính số hình chữ nhật. 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 10
Bài 9. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 
11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 
em được chọn. 
Bài 10. Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số 
chẵn các phần tử của X. 
Bài 11. Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách 
chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu. 
Bài 12. Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng 
trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số 
điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải. 
Bài 13. Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt 
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. 
Bài 14. Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được 
thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
Bài 15. Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh 
khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. 
Tính số cách chọn. 
Bài 16. Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh khối B và 4 học sinh khối 
C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Tính số cách chọn. 
Bài 17. Tính số tập hợp con của X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa 1 mà không chứa 0. 
Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp 
A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 
4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. 
Bài 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 
25000. Tính số các số lập được. 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1. Xét 3 loại ghế gồm 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi. 
+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên chọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ 
ngồi có cách. 24A 1= 2
+ Bước 2: sắp 3 nam vào ghế 3 chỗ có 3! = 6 cách. 
+ Bước 3: sắp 2 nữ vào ghế 2 chỗ có 2! = 2 cách. 
Vậy có 12.6.2 = 144 cách sắp. 
Bài 2. Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo. 
Số cạnh và đường chéo là . Suy ra số đường chéo là . 2nC
2
nC n−
Ta có: 2n
n !
C n 2n n 2n
2!(n 2)!
− = ⇔ − =−
 . =>Vậy có 7 cạnh. n(n 1) 6n n 7⇔ − = ⇔ =
GV: Nguyễn Vũ Minh ĐẠI SỐ TỔ HỢP + XÁC SUẤT 
Bài 3. Xét số có 5 chữ số gồm 0, 1, 2, 5 và chữ số “kép” là (3, 4). 
+ Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là 0. 
- Bước 1: sắp 5 chữ số vào 5 vị trí có 5! = 120 cách. 
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. 
Suy ra có 120.2 = 240 số. 
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là 0. 
- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách. 
- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4. 
Suy ra có 24.2 = 48 số. 
Vậy có 240 – 48 = 192 số. 
Bài 4. 
+ Loại 1: chữ số a1 có thể là 0. 
Sắp 4 trong 6 chữ số vào 4 vị trí có cách. Sắp 4 chữ số 0, 3, 4, 5 vào 4 vị trí có 4! = 
2