Dạng bài tập: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy có thể đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng và ngược lại

Gửi tới các thầy cô yêu môn Hình THCS một dạng bài tập mà tôi thích: 
“Chứng minh ba đường thẳng đồng quy có thể đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng và ngược lại”.
Tôi đã biết cách chứng minh sự tương đương giữa định lý Ceva và định lý Mênênaúyt nhưng không dành cho học sinh trung học cơ sở. Tôi chưa thấy cách chứng minh tương đương giữa hai định lý này bằng kiến thức của THCS ở bất cứ tài liệu nào. Hiện nay tôi đã chứng minh nhưng chưa chắc chắn lắm, tôi đưa một số bài tập tương tự lên cho các thầy cô tham khảo.
Nghỉ hè có nhiều thời gian hơn tôi xem xét lại và upload phần chứng minh tổng quát rất mong được sự giúp đỡ của các thầy cô!
Một số ví dụ:
Bài tập1:
Cho DABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy.
A
F
M
B
C
K
E
 Cách 1: (chứng minh đồng quy) 
Gọi AM ầ EF = K 
Theo định lý Talét:
; ; và 
Suy ra ..= 1
E
A
F
M
B
C
N
I
áp dụng định lý Ceva cho DABC ta có: CF, BE , AM đồng quy.
 Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM ầ BE = I 
Ta có =; =2; =
Suy ra ..=.2. =1
áp dụng định lý Menenauyt cho DABM thì F,I,C thẳng hàng.
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy.
B
C
F
A
E
D
Bài tập 2: Cho đường tròn nội tiếp DABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.
 Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra:
..=..=1
áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AD, BE, CF đồng quy.
B
C
F
A
E
D
I
N
 Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD ầ CF = I. Ta có :
..=..=.==1 
áp dụng định lí Menenauyt cho DACD thì 
AD, BE, CF đồng quy.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.
A
B
C
D
M
N
H
E
 Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đường cao nên 
AM = AN
Có: ; ị.
áp dụng định lý Ceva cho DABC suy ra AH, BE, CD đồng quy.
A
B
C
D
M
N
H
E
K
I
 Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lượt tại M, N, K
Gọi AH ầ BE = I 
Ta có: == và 
ị.====1
áp dụng định lí Menenauyt cho DABH thì D,I,C thẳng hàng.
Vậy AH, BE, CD đồng quy.
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
Bài tập 4:Cho DABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.
 Cách 1: (chứng minh đồng quy)
Gọi D = AB ầ CE, I = AC ầ BG
Đặt AB = c, AC = b. 
Có c2 = BK.BC; b2 = CK.BC ị =
và =; = (do DAIB ~ DCIG)
H
A
B
G
E
C
K
D
I
F
M
O
ị ..=..=1
áp dụng định lý Ceva cho DABC 
thì AK, BG, CE đồng quy.
 Cách 2: (chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC 
cắt BG tại M. AK ầ BG tại O.
Ta có =; =
suy ra ..=.. = ..=..=.=1
áp dụng định lý Menenauyt cho DABK thì D, O, C thẳng hàng.
Vậy AK, BG, CE đồng quy.