Đáp án môn Toán khối A – thi thử đợt 1

ĐÁP ÁN MễN TOÁN KHỐI A – THI THỬ ĐỢT 1 – 2014 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 
Cõu 1 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 - 3x2 + 4 
 * TXĐ: R 
 * 
x
lim y
đ+Ơ
= + Ơ , 
x
lim y
đ-Ơ
= - Ơ 
 * y’ = 3x2 - 6x 
 y’ = 0 Û x = 0, x = 2 
 * Bảng BT: 
x -Ơ 0 2 +Ơ 
y’ + 0 - 0 + 
y 
 +Ơ 
-Ơ 
 * Trả lời: Khoảng đồng biến (-Ơ, 0), (2, +Ơ) 
 Khoảng nghịch biến: (0, 2) 
 Điểm cực đại: (0, 4) 
 Điểm cực tiểu: (2, 0) 
 * Vẽ đồ thị. 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 2. Tỡm k để đường thẳng d: y = kx + k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phõn biệt A(-1, 0), 
M, N trong đú MN Ê 2 2 . 
 * Phương trỡnh cho hoành độ giao điểm: 
 x3 - 3x + 4 = k(x + 1) 
Û (x2 - 4x + 4 - k)(x + 1) = 0 
Û 
x = -1
g(x) = x
2
 - 4x + 4 - k = 0 
Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phõn biệt A(-1, 0), M, N khi g(x) = 0 cú hai nghiệm 
phõn biệt x1, x2 ạ -1 
Û 
' k 0
0 k 9
g( 1) 9 k 0
D = >ỡ
Û < ạớ - = - ạợ
* MN2 = (x2 - x1)2 + [kx2 + k - kx1 - k]2 
 = (x2 - x1)2 + k2(x2 - x1)2 
 = (k2 + 1)[(x1 + x2)2 - 4x1x2] 
 MN Ê 2 2 
Û (k2 + 1)[16 - 4(4 - k)] Ê 8 
Û k3 + k - 2 Ê 0 
Û (k - 1)(k2 + k + 2) Ê 0 
Û k Ê 1 
Đối chiếu điều kiện: 0 < k Ê 1. 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 2 
 Giải phương trỡnh: 
(1 s inx)(2sin 2x 6cos x 2sin x 3) 2
2cos x 1
- + + +
=
+
 (1) 
* Điều kiện: cosx ạ - 1
2
 Û x ạ 2 k2
3
p
± + p (k ẻ Z) 
 (1) Û (1 s inx)(4sin x cos x 6cos x 2sin x 3) 2
2cos x 1
- + + +
=
+
 Û (1 s inx)(2sin x 3)(2cos x 1) 2
2cos x 1
- + +
=
+
 Û (1 - sinx)(2sinx + 3) = 2 
1đ 
0,25 
0,25 
 Û 2sin2x + sinx - 1 = 0 
 Û 
s inx 1
1s inx
2
= -ộ
ờ
ờ =
ở
 Û 
x k2
2
x k2
6
5x k2
6
pộ = - + pờ
ờ
pờ = + pờ
ờ pờ = + p
ờở
 (thỏa món điều kiện) 
0,25 
0,25 
Cõu 3 Giải bất phương trỡnh: (x + 1) 22log x - (2x + 5)log2x + 6 ³ 0 (1) 
 * Điều kiện: x > 0 
 * (1) Û [(x + 1)log2x - 3](log2x - 2) ³ 0 
 Xột f(x) = (x + 1)log2x - 3 
 0 < x Ê 1 ị f(x) < 0 
 x > 1 ị f(x) đồng biến 
 f(2) = 0 
x 0 2 4 +Ơ 
f(x) - 0 + + 
log2x - 2 - - 0 + 
Vế trỏi + 0 - 0 + 
Nghiệm của (1) là: 
0 x 2
x 4
< Êộ
ờ ³ở
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 4 
Tớnh I = 
1 2
0
(2x 1) ln(x 1)dx
x 1
+
+
+ũ 
* I = 
1 2
0
(2x 1) ln(x 1)dx
x 1
+
+
+ũ = 
1
0
4x ln(x 1)dx+ũ +
1
0
ln(x 1)dx
x 1
+
+ũ 
 A = 
1
0
4x ln(x 1)dx+ũ 
 Đặt u = ln(x + 1) ị du = 1 dx
x 1+
 dv = xdx ị v = 
2x 1
2
- 
 A = 4[
2 1x 1ln(x 1)
02
-
+ - 
1
0
1 (x 1)dx
2
-ũ ] 
 = 4[- 
21 x( x)
2 2
- ]
1
0
 = 1 
 B = 
1
0
ln(x 1)dx
x 1
+
+ũ = 
1
0
ln(x 1)d(ln[x 1])+ +ũ = 
2ln (x 1)
2
+ 1
0
 = 21 ln 2
2
Vậy: I = 1 + 21 ln 2
2
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 5 
Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B. Tam giỏc SAC cõn tại S 
và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Gúc giữa mặt phẳng (SBC) và đỏy 
bằng 600. Biết SA = 2a, BC = a. Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng 
cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC. 
* Hỡnh vẽ: 
A
B
C
S
I
H
K
M
* Kẻ Ax song song với BC, HI cắt Ax tại K. 
 Kẻ IM vuụng gúc với SK. 
 AK ^ (SIK) ị AK ^ IM ị IM ^ (SAK) 
 Tam giỏc SIK đều ị IM = SH = 3a 5
4
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 6 Xột cỏc số thực a, b, c thừa món: a + b + c = 0; a + 1 > 0; b + 1 > 0; 2c + 1 > 0 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = a b c
a 1 b 1 2c 1
+ +
+ + +
* P = a b c
a 1 b 1 2c 1
+ +
+ + +
 = 1 - 1
1 a+
+ 1 - 1
1 b+
+ 1
2
- 1
4c 2+
= 5
2
- ( 1
1 a+
+ 1
1 b+
+ 1
4c 2+
) 
 P Ê 5
2
-
4 1 5 4 1( ) ( )
a b 2 4c 2 2 2 c 4c 2
+ = - +
+ + + - +
 Xột f(c) = 4 1
2 c 4c 2
+
- +
 với 1 c 2
2
- < < 
 f’(c) = 2 2
4 4
(2 c) (4c 2)
-
- +
= 
2
2 2
4[15c 20c]
(c 2) (4c 2)
+
- +
 f’(c) = 0 khi c = 0 
c 1
2
- 0 2 
f’(c) - 0 + 
 f(c) 
 5
2
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
Gọi H là trung điểm AC ị SH ^ (ABC) 
Kẻ HI ^ BC ị SI ^ BC 
Gúc giữa (SBC) và đỏy là: SIHé = 600 
 SI = 2 2 a 15SC IC
2
- = 
ị SH = SI ì sin600 = 3a 5
4
 HI = 1 SI
2
= a 15
4
ị AB = 2HI = a 15
2
V = 1 1. AB.BC.SH
3 2
= 
35a 3
16
Vậy: P Ê 5
2
 - 5
2
 = 0 
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 0 
Kết luận: maxP = 0 
0,25 
PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRèNH CHUẨN 
Cõu 7 Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh 
x + y + 2 = 0, đường cao kẻ từ B cú phương trỡnh: 2x - y + 1 = 0. Điểm M(1, -1) nằm 
trờn đường thẳng AB. Tỡm tọa độ đỉnh C của tam giỏc ABC biết tam giỏc ABC cú 
diện tớch bằng 9. 
* (d): x + y + 2 = 0 
 (d’): 2x - y + 1 = 0 
Kẻ MH ^ (d), MH cắt AC tại M’, H là trung điểm của MM’. 
 H(t, -2 - t), MH
uuuur
= (t – 1, -1 - t) ^ u(1, 1)-
r
 ị t = 0 ị H(0, -2) ị M’(-1, -3) 
AC qua M’ nhận vectơ u '(1, 2)
uur
làm phỏp vectơ. 
AC: x + 1 + 2(y + 3) = 0 
 Û x + 2y + 7 = 0 
 ị 
x 2y 7 0
x y 2 0
+ + =ỡ
ớ + + =ợ
 ị A(3, -5) 
AM: x 1 y 1
2 4
- +
=
-
ị 2x + y - 1 = 0 
Tọa độ B:
2x y 1 0
2x y 1 0
+ - =ỡ
ớ - + =ợ
 ị B(0, 1) ị AB = 3 5 
CẻAC ị C(-2t – 7, t) ị h = d(C, AB) = | 3t 15 |
5
+ 
S(ABC) = 
1 3 | t 5 |3 5
2 5
+
´ = 9 ị 1
2
t 3 C ( 1, 3)
t 7 C (7, 7)
= - ị - -ộ
ờ = - ị -ở
Thử lại ta cú C º C1(-1, -3) 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 8 Trong khụng gian tọa độ cho mặt phẳng (α): x + 2y - 2z + 6 = 0. (α) cắt ba trục tọa 
độ tại A, B, C. Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Tỡm tọa độ A, B, 
C, I. 
* (α): x + 2y - 2z + 6 = 0 
 (α) cắt Ox tại A: y = z = 0 ị x = -6 ị A(-6, 0, 0) 
Tương tự: B(0, -3, 0); C(0, 0, 3) 
* Gọi pt mặt cầu qua 4 điểm OABC là: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz = 0 (S) 
 A, B, C ẻ S nờn ta cú: 
36 12a 0 a 3
9 6b 0 b 3 / 2
9 6c 0 c 3 / 2
- = =ỡ ỡ
ù ù- = ị =ớ ớ
ù ù+ = = -ợ ợ
ị (S): x2 + y2 + z2 + 6x + 3y - 3z = 0 
Tõm K của (S) là: K(-3, 3 3,
2 2
- ) 
* I là hỡnh chiếu của K lờn (α) ị IK
x 3 t
y 3 / 2 2t
z 3 / 2 2t
= - +ỡ
ù = - +ớ
ù = -ợ
 I ẻ (α) ị t - 3 + 2(2t - 3
2
) - 2( 3
2
 - 2t) + 6 = 0 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
 t = 1
3
 ị I( 8 5,
3 6
- - , 5
6
) 
0,25 
Cõu 9 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Xột cỏc số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau thuộc A. 
Trong cỏc số núi trờn hóy lấy 1 số. Tớnh xỏc suất để số đú chia hết cho 5. 
* Gọi số tự nhiờn cú 5 chữ số khỏc nhau là: abcde 
 Chọn a cú 6 cỏch 
 Chọn 4 số cũn lại cú 46A cỏch ị cú 6 ì 
4
6A số 
* Trong cỏc số trờn, số chia hết cho 5 là: 
 TH1: e = 0: chọn 4 số cũn lại cú 46A cỏch. 
 TH2: e = 5: chọn a cú 5 cỏch 
 chọn 3 số cũn lại cú 35A cỏch ị cú 
4
6A + 5 ì 
3
5A 
Vậy, xỏc suất cần tỡm P = 
4 3
6 5
4
6
A 5A
6A
+
ằ 0,306 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH THEO CHƯƠNG TRèNH NÂNG CAO 
Cõu 7 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường trún (C): (x - 3)2 + y2 = 4 và điểm M(0, 3). Viết 
phương trỡnh đường trũn (C1) tiếp xỳc với đường trũn (C) và tiếp xỳc với trục tung 
tại M. 
* (C) cú tõm I(3, 0) và R = 2 
 (C1) tiếp xỳc với Oy tại M ị tõm I1(a, 3), a > 0, R1 = a 
TH1. Khi (C1) tiếp xỳc ngoài với (C) ị II1 = a + 2 
 ị (a - 3)2 + 9 = (a + 2)2 
 ị 10a = 14 
 ị a = 7/5 ị I1(7/5, 3) và R1 = 7/5 
ị (C1): (x - 
7
5
)2 + (y - 3)2 = 49
25
TH2. Khi (C1) tiếp xỳc trong với (C) ị I1I = | a - 2| 
 ị (a - 3)2 + 9 = (a - 2)2 
 ị a = 7 ị I1(7, 3) và R1 = 7 
ị (C1): (x - 7)2 + (y - 3)2 = 49 
1đ 
0,25 
0,50 
0,25 
Cõu 8 Trong khụng gian Oxyz cho mặt phẳng (α): x - 2y + 2z + 6 = 0. (α) cắt ba trục tọa 
độ tại A, B, C. Gọi H là trực tõm tam giỏc ABC. Tỡm tọa độ của A, B, C, H. 
* (α) cắt Ox tại A: y = z = 0 ị x = -6 ị A(-6, 0, 0) 
Tương tự B(0, 3, 0), C(0, 0, -3). 
Ta cú: AB ^ OC, AB ^ HC ị AB ^ (OHC) ị AB ^ OH 
Tương tự: AC ^ OH ị OH ^ (ABC) ị H là hỡnh chiếu của O lờn (α). 
OH cú vectơ chỉ phương 
x t
n(1, 2, 2) OH y 2t
z 2t
=ỡ
ù- ị = -ớ
ù =ợ
r
H ẻ (α) ị t + 4t + 4t + 6 = 0 ị t = - 2
3
 ị H(- 2
3
, 4 4,
3 3
- ) 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 9 Tỡm hệ số x5 trong khai triển của: f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 
* f(x) = (1 – 2x(1 – x))8 
 = [(1 - 2x) + 2x2] 
 = 0 8 1 7 2 2 6 4 3 5 68 8 8 8C (1 2x) C (1 2x) 2x C (1 2x) 4x C (1 2x) 8x- + - + - + - +  
Kể từ số hạng thứ tư trở đi của khai triển khụng chứa x5 
ị a5 = 08C
5
8C .(-2)
5 + 2 18C
3
7C (-2)
3 + 4 28C
1
6C (-2) 
 = -7616 
1đ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25