Đề 1 thi chọn học sinh giỏi huyện kim bôi năm học 2008-2009 môn: toán - lớp 9

 Phòng GD &ĐT Đề thi chọn học sinh giỏi huyện kim bôi 
 Huyện Kim Bôi Năm học 2008-2009
 Môn: toán - lớp 9
 Đề chính thức Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề 
 ( Đề gồm có 01 trang )
 Bài 1: ( 3 điểm ):
a/ Cho : Tính: P = 
 	 b/ Cho : Tính: 
Bài 2: ( 6 điểm):
a/ Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương.
b/ Các số tự nhiên a , b , c thoả mãn : 
a 2 + b 2 + c 2 = ( a – b ) 2 + (b – c ) 2 + ( c – a ) 2 
 CMR : Số ab + bc + ca là số chính phương .
c/ CMR: Với mọi nguyên dương ta luôn có 
Bài 3: ( 4 điểm):
a/ Tìm các số x, y thoả mãn phương trình: 
 b/ giải hệ phương trình:
Bài 4: ( 3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 M = Với x,y,z > 0
Bài 5: ( 4,0 điểm) Trong tam giác ABC; trung tuyến AD, BE cắt nhau tại M; gọi F, G lần lượt là trung điểm của BM và AM.
a/ Tứ giác DEGF là hình gì ?
	b/ CMR: nếu góc AMB thì AC + BC > 3.AB
------------------- Hết -------------------
 UBND huyện kim bôi	 kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện
	Phòng Giáo dục và đào tạo	 lớp 9 thCS năm học 2008 - 2009
 Môn : toán 
Đáp án và thang điểm:
Bài
Cõu
Nội dung
Điểm
1
(3 điểm)
a
(1,5 đ)
Ta có : 
	 P = 
1,0
0,5
b
(1,5 đ)
Ta có : 
	 = 
1,0
0,5
2
(6điểm)
Để và là hai số chính phương
và
0,5
a
( 2,0đ)
Nhưng 13 là số nguyên tố, nên: 
1,0
Từ suy ra 
Hoặc từ 
Vậy với thì và là hai số chính phương
0,5
Giải từ giả thiết suy ra : a2 + b2 + c2 = 2ab + 2bc + 2ca
0,5
b
(2,0đ)
Mặt khác: 
Hay: đpcm
1,5
1,0
c
(2,0đ)
 ( tích của 3 số tự nhiên liên tiếp) mà 
Mặt khác: (đpcm)
1,0
3
(4,0 điểm)
0,5
a
(2,0đ)
( Hoặc PT bằng = 0 )
1,0
0,5
Đặt: ; (x,y > 0)
0,5
b
(2,0đ)
Ta có: Ta thấy:
Nếu: > thì > 
0,5
Nếu: < thì < 
Vậy: phải có . Với ta có:
0,5
 giải ra ta được 
0,5
Ta có: ; ; 
1,0
4
1,5
Vậy: x=y=z
0,5
Bài 5: ( 4,0 điểm)
 A
 G
 N E
 Vẽ hình đúng, ghi rõ gt,kl M 
 F 
 B C
 D
0,5
5
Chứng minh được: Tứ giác DEG F là hình bình hành
1,0
Gọi N là giao điểm của AF, BG 
MF = MB = ME hay MF = ME = BF
1,0
Chỉ ra được: Nếu góc M < 900 AF < AE , (dấu = khi góc M = 900)
	 AN = 
Tương tự: BN = .
 Vậy AC + BC > 3 (AN + NB) > 3.AB
1,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định.