Đề 1 thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn toán năm học 2008-2009 thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

Sở gd-đt hà tĩnh
trường thpt hương khê
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán
NĂM HỌC 2008-2009 
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
 Bài1(8đ).
 1) Giải phương trình: 
 2) Giải hệ phương trình: 
 .
 Bài 2(4đ). 
 Cho hai số dương a và b. Đặt 
 .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
Bài 3(3đ).
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
 .
 Bài 4(3đ). 
 Tính các góc của tam giác ABC biết 
Bài 5(2đ).
 Cho ba số thực a,b,c thoả mãn a + b + c < 0. Biết rằng phương trình vô nghiệm. Hãy xác định dấu của c?
 ________________ Hết _____________ 
Sở gd-đt hà tĩnh
trường thpt hương khê
ĐÁP ÁN MễN TOÁN.
NĂM HỌC 2008-2009 
Bài 1(8 điểm).
1) Điều kiện: . Với điều kiện đú thỡ nờn
Ta thấy với thỡ mà nờn pt (*) vụ nghiệm. 
Vậy pt đó cho cú một nghiệm là x = 0.
2) 
Ta cú
+) 
+) .
Vậy hệ đó cho cú ba nghiệm (x; y) là ( 0; 0); ( -2; - 3) và (3; 2).
Bài 2. (4 đ) Vỡ a > 0, b > 0 nờn ỏp dụng bất đẳng thức Cụ si, ta cú:
 .
Cộng vế theo vế ba bđt trờn ta được:
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của là 1, đạt được khi a = b = c = 1.
Bài 3. (3 đ)Ta dễ dàng chứng minh được 
 .
Thay ta cú điều phải chứng minh.
Bài 4. (3đ) Từ giả thiết ta cú:
 . Áp dụng định lý Sin ta cú
.
 Ta cú 
 Tương tự ta tớnh được . Vậy cỏc gúc cần tỡm là :
 .
 Bài 5. (2đ) Ta xột hai trường hợp và .
 * Khi a = 0 : phương trỡnh trở thành bx + c = 0. Do phương trỡnh vụ nghiệm nờn b = 0 và . Ta cú a = b = 0 và , vỡ a + b + c < 0 nờn c < 0.
 * Khi  : đặt Do pt vụ nghiệm nờn f(x) khụng đổi dấu trờn R. Vỡ f(1)= a + b + c < 0 nờn f(x) < 0 với mọi số thực.
 Do đú f(0)= c < 0. Vậy c < 0.