Đề 1 thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2013 – 2014 môn thi: toán (thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP.HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU TP.HCM
Đề thi chính thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số
 thoả mãn 
Bài 2. Cho dãy
 thoả mãn .
Tìm tất cả các số nguyên tố p là ước của  và .
Bài 3. Trong một hội nghị khoa học có 5000 đại biểu tham dự, mỗi một đại biểu biết ít nhất một thứ tiếng. Một uỷ ban gồm một số đại biểu được gọi là uỷ ban làm việc nếu tất cả thành viên trong uỷ ban đều biết chung một thứ tiếng và được gọi là uỷ ban thách thức nếu không có hai thành viên nào của uỷ ban biết chung một thứ tiếng (uỷ ban có thể gồm 1 thành viên; uỷ ban này gọi là làm việc cũng được, thách thức cũng được). Chứng minh rằng có thể chia các đại biểu thành đúng 100 uỷ ban rời nhau (mỗi đại biểu thuộc đúng một uỷ ban) sao cho các uỷ ban này hoặc là uỷ ban làm việc hoặc là uỷ ban thách thức.
Bài 4. Tam giác ABC có B,C cố định còn A di động sao cho AB=AC và . Đường thẳng đối xứng với BC qua AB cắt AC tại P. Trên đoạn PC lấy M sao cho PM=PB. Gọi N là giao điểm của AB với phân giác ngoài góc BCA. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho 2014 số thực  thỏa mãn điều kiện
 và 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 6. Cho dãy số  xác định bởi:
.
Tìm 
Bài 7. Cho n là số nguyên dương và A là tập con khác rỗng của .
Tính giá trị của tổng , trong đó E lấy trên tất cả các tập con của X (kể cả tập rỗng).
Cho , xét m tập con khác rỗng của X là  và m số nguyên khác 0 là  sao cho . Chứng minh rằng tồn tại tập con E của X sao cho
(Ký hiệu |A| chỉ số phần tử của tập hợp A, số phần tử của tập rỗng là 0).
Bài 8. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H và P là điểm di động bên trong tam giác ABC sao cho . Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thằng cố định.