Đề 1 thi học sinh giỏi khối 12 môn: toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Môn: Toán
Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: (C)
a. Khảo sát hàm số
b. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
(Trích trong cuốn “Đạo hàm và ứng dụng” của tác giả: Lê Hồng Đức)
Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau:
Câu 3: (3 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(Trích trong cuốn “Điều kiện cần và đủ để giải phương trình” của: Phan Huy Khải)
Câu 4: (2 điểm) Tìm (x;y) biết rằng (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo 3 góc của một tam giác và (x;y) thoả mãn:
sin2[(x+1)y] = sin2xy + sin2[(x-1)y]
(Trích trong cuốn: “Phương trình lượng giác” của tác giả: Trần Phương)
Câu 5: (2 điểm) Giải phương trình: 	
Câu 6: (3 điểm) Cho (E): (0 < b < a). A, B là hai điểm tuỳ ý nằm trên (E) sao cho OA . Hãy xác định vị trí của A và B trên (E) để cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
	(Trích trong cuốn: “Hình giải tích” của tác giả: Trần Phương)
Câu 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều SABC nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R, các cạnh bên hợp với nhau góc .
a. Tính thể tích hình chóp SABC theo R và 
b. Khi thay đổi xác định để thể tích ấy lớn nhất
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
1
Khảo sát hàm số: 
- Viết lại hàm số dới dạng: 
1. Tập xác định: D = R\{1}
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
 y’ = 0 x = 0 hoặc x = 2
y’ > 0 trên (Hàm số đồng biến trên (
- Tơng tự y’ < 0 trên (0;2) hàm số nghịch biến trên (0;2)
b. Cực trị
- Đồ thị hàm số đạt cực đại tại x = 0 yCĐ = 0
- Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 yCT = 4
c. Giới hạn
- Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng
- Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng y = x + 1 làm tiệm cận xiên
- , 
d. Bảng biến thiên
 x 0 1 2 + 
 y’ + 0	-	-	0	+
	 0	 +	 +
	y
 	4
3. Đồ thị	y
- Nhận I(1;2) là giao của hai đờng
tiệm cận làm tâm đối xứng
	 4
	I
o
2
	x	 
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
2
- Giả sử M(a;y(a))(C), với a > 1. Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng: 
d: 
- Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận đứng
- Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận xiên
- Khi đó AI = |xA - xI| = , BI = 
 AI.BI = 
- AB2 = AI2 + BI2 - 2AI.BI.cos
- CAIB = AI + BI + AB = AI + BI + 
- Vậy CAIB min = khi AI = BI hay 
Khi đó: M()
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2
- Đặt dt = -dx dx = -dt
- Đổi cận: x = 0 t = , x = t = 0
- Khi đó I = 
Vậy I = 
0.5
0.25
0.75
0.5
3
Điều kiện cần:
- Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình 3 - x0 cũng là nghiệm để phơng trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 3 - x0 x0 = 
- Khi đó m = 
Điều kiện đủ:
- Khi m = thì phơng trình có dạng:
- Đặt 
- Từ trên 
- Vì (u+v)2 ≥ u2 + v2 Nghiệm của phơng trình u + v = 
- Từ đó suy ra u, v là nghiệm của PT
. Tức phơng trình có nghiệm duy nhất x = . 
- Vậy m = là giá trị cần tìm
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
- Vì (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo ba góc của một tam giác nên:
(x+1)y+ xy + (x-1)y = xy = . Khi đó phơng trình đã cho có dạng: sin2(+y) = sin2 + sin2(-y) 
cos(-2y) - cos(+2y) = 
Do (x-1)y > 0 y < y = 
- Từ xy = x = 2. Vậy (x;y) = (2;)
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
5
- PT 
 x = 
0.5
1.0
0.5
6
- Gọi A là giao điểm của đờng thẳng y = kx với (E), khi đó toạ độ A là nghiệm của hệ 
- OA2 = 
- Vì OA OB nên B là giao của đờng thẳng y = với (E)
 OB = 
- Vậy SOAB = 
- Theo Côsi ta có: 
 SOABmin = khi a2k2+ b2 = a2 + b2k2 k = ± 1
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
7
1
2
- Ta có VSABC = SI.SABC
- Trong đó: Xét hai tam giác đồng dạng S
SAI ~ SDA (g.g.g)
C
C
B
	A
(1)
Mặt khác: SI = (2)
Từ 1 và 2 SA = 2R
SABC = 
Vậy VSABC max = khi đó 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25