Đề 1 thi học sinh giỏi lớp 12 thpt môn toán (thời gian làm bài 180 phút)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MễN TOÁN 
(Thời gian làm bài 180 phỳt)
Cõu 1: (5 điểm)
Cho hàm số y= x + 	(Cm)
1. Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2. Tỡm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phõn biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đú vuụng gúc với nhau.
Cõu 2: (3 điểm)
1. Giải phương trỡnh sau: ỗx - 2ỗ2006 + ỗx - 1ỗ2006 = 1
2. Giải bất phương trỡnh sau: x log22 x - 2x log2 x ³ - log22 x + 5 log2 x - 6
Cõu 3: (4 điểm):
1. Tỡm m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng "xẻ[-2;4]
- x2 + 2x + 4+ m ³ 0
2. Tớnh 
Cõu 4: (5 điểm).
1. Từ cỏc số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiờu số tự nhiờn cú ba chữ số khỏc nhau. Tớnh tổng tất cả cỏc số đú?
2. Cho Parabol (P): y2 = 8x. Tỡm quỹ tớch tất cả cỏc điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuụng gúc với nhau.
Cõu 5: (3 điểm).
Cho lăng trụ tam giỏc ABC. A1B1C1 đứng cú tất cả cỏc cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BB1 và CC1, I là trọng tõm tam giỏc ABC. Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q. Tớnh độ dài đoạn PQ theo a.
______________Hết ___________
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
MễN TOÁN 
(Thời gian làm bài 180 phỳt)
Cõu 1: (5.0 điểm).
1. m = 1 hàm số trở thành y = x + 	3đ
TXĐ: D = R /{1};	y’ = 1 , y’ = 0 Û 	0,5đ
ị y’ > 0 	 xẻ (- Ơ; 0) U (2; + Ơ)
y’ < 0 	Û xẻ(0;1) U (1; 2)
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng (- Ơ; 0) và (2; + Ơ)
Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng (0;1) và (1; 2)	0,5đ
ị ycđ = y (0) = - 1 , yct = y (2) = 3	0,5đ
y = = ± Ơ
ị Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 (y - x) = = 0 ị ĐT y = x là tiệm cận xiờn của đồ thị hàm số.
 y = = ±Ơ	0,5đ
Bảng biến thiờn:	
xxx
- Ơ
-1
1
2
+Ơ
0
- Ơ
+ Ơ
1
+ Ơ
0
0
+ 
-
-
+ 
	y’
0.5đ
	 y
Đồ thị:
Đồ thị hàm số khụng cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1) 
0.5đ
1
3
- 1
y
x
I
	O	1	2
cú 2 N0pb x1, x2 khỏc 1 (1)	2,0đ 
 (2) 	0,5đ
2. Bài toỏn Û tỡm m để: 
(1) Û x2 - x + m = 0 (3) cú 2 Nopb x1, x2 khỏc 1
Û Û 	0,5đ
(2) Û = -1Û m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 	0,75đ
KL: m = là giỏ trị cần tỡm.	0,25đ
Cõu 2: (3 điểm)
1. Giải phương trỡnh: |x -1|2006 + |x -2|2006 = 1	1.5đ
Nhận xột: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trỡnh 	0.5đ
+ x > 2 => | x -1| > 1 => | x -1|2006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN.
+ x | x -1| > 1 => | x -2|2006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN
+ 1 
0 < | x -2| < 1 
=> VT < | x -2| + | x -1| = x - 1 + 2 - x = 1 = VF
0 < | x -1| < 1 
=> PTVN 	0.75đ
KL: Phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là x = 1 và x = 2	0.25đ
2. ĐK: x > 0	1.5đ
BPT 	 (x + 1) log22 x - (2x + 5) log2 x + 6 > 0	
 (log2 x - 2) (log2 x - ) > 0 	(*)	0.5đ
TH1: 
(Vỡ hàm số y = log2 x - đồng biến trờn (0; + Ơ))
=> x ẻ 	0.5đ
	 TH2: 2 x => x ẻ (0; )
TH3: 2 = x = : (*) (log2 x - 2)2 > 0, " x > 0 => x = 1/2 t/m.
Vậy bất phương trỡnh cú tập nghiệm là: (0;2]ẩ[4;+Ơ)	0.5đ
Cõu 3: (4 điểm)
1. Xột f(x) = - x2 + 2x + 8 với x ẻ[-2;4]	2,0đ
Ta cú: x0 = 1ẻ[-2;4], f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0
=> Tập giỏ trị của f(x) trờn [-2;4] là ([0;9] 	1,0đ
Đặt: t = , 0 < t < 3
=> Bài toỏn tỡm m để t2 + 4t + m - 8 > 0, "t ẻ[0;3]	0.5đ
Xột g(t) = t2 + 4t + m - 8 trờn đoạn [0;3]
Ta cú: t0 = 2 ẽ [0;3], g(t) đồng biến trờn đoạn [0;3], g(0) = m - 8, 
g(3) = m + 13. Suy ra g(t) > 0, "t ẻ[0;3] m - 8 > 0 m > 8. 	0.5đ	
2. I = 	2,0đ
= - cosx + sinx + C1 - 	0.5đ
J = dx	0.5đ
= 	0.5đ
Suy ra: I = - cosx + sinx - 	0.5đ
Cõu 4: (5 điểm)
1. - Từ cỏc số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được = 120 số tự nhiờn cú 3 	2,5đ
chữ số khỏc nhau. 	
- Tớnh tổng cỏc số lập được: 	0.5đ
Cú số cú chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị 
Cú số cú chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị
Cú số cú chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị
Cú số cú chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị
Cú số cú chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị
Cú số cú chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị
=> Tổng cỏc chữ số hàng đơn vị là: 
 (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420	1,0đ
Tương tự: 	Tổng cỏc chữ số hàng chục là: 420 	
Tổng cỏc chữ số hàng trăm là: 420 	0.5đ
Vậy tổng cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số khỏc nhau lập được từ cỏc số đó cho là:
 420 .100 + 420.10 + 420 = 46620	0.5đ
2. Gọi M (x0; y0), hai tiếp tuyến vuụng gúc với nhau của (P) qua M là d1và d2 	2,5đ.
Giả sử PT d1 là: A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (A2+B2 ạ 0)
 Ax + By - (Ax0 + By0) = 0 	0.5đ
=> Phương trỡnh d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0	0.5đ
Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xỳc với (P) nờn ta cú hệ phương trỡnh 	0.5đ
4B2 = 2A (-Ax0 - By0) 	(1)
4A2 = 2B (-Bx0 - Ay0) 	(2)
Từ hệ phương trỡnh suy ra A.B ạ 0 	0.5đ
Từ (2) ta cú: y0 = thay vào (1) ta được x0 = -2 	0.5đ
P
Vậy quỹ tớch cần tỡm là đường thẳng x = -2 	0.5đ
Cõu 5: (3 điểm)
J
C1
B1
A1
Q
N
M
	 	0,25 đ
B
C
F
I
A
Theo giả thiết lăng trụ cú hai đỏy là hai tam giỏc đều cạnh a, ba mặt bờn là ba hỡnh vuụng cạnh a. 	0.25đ
- Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F. Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P. 
IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại Q. Vậy P, Q là hai điểm cần xỏc định. 	1,0đ	
- Tớnh PQ: Đường A1B1 cắt PF tại J. Do M là điểm BB1 nờn BF = B1J. 
I là trọng tõm tam giỏc đều ABC nờn BF = AF = a/3.
=> B1J = AF => 4PM = 3FP (vỡ M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ = 3 PI. 	0.5đ
- Mặt khỏc: FP = 4 MF = 4 
FI = BC = , MI = 
=> Cos é IFM = 	0.5đ
=> IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP. cos é IFM = 
=> PQ = PI = . Vậy PQ = 	0.5đ
(Thớ sinh cú thể làm bài này theo phương phỏp toạ độ)
______________Hết ___________