Đề 1 thi học sinh giỏi năm học 2006-2007 môn thi : toán lớp 6 : thời gian làm bài 120 phút

Đề thi học sinh giỏi năm học 2006-2007
Môn thi : toán
Lớp 6 : Thời gian làm bài 120 phút
Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho 
 (2x+1)(y-5)=12
b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
c. Tìm tất cả các số B= 62xy427 biết rằng số B chia hết cho 99
Câu 2. a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản.
Chứng minh rằng : +++...+<1
Câu3: Một bác nông dân mang cam đi bán . Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả ;
Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả . Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .
Câu4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
đáp án toán 6
Câu1: 
a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ)
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ)
vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ)
b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ)
=>* 2n-1=1 => n=1
*2n-1=3=>n=2 (0,25đ)
vậy n=1;2 (0,25đ)
 c. (1đ) Ta có 99=11.9
B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ)
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ)
Câu2: a. Gọi dlà ước ching của 12n+1và 30n+2 ta có 
5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ)
vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau 
do đó là phân số tối giản (0,5đ)
b. Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- (0,5đ)
Vậy ++...+ <-+-+ ...+-
++...+ <1-=<1 (0,5đ)
Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là :
(24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ)
Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .
(33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)
 Số cam bác nông dân mang đi bán .
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)
 Câu 4(1đ)
 . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)
Đề bài:
Bài 1	(3 điểm).
 a. Tính nhanh: A =
b. Chứng minh rằng : nếu thì : .
c. Cho A = Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15.
Bài 2 (1.5 điểm). 
Chứng minh : < 1.
Bài 3 ( 2 Điểm )
 a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho : (2x+1)(y-5)=12
b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
c. Tìm tất cả các số B= 62xy427 biết rằng số B chia hết cho 99
Bài 4 : ( 1.5 điểm ) Một bác nông dân mang cam đi bán . Lần thứ nhất bán số cam và quả ;
Lần thứ 2 bán số cam còn lạivà quả ; Lần thứ 3 bán số cam còn lại và quả . Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .
Bài5 (2 điểm). Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC.
Hướng dẫn giải
Bài 1.
 a. = .
b.Tách như sau :
 .
Do 
Mà : (theo bài ra) nên : 
c.Biến đổi :
*A	 = ( 2+22) + ( 23 + 2 4 + . . . + (259 + 2 60)
= 2(1+2 ) + 23 + ( 1+2 ) + . . . + 259 ( 1 +2)
=
*A = = = .
*A = 
 =
 =
Bài 2: Ta có : 
áp dụng : 
 < 
Bài 3: a.(1đ): 
 Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12
12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ)
do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)
2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 
hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ)
	vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ)
b.(1đ)
Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)
để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ)
=>* 2n-1=1 => n=1
*2n-1=3=>n=2 (0,25đ)
vậy n=1;2 (0,25đ)
 c. (1đ) Ta có 99=11.9
	B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ)
*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9 
(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15
B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11
x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ)
y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ)
Bài 4 .Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là :
 (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ)
 Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .
 (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)
 Số cam bác nông dân mang đi bán .
(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)
c
b
a
Bài 5. Xét hai trường hợp :
*TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. 
Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau 
 B nằm giữa A và C
 AC = AB + BC = 12 cm.
b
c
a
*TH 2 : C thuộc tia BA.
C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) 
 AC + BC = AB 
 AC = AB - BC = 4 cm.