Đề 1 thi học sinh giỏi toán 6 năm học 2013-2014 thời gian làm bài 120 phút

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH
TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HSG TOÁN 6
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4 (-1)2010.(-1)2011
b) B = 70.( + + )
c) C = + + + biết = = = .
Câu 2. Tìm x là các số tự nhiên, biết: 
a) = 
b) x : ( - ) = 
Câu 3. 
	a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .	
b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh
Câu 4. Cho A = 
a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C). 
	a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
	b) Tính số đo của DBC, biết ABD = 300.
c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tính số đo ABx.
d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.
.Hết.
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(4,5 đ)
a) (1,5 đ)
A = -1.1.(-1).1(-1).1(-1) = -1
1,5
b) (1,5 đ)
B = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) 
 = 70.13.( - ) = 39
1,0
0,5
c) (1,5 đ)
 Đặt = = = = k 
 Ta có ...= k4 => k4 = 1 k = 1.
 C = + + + = 4 
0,5
0,5
0,5
Câu 2
(3,5đ)
a) (2,0 đ)
 = ó (x + 1)2 = 16 = (4)2 
+) x + 1 = 4 => x = 3
+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) 
Vậy x = 3
0,75
0,5
0,5
0,25
b) (1,5 đ)
x : ( - ) = ó x :() = ó 
=> x = 2
1,0
0,5
Câu 3
(3,0 đ)
a) (1,5 đ)
Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
 chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 => 12 + x + y9 (1)
 chia hết cho 4 khi 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) (1,5 đ)
 Ta có
 Ta thấy => Vậy A > B
0,5
0,5
0,5 
Câu 4
(3,0 đ)
a) (1,0 đ)
A = là phân số khi n + 4 0 => n - 4
1,0
b) (2,0 đ)
A = = 
Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên ó 5 n + 4 hay n + 4 Ư(5)
 Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1
0,5
0,5
1,0
Câu 5
(6,0 đ)
a) (1,5 đ)
D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
1,5
b) (1,5 đ)
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC
=> DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 
1,0
0,5
c) (1,5 đ)
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB
Tính được ABx = 900 – ABD
Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 00 <ABD<550 
=> 900- 550 < ABx < 900 – 00 ó 350 < ABx < 900
- Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB
Tính được ABx = 900 + ABD 
Lập luận tương trường hợp 1 chỉ ra được 900 < ABx < 1450
Vậy 350 < ABx < 1450, ABx 900
0,75
0,75
d) (1,5 đ)
- Xét đường thẳng BD.
Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A.
E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A
=> E và C ở 2 nửa MP bờ BD
=> đường thẳng BD cắt đoạn EC 
- Xét đường thẳng CE.
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD. 
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.
0,75
0,5
0,25