Đề 1 thi olympic môn toán lớp 6 năm học: 2013 - 2014 thời gian làm bài: 120 phút

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 6
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề bài:
 Câu 1 (5 điểm) 
 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
 a, 37 + (13 - ) = 630 : (914 . 415).
 b, (x – 7). (x + 3) < 0.
 c, xy + 3x – 2y = 11.
Câu 2 (4 điểm)
 a, Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
 b, Bạn Nam nghĩ ra một số có ba chữ số. Nếu bớt số đó đi 8 thì được số chia hết cho 7, nếu bớt số đó đi 9 thì được số chia hết cho 8, nếu bớt số đó đi 10 thì được số chia hết cho 9. Hỏi bạn Nam nghĩ ra số nào?
Câu 3 (4 điểm)
 Một nhà máy có ba phân xưởng, số công nhân của phân xưởng I bằng 28% tổng số công nhân của nhà máy. Số công nhân của phân xưởng II bằng số công nhân của phân xưởng III. Nếu chuyển 18 công nhân ở phân xưởng III sang phân xưởng II thì số công nhân ở hai phân xưởng II và III bằng nhau.
 Tính số công nhân của mỗi phân xưởng.
Câu 4 (5 điểm)
 Cho góc AOB có số đo bằng 300. Tia Ox là tia đối của tia OA, Tia Ot là phân giác của góc BOx.
 a, Tính góc AOt.
 b, Vẽ tia Oy sao cho góc xOy bằng 1V. Tính góc yOt?
Câu 5 (2 điểm)
 Cho S = + + + ... + .
 Chứng minh rằng: < S < .
---------Hết---------
Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra: Hà Thị Thủy
ĐÁP ÁN CHẤM OLYMPIC TOÁN LỚP 6
Năm học: 2013 – 2014
Câu
Nội dung
Điểm
1
(5 điểm)
a, a, 3 a, 37 + (13 - ) = 630 : (914 . 415)
 37 + (13 - ) = 9
 13 - = -28
 = 41
 2x + 7 = 41 hoặc 2x + 7 = -41
 x = 17 hoặc x = -24
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
b, (x – 7) . (x + 3) < 0
 x – 7 và x + 3 trái dấu
 Ta thấy: x – 7 < x + 3 
 Nên x – 7 0
 Do đó: -3 < x < 7 , mà xZ
 Vậy : x 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0.25đ
0,5đ
c, xy + 3x – 2y = 11
 x(y + 3) - 2(y + 3) = 5
 (y + 3). (x - 2) = 5
 y + 3 và x - 2 thuộc ước của 5
các ước của 5 là : -5 ; -1 ; 1 ; 5
Tìm được bốn cặp (x,y) là : (1 ; -8), (-3 ; -4), (7 ; -2), (3 ; 2)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2
(4 điểm)
a, Gọi số phải tìm là a.
 Ta có: a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m,n xN*
 Cộng thêm 9 vào số a ta được:
 a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2) 7
 a + 9 = 13n + 13 = 13(n + 1) 13
a + 9 7 và a + 9 13 mà (7,13) = 1 nên a + 9 7. 13
 hay a + 9 91. 
 Do đó: a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82
 a = 91(k – 1) + 82
Vậy a chia cho 91 dư 82 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25d
0,25đ
0,25đ
b, Gọi số phải tìm là a, theo đề bài ta có:
 (a - 8)7 (a - 1) 7
 (a - 9) 8 (a - 1) 8
 (a - 10) 9 (a - 1) 9
 (a - 1) BC(7, 8, 9) 
 a - 1 = 504
 a = 505
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3
(4 điểm)
Số công nhân của phân xưởng II và III chiếm 72%(tổng số)
Số công nhân ở phân xưởng II chiếm (72.4:9)% = 32%(tổng số)
Số công nhân của phân xưởng III chiếm 40%(tổng số)
Số công nhân của phân xưởng III hơn số công nhân của phân xưởng II là : 40% - 32% = 8%
 Nếu chuyển 18 công nhân ở phân xưởng III sang phân xưởng II thì số công nhân ở phân xưởng II và III bằng nhau, do đó phân xưởng III hơn phân xưởng II là 36 công nhân.
 Vậy nhà máy đó có số công nhân là: 36: 8% = 450(công nhân)
Phân xưởng I có: 28% . 450 = 126(công nhân)
Phân xưởng II có: 32% . 450 = 144(công nhân)
Phân xưởng III có: 450 - (126 + 144) = 180(công nhân).
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
(5 điểm)
a, 
vì Ox là tia đối của tia OA nên: t
 AOB + BOx = 1800 (hai góc kề bù) B.
 300 + BOx = 1800 
 BOx = 1800 - 300 = 1500 x .A 
 O
Vì Ot là tia phân giác của góc BOx, nên: 
 xOt = BOt = 1/2.BOx = 1/2. 1500 = 750
vì hai góc AOB và BOt kề nhau nên tia OB nằm giữa hai tia OA và Ot, ta có: AOt = AOB + BOt
 AOt = 300 + 750 = 1050
0,75đ
0,75đ
0,5đ
b, 
Trường hợp 1: hai tia Ot, Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox 
 xOt < xOy (750 < 900) t y
nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy 
ta có: xOt +tOy = xOy B.
 750 + tOy = 900 
 tOy = 900 - 750 = 150. x O A
Trường hợp 2 : hai tia Ot và Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox : t
Từ đầu bài suy ra
 tia Ox nằm giữa hai tia Ot và Oy, B . 
 ta có : 
yOt =xOt + xOy x O A
yOt = 750 + 900 = 1650.
 y 
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
5
(2 điểm)
S = + + + ... + > - + - ++ - = 
Lại có:
S = + + + ... + < 1 - + - + -++- = 
 Vậy: < S < .
0,75đ
0,75đ
0,5đ