Đề 2 thi olympic môn toán 6 năm học 2013 – 2014 (thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC 
MÔN TOÁN 6
Năm học 2013 – 2014
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Bài 1 ( 2,0 điểm) :
	Tính A = 
Bài 2 (5,0 điểm) :
a, Cho biết S = 
 Chứng minh rằng < S < 
	b, Tìm phân số lớn nhất, khi chia các phân số và cho nó ta đều được các thương là số nguyên.
Bài 3 ( 4,0 điểm) : 
a, Tìm các số tự nhiên a,b,c biết
	b, Tìm các số tự nhiên có bốn chữ số sao cho khi chia nó cho 130 , cho 150 được các số dư lần lượt là 88 và 108.
Bài 4 (3,0 điểm):
a)Tìm số tự nhiên n để phân số đạt giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó.
b)Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 
Bài 5 ( 6,0 điểm) : 
	Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của 
 góc tOz. Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phân giác của góc zOm.
a, Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau .
b, Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox, biết góc x’Om bằng 300 . Tính góc tOz .
c, Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox,Oz,Oy,Om,Ox’ và Ot ). 
 Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?
------------------------ Hết --------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 
 TOÁN 6
Năm học 2013 – 2014
Bài
Tóm tắt nội dung hướng dẫn 
Điểm
Bài 1
(3 ,0 đ)
 Ta có 
 A = 
Vậy A = ( 0 + 0) . = 0 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2 
( 5,0đ)
Câu a : 3,0 điểm , Chia ra : 
* Chứng minh S < 
S = 
S < 
S < 
S< 
S << hay S < (1) 
* Chứng minh < S 
S > 
S > 
S > 
S > > Hay S > 
Từ (1) và (2) ta có < S < 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu b : 2,0 điểm 
Phân số cần tìm có dạng ( đ kiện ......)
 là số nguyên khi 24y chia hết 7x, 7 và 24 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 24 chia hết x và y chia hết 7 
 Tương tự 18 chia hết x và y chia hết 11
Từ đó suy ra x ƯC ( 18 ; 24 ) và y xBC ( 7 ; 11 )
Phân số lớn nhất nên x lớn nhất và y nhỏ nhất,
 tìm ra x = 6 , y = 77
Vậy phân số cần tìm là 
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 3 
(4,0đ)
Câu a : 2,0 điểm 
Nhận thấy 
 < 
Suy ra = 2 , do đó a = b = 1 . Từ đó tìm ra c = 1
1,0 đ
1,0 đ
Câu b : 2,0 điểm 
Gọi số phải tìm là a . Ta có a + 42 chia hết cho 130 và 150 nên 
a + 42 là BC(130,150)
Tìm đúng a = 1908; 3858 ;5808; 7758; 9708( mỗi giá trị 0,25 đ)
0,75 đ
1,25 
Bài 4 
(3,0đ)
B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên đạt giá trị lớn nhất khi:2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất 
 2n - 5 = 1 n = 3 
Vậy:B đạt giá trị lớn nhất là khi n = 3
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Từta có: (x,y N) 
Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó yƯ(54) = , vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. 
Vậy y 
Ta có bảng sau:
y
2
6
18
54
2x-1
27
9
3
1
 x
14
5
2
1
Vậy (x;y) 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5 
(6,0đ)
O
t
x
z
y
m
x’
Câu a : 2,0 điểm 
* Chứng minh góc tOz + góc zOm = 1800 : ( Cho 0,75 điểm )
Tia Oz nằm trong góc xOy nên góc xOz + góc zOy = góc xOy = 900 
Theo giả thiết có các tia phân giác nên góc xOz = góc tOz
 góc zOy = góc zOm
Từ đó suy ra góc tOz + góc zOm = 900
Hay góc tOz + góc zOm = 1800 
* Chứng minh góc tOz và góc zOm là hai góc kề nhau: Cho 0,75 đ
* Kết luận : Cho 0,5 điểm 
0,75 đ
0,75 đ
0,5 điểm
Câu b : 2,0 điểm 
Chứng minh góc tOx = mOx’ = 300 ( Cùng kề bù với góc mOx)
Góc tOx = góc xOz = 300 
Góc tOz = 600 
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu c : 2,0 điểm 
Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,Oy,Oz,Ot,Om,Ox’. Tất cả trong hình vẽ có n+6 tia phân biệt . 
Cứ 1 tia trong n+6 tia đó tạo với n+5 tia còn lại thành n+5 góc . Có n+6 tia nên tạo thành (n+5)(n+6) góc nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần . Vậy có tất cả là góc 
Thay = 2014 ta được số góc có là 
 (2014+6)(2014+5)/2 = 2 039 190 góc 
1,5 đ
0,5 đ
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.