Đề 3 thi olympic lớp 6 năm học 2013 – 2014 môn thi: toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
Trường THCS Dân Hoà
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
 (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)
1) Chứng minh rằng: 31999 – 71997 ⋮ 5
2) Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp để: *1994* chia hết cho 99
Câu 2: (5 điểm)
Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 +  + 499 ; B = 4100
Chứng minh rằng: A < B3 
So sánh C và D
C = 20132013 + 120132014 + 1 D = 20132012 + 120132013 + 1
Tìm các số nguyên x, y sao cho:
 ( x + 1). ( xy – 1) = 3
Câu 3: ( 2 điểm)
 Tìm GTNN của hiệu giữa 1 số tự nhiên có hai chữa số với tổng các chữ số của nó.
Câu 4: (4 điểm)
 Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h và đến B lúc 12h. Một xe con khởi hành từ B lúc 7 giờ rưỡi và đến A lúc 11 giờ rưỡi
Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?
Biết vận tốc xe con hơn vận tốc xe tải là 10km/h. Tính quãng đường AB?
Câu 5: (5 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC, N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính độ dài đoạn thẳng MN
----------- Hết -----------
(giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC TOÁN 6
Câu 1: (4 điểm)
31999 = (34)499 . 33 = 81499. 27 có chữ số tận cùng là 7 (0,75đ)
 71997 = (74)499.7 = 2041499 . 7 có chữ số tận cùng là 7 (0,75đ)
 Vậy 31999 – 71997 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5 (0,5đ)
Đặt A = x1994y⋮ 99 ↔ A ⋮ 11 và A ⋮ 9 (0,5 đ)
Từ A ⋮ 11 tìm được y – x = 3
Từ A ⋮ 9 tìm được x + y = 4 hoặc y + x = 13 (1 đ)
(x + y và x – y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
TH: y – x = 3; x + y = 4 ( loại)
TH: y – x = 3; y + x = 13 → x = 5, y = 8 (0,5 đ)
 Đ/S: 519948
Câu 2: (5 điểm)
4A = 4 + 42 + 43 + 44 ++ 4100 (0,5đ)
 A = 1 + 4 + 42 + 43 ++ 499
 3A = 4A – A = 4100 – 1 (0,5đ)
 → A = 4100 – 13 < 4100 3 = B3 (1đ)
 Vậy A < B3
2)
 C = 20132013 + 120132014 + 1 → 2013C = 20132014 + 201320132014 + 1 = 1 + 201220132014 + 1 (0,5đ)
D = 20132012 + 120132013 + 1→ 2013D = 20132013 + 201320132013 + 1 = 1 + 201220132013 + 1 (0,5đ)
Vì 201220132014 + 1 < 201220132013 + 1 nên 2013C < 2013D (0,5đ)
 Vậy C < D
Vì ( x + 1). ( xy – 1) = 3 và x ∈ Z, y ∈ Z nên x + 1 ∈ Z, xy – 1 ∈ Z
 Do đó: x + 1 ∈ Ư(3) = { ±1; ±3 } (0,5 đ)
 Ta có:
x + 1
1
-1
3
-3
xy – 1
3
-3
1
-3
x
0
-2
2
-4
 y
1
1
0
 (1 đ)
Vậy các cặp (x; y) thoả mãn là: (-2; 1); (2;1); (-4; 0)
Câu 3: (2 điểm)
 ab - (a +b) = 9a (1 đ)
 Biểu thức này có GTNN bằng 9 khi và chỉ khi a = 1, còn b tuỳ ý (0,1,2,..,9) (1 đ)
Câu 4: ( 4 điểm)
Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước.
Thời gian xe tải đi từ A đến B là 5h, xe con đi từ B đến A là 4h
Trong 1h, hai xe gần nhau được là: 15+14 = 920 (quãng đường AB) (0,5đ)
Xe con khởi hành sau xe tải là: 7h30p – 7h = 30p = 12h
Khi xe con khởi hành thì hai xe cách nhau là: 1 -15.12=910 (quãng đường AB) 
	(1đ)
Hai xe gặp nhau sau: 910:920 = 2h
Hai xe gặp nhau lúc: 7h30p +2h = 9h30p (1đ)
10km chính là : 14-15=120( quãng đường AB) (0,5đ)
Vậy quãng đường AB dài là: 10 : 120 = 200(km) (1đ)
Câu 5: (5 điểm) 
M
N
A
Vẽ hình đúng cho (0,5đ)
B
C
 Gọi độ dài đoạn thẳng AC là b. (0,5đ)
 Vì C nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa C và B
 ta có: CB = CA + AB = b + a (1đ)
 M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên CM = MA = b2 (0,5đ)
 N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN = NB = a +b2 (0,5đ)
 M và N đều nằm trên tia CA vì CM < CN ( b2 < a +b2 ) 
 nên MN = CN – CM = a +b2 - b2 = a2 (2đ)
 Vậy MN = a2
(Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)