Đề 6 thi olympic lớp 6 năm học 2013 - 2014 môn thi : toán thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề )

phòng Giáo dục & Đào tạo
Đề chính thức
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút 
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1: (6,0 điểm)
a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng khi chia số đú cho cỏc số 25 ; 28 ; 35 thỡ được cỏc số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15.
b) Thay cỏc dấu * bởi cỏc chữ số thớch hợp để: *1994* chia hết cho 99
 c) Tỡm số tự nhiờn n sao cho 4n-5 chia hết 2n-1.
Cõu 2: (5,0 điểm)
 a) Một số tự nhiờn chia cho 7 thỡ dư 5, chia cho 13 thỡ dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu?
 b) Chứng minh rắng: 
 c) Tỡm số tự nhiờn x biết: 	
Cõu 3: ( 2,0 điểm)
	so sỏnh:
	A = với B = 
Cõu 4: ( 2,0 điểm)
 Cho x,y,z là cỏc số nguyờn dương. Chứng minh rằng biểu thức sau khụng cú giỏ trị nguyờn.
Cõu 5: ( 5,0 điểm)
 a) Cho gúc xOy bằng 800, gúc xOz bằng 300 . Tớnh số đo gúc yOz ?
 b) Cho 4 điểm A; B; C; D khụng nằm trờn đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc khụng cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số cỏc đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD. 
----------- Hết -----------
(giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2013 - 2014
Môn thi : Toán Lớp 6
Cõu 1: (6 điểm)
a) ( 2 điểm) Gọi số tự nhiờn phải tỡm là x. 
- Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35.	 0,5 đ
- Tỡm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . 0,5 đ
- Vỡ x là số tự nhiờn cú ba chữ số suy ra k = 1 0,5 đ
 x + 20 = 700 x = 680. 	 0,5 đ
( 2 điểm) Đặt A = x1994y⋮ 99 ↔ A ⋮ 11 và A ⋮ 9 0,5 đ
Từ A ⋮ 11 tỡm được y – x = 3
Từ A ⋮ 9 tỡm được x + y = 4 hoặc y + x = 13 1 đ
(x + y và x – y phải cựng chẵn hoặc cựng lẻ)
TH: y – x = 3; x + y = 4 ( loại)
TH: y – x = 3; y + x = 13 → x = 5, y = 8 0,5 đ Đ/S: 519948
 c) (2 điểm) mà 
 Nờn 
 Hay 0.75đ
 Để 
 Ư(3) = {1 ; 3} 0.5 đ
 0.5 đ
 Do đú n ∈ {1 ; 2} 0.25 đ
Cõu 2 : ( 5 điểm)
a, (2 điểm) Gọi số phải tỡm là a.
 Ta cú: a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m,n xN*
 Cộng thờm 9 vào số a ta được:
 a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2) 7
 a + 9 = 13n + 13 = 13(n + 1) 13
a + 9 7 và a + 9 13 mà (7,13) = 1 nờn a + 9 7. 13
 hay a + 9 91. 
 Do đú: a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82
 a = 91(k – 1) + 82
Vậy a chia cho 91 dư 82 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25d
0,25đ
0,25đ
b) ( 2 điểm) Đặt A= 	 0,25 đ 
ị 2A= 0,5 đ
ị 2A+A =3A = 1- 0,75 đ
ị 3A < 1 ị A < 0,5 đ
c) ( 1 điểm) Nhõn vào hai vế ta được : 0.25đ
 0.25đ
 0.25đ
 0.25đ
Cõu 3) ( 2 điểm)
- Thực hiện qui đồng mẫu số:
C = 
0,5đ
D = 
0,5 đ
0,5 đ
Do > nờn C > D
(Cú thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D).
0, 5 đ
Cỏch khỏc: Cú thể so sỏnh 2013 C với 2013 D trước.
Câu 4 (2 điểm)
*) Chứng minh được:
*) Chứng minh được:
Vậy 1 < A < 2 nờn A khụng là số nguyờn
1,0 điểm
1,0 điểm
Cõu 5
(5 điểm)
a) +) TH1: Hai tia Oy và Oz nằm trờn hai nửa mp đối nhau bờ chứa tia Ox :
 Lập luận => Tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz z
x
y
O
 => gúc yOz = 800 + 300 = 1100
 +) TH2: Hai tia Oy và Oz cựng nằm trờn một nửa mp bờ chứa tia Ox 
 O
y
z
x
Lập luận => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy .
=> gúc yOz = 800 - 300 = 500
b)+) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cựng thuộc một nửa mp bờ là a.
 => Đường thẳng a khụng cắt đoạn thẳng nào trong cỏc đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD
 +) TH2: Trong hai nửa mp đúi nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D
 => Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.
 +) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp cũn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D
 => Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD.
 Suy ra điều phải chứng minh .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
(Lưu ý: HS làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa)