Đề chọn đội dự tuyển Toán - Năm học 2007 - 2008

Đề chọn đội dự tuyển toán
Năm học 2007 - 2008
(Ngày 1)
Bài 1. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình |2x − 3y| = 1.
Bài 2. Giả sử đa thức P (x) = x2008 − mx2 + m (m 6= 0) có đủ 2008
nghiệm thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P (x) có ít nhất một
nghiệm x0 thoả mãn điều kiện |x0| ≤
√
2.
Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các số chính phương
thoả mãn ba điều kiện sau
1. Trung bình cộng của hai số liên tiếp là một số chính phương.
2. Hai số liên tiếp của dãy là hai số nguyên tố cùng nhau.
3. Dãy tăng ngặt.
Bài 4. Cho 2007 số thực dương phân biệt a1, a2, . . ., a2007. Xét tập hợp
X =
{∑
i∈K
ai : K ⊂ {1, 2, . . . , 2007}
}
Chứng minh rằng số phần tử của X không nhỏ hơn 2015028.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (J) tiếp
xúc trong với (O) tại T và tiếp xúc với các tia AB, AC. Gọi K, L thứ tự là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABT , ACT . Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác KLT cũng tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T .
1