Đề chọn đội dự tuyển Toán - Năm học 2007 - 2008 (Ngày 2)

Đề chọn đội dự tuyển Toán
Năm học 2007 - 2008
(Ngày 2)
Bài 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp các số nguyên dương (x, y)
nghiệm đúng phương trình sau:(
x
y
)2
− (y − 1)2 = 4x− 1
Bài 2. Cho các số a, b, c dương. Chứng minh rằng:
a
9ab+ (a + b+ c)2
+
b
9bc + (a + b+ c)2
+
c
9ca + (a+ b+ c)2
≥
1
2 (a + b+ c)
Bài 3. Cho dãy {fn}n≥1 xác định như sau (dãy Fibonaci):
f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 3
Giả sử với một số n nào đó, a, b là hai số nguyên dương thoả mãn điều kiện
min
{
fn
fn−1
;
fn+1
fn
}
≤
a
b
≤ max
{
fn
fn−1
;
fn+1
fn
}
Chứng minh rằng b ≥ fn+1
Bài 4. Tìm tất cả các đa thức P (x) khác 0, hệ số là các số thực không
âm có bậc nhỏ hơn hay bằng 2007 thoả mãn điều kiện sau:
P (x) · P
(
1
x
)
≤ (P (1))2 ∀x ∈ (0,+∞)
Bài 5. Cho tam giác ABC , nội tiếp đường tròn (O,R), ngoại tiếp đường
tròn (I, r). A′, B ′, C ′ thứ tự là hình chiếu vuông góc của I trên các tiếp
tuyến với (O) tại A, B, C . Chứng minh rằng(
2r
R
)3
≤
PA′/(I) · PB′/(I) · PC′/(I)
PA/(I) · PB/(I) · PC/(I)
1