Đề chọn đội tuyển Toán lớp 12 năm học 2008 - 2009

Trường Chuyên Lê Quý Đôn
	----------------	
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009
	 Thời gian làm bài: 120 phút 
	---—&-&–---
Câu 1. Giải hệ phương trình 
Câu 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi điều kiện với n=1; 2; . Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn khi 
Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc 
b) Chứng minh rằng 
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng 
Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n).
----------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------------
Trường Chuyên Lê Quý Đôn
	----------------
LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỀN HSG NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN LỚP 12
Câu 1. Hệ phương trình bài ra tương đương với:
Cách 1. Đặt a = x2 + y2 + z 2 và b = xyz. Bình phương 2 vế của từng phương trình trong hệ rồi cộng lại ta thu được (1)
Nhân 3 phương trình bài ra theo vế được: (2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Thay vào (1) được a3 = 216 tức là b=6. 
Thay vào hệ phương trình ban đầu giải được x = 1, y = -1, z = 2
Cách 2. Nhân 2 vế của các phương trình ban đầu lần lượt với 7; 1; -3 rồi cộng theo vế thu được 
 (7x + y – 3z) (x2 + y2 + z2) =0. Mà x, y, z không đồng thời bằng 0 nên 7x + y – 3z =0. 
Thay y = 3z + 7x vào 2 phương trình trong hệ ta thu được một hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 ( giải ra nghiệm duy nhất x = 1, y = -1, z = 2)
Câu 2. Xét hàm số 
Xét hàm số 
Nên phương trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm mà nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c.
Áp dụng định lý Lagrange tồn tại số yn sao cho 
Do đó . Theo nguyên lý kẹp thì lim xn =c.
Vậy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.
 (Lưu ý: Có thể chứng minh từ n=2 trở lên thì xn0, hàm số đồng biến. Dễ chứng minh được dãy số giảm khi n>2 và xn>c với mọi n>2. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn theo nguyên lý Weierstrass)
Câu 3.
a) Gọi E là giao điểm khác A của MA với đường tròn (O).
Ta có 
Tam giác MBO vuông tại B có đường cao BK nên 
Do đó tứ giác AOKE nội tiếp được
Nên AI là phân giác góc .
b) Do AI là phân giác chung của các góc , nên ta có . Áp dụng công thức tính diện tích
 (1)
 (2)
 Thay (2) vào (1) ta thu được (đpcm)
Câu 4. Xét hàm số g(x) = f(x) + ax2 + bx với a, b là các hằng số.
Khi đó g(x) là hàm số liên tục trên R và f(x) = g(x) – ax2 –bx. Thay vào điều kiện bài ra thu được
Ta chọn . Thì 
Xét hàm số h(x) = g(2x) –g(x) thì h(x) là hàm số liên tục trên R và h(2x) = h(x) với mọi số thực x. Tuy nhiên h(0) = g(0) – g(0) =0.
Lấy a bất kì, lập dãy cấp số nhân . Rõ ràng lim xn =0 và dãy h(xn) là dãy hằng số.
Do hàm h(x) liên tục trên R nên 
 h(a) = lim h(xn) = h (limxn) = h(0) =0 do đó h(x) =0 với mọi x.
Do đó g(2x) = g(x) với mọi x. Lập luận như trên do hàm g(x) liên tục ta suy ra g(x) = g(0) = c (const)
Từ đó suy ra với c là hằng số bất kì. Thử lại thấy đúng.
(Lưu ý: + Bài toán vẫn đúng nếu chỉ cho giả thiết hàm f(x) liên tục tại x = 0. 
	+ Hs không giải thích tính liên tục của hàm mà dùng lim h(xn) = h (limxn) thì không cho điểm.)
Câu 5. Không giảm tính tổng quát ta giả sử a<b<c. Đặt x = b – a , y = c – b. Khi đó
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Xét biểu thức 
Đặt ta xét hàm số 
Tính đạo hàm, lập BBT tìm ra Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi , từ đó giải ra x/y và tính được tỉ lệ các bộ (a, b, c)