Đề chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút
(4 điểm) 
a) Chứng minh là số nguyên.
b) Giả sử và đều là các số nguyên tố. Chứng minh cũng là một số nguyên tố.
 (6 điểm). Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) .
(4 điểm)
a.	Cho . Chứng minh rằng: 
b.	Cho ba số dương , , thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của 
(6 điểm) Cho tam giác nhọn, có các đường cao cắt nhau tại .Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các đường thẳng . Chứng minh rằng
	a) .
	b) .
	c) Trong các tam giác có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng diện tích tam giác . 
 (1 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn thì diện tích tam giác nhỏ hơn .
–HẾT—
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 9 CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4
Năm học: 2020-2021
 (4 điểm) 
a) Chứng minh là số nguyên.
b) Giả sử và đều là các số nguyên tố. Chứng minh cũng là một số nguyên tố.
Lời giải
a)	Chứng minh là số nguyên.
	 (vì )
	. 
Vậy nguyên.
b) Giả sử và đều là các số nguyên tố. Chứng minh cũng là một số nguyên tố.
	Với : (ktm)
	Với : , (TM)
	Với : (KTM)
	Vậy p = 3.
 (6 điểm). Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) .
Lời giải
a) .
.
.
.
.
.
b) 
Ta có: .
.
.
 Vậy 
c) 
.
Đặt , phương trình trở thành:
.
Vậy pt có tập nghiệm .
(4 điểm)
a.	Cho . Chứng minh rằng: 
b.	Cho ba số dương , , thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
a) Cho . Chứng minh rằng: 
	Ta có: 
Với :
	 (luôn đúng)
Tương tự:
Với (luôn đúng)
Với (luôn đúng)
b)	
Tương tự: 
Từ , và 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy khi 
(6 điểm) Cho tam giác nhọn, có các đường cao cắt nhau tại .Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các đường thẳng . Chứng minh rằng
	a) .
	b) .
	c) Trong các tam giác có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng diện tích tam giác . 
Lời giải
a) Tam giác vuông và tam giác vuông có góc chung nên đồng dạng với nhau.
 (1)
Tam giác vuông và tam giác vuông có góc chung nên đồng dạng với nhau.
 (1)
Từ (1) và (2) suy ra: (3)
Mặt khác dễ thấy tam giác vuông và tam giác vuông đồng dạng (góc chung)
 (4)
Chứng minh tương tự ta có tam giác đồng dạng với tam giác 
 (5)
Từ (4) và (5) suy ra: (6)
Từ (3) và (6) suy ra (đpcm).
b) Ta có (hai góc so le trong) (1)
Tứ giác có mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác là tứ giác nội tiếp (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ) (2)
Chứng minh tương tự ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra mà 2 góc này ở vị trí so le trong 
Suy ra (đpcm).
c) Đặt , , , , , , ; ; 
Khi đó: , , 
Giả sử không có tam giác nào có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng diện tích tam giác 
Nghĩa là . Suy ra 
Ta có 
Do đó 
Theo bđt Cauchy ta có: 
 và 
Do đó hay (mâu thuẫn gt)
Suy ra đpcm.
 (1 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn thì diện tích tam giác nhỏ hơn .
Lời giải
Kẻ 
Ta có , , 
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông .
Ta có:
Mà 
Vậy tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn 
–HẾT—