Đề chọn học sinh giỏi huyện vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Quý Hợp (Có đáp án)

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9

(4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn 
Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Giải các phương trình sau :
Câu 3. ( 6,0 điểm)
a. Xác định đa thức bậc bốn biết: và với .
b. Tìm nguyên dương thỏa mãn 
c. Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
Câu 4.
1. Cho tam giác vuông tại , vuông góc với , là đường phân giác. Gọi , là đường phân giác của tam giác , .
a. Chứng minh và .
b. Gọilà đường phân giác của tam giác , . Chứng minh rằng: .
2. Cho tam giác đều , đường cao . Lấy điểm nằm giữa và , vẽ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Tìm vị trí của điểm trên để diện tích lớn nhất. 
Câu 5. ( 1,0 điểm)
 Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá.
–HẾT—

ĐÁP ÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỲ HỢP VÒNG 1
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9

Rút gọn biểu thức
Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn 
Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
Ta có: 
 (vì )
Cho biểu thức 
Để biểu thức có nghĩa 
Vậy thì có nghĩa
Rút gọn: 
Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Ta có: với 
Đề nguyên nguyên, vì nên 
vì 
 thoả mãn
Vậy thì nguyên.
Giải các phương trình sau :
Lời giải
ĐKXĐ: 
Phương trình 
Vì 
Dấu xảy ra khi 
Vậy 
Lời giải:
Ta có: và 
Đặt ĐK: 
Phương trình có dạng 
 vì 
Với mà 
Ta có phương trình: 
Xét vế trái: 
Và vế phải: 
Dấu xảy ra khi (thoả mãn)
Vậy phương trình có nghiệm 
	Câu 3. 	( 6,0 điểm)
a. Xác định đa thức bậc bốn biết: và với 
.
b. Tìm nguyên dương thỏa mãn 
c. Cho các số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
a) Gọi đa thức bậc bốn có dạng: 
Ta có: 
Mà 
.
b) 
Do 
Nếu 
Tương tự nếu thì 
Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn .
c) Đặt 
Ta có: , , 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số :
Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4.
1. Cho tam giác vuông tại , vuông góc với , là đường phân giác. Gọi , là đường phân giác của tam giác , .
a. Chứng minh và .
b. Gọilà đường phân giác của tam giác , . Chứng minh rằng: .
2. Cho tam giác đều , đường cao . Lấy điểm nằm giữa và , vẽ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Tìm vị trí của điểm trên để diện tích lớn nhất. 
Lời giải
a) Chứng minh 
Áp dụng tính chất tia phân giác tương ứng của tam giác ta có 
 (1)
Xét có 
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Theo định lí Ta-lét đảo ta có .
*Chứng minh 
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có 
Tứ giác có nên là hình bình hành.
Lại có là phân giác nên là hình thoi. Hơn nữa, khi đó là hình vuông. Vậy (ĐPCM).
b) Chứng minh 
Ta có và (góc ngoài)
Mà do đó cân ở . Tương tự .
Khi đó 
Suy ra
Vậy .
2) 
Đặt . Nhận xét là các đại lượng không đổi.
Ta có (1)
Hơn nữa (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Hạ , ta có 
Mà và 
Do đó 
Áp dụng bất đẳng thức 
Khi đó (không đổi)
Dấu ‘’=’’ xảy ra là trung điểm của .
Vậy giá trị lớn nhất của là (đvdt) khi là trung điểm của .
	Câu 5. Bảy người câu được con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn con cá. 
Lời giải
Cách 1:
Gọi là số con cá mỗi người câu được.
Giả sử .
Trường hợp 1: . 
Khi đó, . Suy ra .
Trường hợp 2: . 
Khi đó, .
Vậy, .
Cách 2:
Ta sắp xếp các người câu cá theo thứ tự để số cá câu được của họ giảm dần. Như thế người thứ nhất câu được nhiều cá nhất và người thứ bảy câu được ít cá nhất.
Nếu người thứ tư câu được không ít hơn 15 con cá, thì ba người đầu câu được không ít hơn  con cá.
Nếu người thứ tư câu được 14 con cá hoặc ít hơn thì cả bốn người sau câu được không quá  con. Như vậy ba người đầu câu được không ít hơn 50 con.
Vậy ba người đầu luôn câu được tổng cộng không dưới 50 con cá.