Đề chọn học sinh giỏi lớp 8 vòng 2 năm học 2013 – 2014 Trường THCS P. Bình Định

Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
 NĂM HỌC 2013 – 2014
 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
 và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = 
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
	 M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)	
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600
----- Hết -----




Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
 NĂM HỌC 2013 – 2014
 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
 và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = 
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
	 M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)	
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600
----- Hết -----

HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II
NĂM HỌC 2013 – 2014 


Bài 1: (2,0điểm) x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ)
	 = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ)
	 = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ)
	 = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] (0,5 đ)
	 = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ)

Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
	 Û a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0 (0,5 đ)
	 Û (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0 (0,5 đ)
 	 Û (0,5 đ)
 	Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d (0,5 đ)

Bài 3: (1,5điểm) 
Ta có: M = 
M = (0,5 đ)
M = (0,5 đ)
M = (0,25 đ)
M = –3 (0,25 đ)

Bài 4: (2,0điểm) 
	 M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 
	 M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ)
 Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ)
	 M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ)
 M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ)
 M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ)
 
Bài 5: (2,5điểm) 	





 a) Tứ giác ADME có:
	AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và = 900 (gt)
 tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ)
 DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ)
Þ DE ngắn nhất Û AM ngắn nhất. Mà AM ngắn nhất khi AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ)
Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC (0,25 đ)
Xét ∆ ABM vuông tại M có = 600
 ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ)
 BM = = 2(cm)
 AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ)
 AM = cm
 Vậy AM ngắn nhất bằng cm DE ngắn nhất bằng cm (0,5 đ)

----- Hết -----


Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.
 Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.
ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút
Bài 1:( 4 điểm)
 Cho biểu thức M = :
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi = 
Bài 2:(4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 – 5x2 + 8x – 4 
b) 
c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
d )(x2+x+1)(x2+x + 2 ) –12
Baøi 3 : (4ñieåm ) 
a)Cho hai soá thöïc x, y thoaû maõn vaø .
 Tính giaù trò bieåu thöùc P = .
b) Chöùng minh raèng :Neáu vaø a + b + c = abc thì 
Bài 5) (6 điểm)
 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Chứng minh DE + DF = 2AM
 b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm 
 của EF 
 c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
 Bài 6) ( 2 điểm)
 Chứng minh với mọi số a, b, c khác 0.

Đáp án và biểu điểm
Bài 1: 
a) Rút gọn M
M=:=:

 M = = ( 2 điểm)

b)Tính giá trị của M khi = 
 = x = hoặc x = - 
Với x = ta có : M ===
Với x = - ta có : M === ( 2 điểm)
Bài 2:
a) ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) 
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 1 điểm)
b) = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm)
c) Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)
d) ñaët y= x2 +x +1 suy ra x2 + x+ 2= y+1 . ta ñöôïc :M =y(y+1) – 12 
 =y2+y –12 =y2-3y +4y –12
 =(y-3)(y +4)	 
Thay y =x2 +x +1 .Ta ñöôïc :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5) 
 =(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1ñiểm)
Bài 3:
a) Ta coù: => => 
 vaø .=> => 
Suy ra: => ( 2 điểm )
b) Ta coù : 
 
ù 
Vì a+b+c = abc neân ta coù : ( 2 điểm)
 Bài 5 :
a : Lý luận được : ( Do AM//DF) (1) 
 ( Do AM // DE) (2) 
 Từ (1) và (2) ( MB = MC) DE + DF = 2 AM ( 2,25điểm)
b: AMDN là hình bành hành 
 Ta có 
 => NE = NF ( 2.25 điểm)
c: AMC và FDC đồng dạng 
 
 FNA và FDC đồng dạng 
 
 và 
 . S2FDC 16 SAMC.SFNA ( Do với x 0; y 0) ( 1.5 điểm)


Bài 6: 
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:

Tương tự: và 
Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)

Câu 1. Chứng minh rằng:
a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Câu 2. Cho biểu thức B = với x khác -1 và 1.
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của biểu thức B tại x .
c) Tìm giá trị của x để B < 0.
Câu 3.
a) Giải phương trình : (x2 - 5x + 6)3 + (1 - x2)3 = (7 - 5x)3 .
b) Cho và . Chứng minh rằng : .
Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện :
x + y + z > 11 và 8x + 9y + 10z = 100

-------------- Hết --------------

Lưu ý: Thí sinh thi môn Toán không được sử dụng máy tính cầm tay. 








PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU 8 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Câu 1: (4 điểm) 
a. (2,0)
Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3.	 0,25
 Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)=
 = (a + b)	 0,5	
 Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3;
 Do vậy (a + b) chia hết cho 9
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
b. (2,0)
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n N). 
Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,5
Câu 2 ( 4,0 điểm ) . 
a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì:
 A = 
 =
 = 


0,5


1,0

0,5
b, (1 điểm) Tại x = = thỡ A = 
0,25
= 
0,75
c, (1 điểm) Với x khác -1 và 1 thì B < 0 khi và chỉ khi (1)
0,25
Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL: B 1
0,5
0,25
Câu 3: (4,0 điểm)
a.
(2,0)
Đặt x2 - 5x + 6 = a, 1 - x2 = b thì a + b = 7 - 5x
 Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3 	
 Biến đổi thành ab(a + b) = 0 
 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0	
Từ đó tìm được S = 	
0,5


0,5
1,0



b (2,0)








Từ : 
ayz + bxz + cxy = 0
 Ta có : 


 



0,5


0,5


0,5



0,5
Câu 4. (6,0 điểm): 

A
B
C
D
O
M
P
I
E

F
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 







0,25
a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. 
PO là đường trung bình của tam giác CAM (... )
 AM//PO
 Tứ giác AMDB là hình thang. 



1,0
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 
 Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 






1,75
c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên => không đổi. 

1,0
d) Nếu thì 
Nếu thì CBD ~ DCP (g-g) => 
do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = 5 (cm)
 C/m BC2 = BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm); CD = 3 (cm) 






2,0
Câu 5. (2,0 điểm)
 Ta có: 8x + 8y + 8z x + y + z < < 13 
cùng với giả thiết, có 11 x + y + z = 12
Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2). 
Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y + 2z = 4 (3)
Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn)
Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9. 
Thử lại, thấy đúng. Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn. 
0,5

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ UÔNG BÍ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ 
 NĂM HỌC 2012-2013

 Chữ kí giám thị 1
……………...
Chữ kí giám thị 2
……………..
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN: TOÁN
 Ngày thi: 24/4/2013
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Không kể thời gian giao đề)


Bµi 1: (3,0 ®iÓm) 
Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn abc =2013. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
 P = 
Bµi 2: (3,0 ®iÓm): 
Cho hai ®a thøc:
 P(x) = vµ Q(x) = 
 T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x).
Bµi 3: (6,0 ®iÓm): 
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: 
2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x - 

Bµi 4: (6,0 ®iÓm): 
Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a, ®iÓm N thuéc c¹nh AB. Tia CN c¾t tia DA t¹i E. Tia Cx vu«ng gãc víi tia CE c¾t tia AB t¹i F. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF.
Chøng minh CE = CF
Chøng minh ba ®iÓm M, B, D th¼ng hµng
§Æt BN = b. TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ACFE theo a vµ b.
Bµi 5: (2,0 ®iÓm): 
Cho x, y tho¶ m·n x2 + y2 = 1. 
 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x6 + y6

------------------ HÕt ----------------


Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: …………………





HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
BÀI
LỜI GIẢI SƠ LƯỢC
ĐIỂM
Bµi 1
(3 ®iÓm)
P = 
 = 


0,5 ®iÓm


Thay abc = 2013 vµo P ta cã: 
P = abc. 
1,0 ®iÓm

 = abc. 
0,5 ®iÓm

 = abc. 
0,5 ®iÓm

 = abc. = abc = 2013
0,5 ®iÓm
Bµi 2
(3 ®iÓm)
Ta cã: 

0,5 ®iÓm

§Æt 
Khi ®ã P(x) = (t – 2)(t + 6) + a = = P(t)
1,0 ®iÓm


Chia cho t ta ®­îc = 
0,5 ®iÓm

P(x) chia hÕt cho Q(x) chia hÕt cho t 
 a – 12 = 0 a = 12
0,75 ®iÓm

VËy víi a = 12 th× ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x).
0,25 ®iÓm
Bµi 3
(6 ®iÓm)
a. 2x2+2xy+y2+9 = 6x- 2x2+2xy+y2+9- 6x+=0
0,5 ®iÓm

(x2+2xy+y2) + (x2- 6x+9) + = 0 
0,5 ®iÓm

(x+y)2 + (x-3)2 + = 0 (1)
0,5 ®iÓm

V× (x+y)2 ≥ 0, (x-3)2 ≥ 0, ≥ 0 víi mäi x, y nªn 
0,5 ®iÓm

 (x+y)2 + (x-3)2 + ≥ 0 víi mäi x, y
0,75 ®iÓm

 VËy (1) 
0,25 ®iÓm

KÕt luËn nghiÖm


b. §Æt 
0,25 ®iÓm


 Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
 
1,25 ®iÓm


 Khi ®ã ta cã: 

1,25 ®iÓm

KÕt luËn nghiÖm
0,25 ®iÓm
Bµi 4
(6 ®iÓm)



a. Chøng minh CE = CF
2 ®iÓm

b. V× M lµ trung ®iÓm cña EF nªn
 ME = MF = MC = MA= MA = MC. 
1,0 ®iÓm

 M thuéc ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AC
Mµ ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BD lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AC
 M thuéc ®­êng th¼ng BD hay 3 ®iÓm M, B, D th¼ng hµng
1,0 ®iÓm

c. Ta cã BN = b AN = a - b
 SACFE = SACE + SECF = 
0,5 ®iÓm

TÝnh AE: Ta cã 
0,5 ®iÓm

Ta cã CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 + 
0,5 ®iÓm

 TÝnh ®­îc SACFE = 
0,5 ®iÓm
Bµi 5
(2 ®iÓm)
Ta cã A = x6 + y6 = = (x2+y2)(x4+y4- x2y2)
 = x4+y4- x2y2 (V× x2 + y2 = 1)
 = (x2+y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
0,75 ®iÓm

V× x2y2 ≥ 0 víi mäi x, y nªn 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 víi mäi x, y
Hay A ≤ 1
0,25 ®iÓm

 max A = 1 x2y2 = 0 (1)
Mµ x2 + y2 = 1 nªn (1) 
0,25 ®iÓm


0,5 ®iÓm


VËy max Q = 1 x = 0 ; y = hoÆc x = ; y = 0
0,25 ®iÓm
Các chú ý khi chấm.

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được cho điểm tối đa. 
 2. Với các cách giải đúng nhưng khác hướng dẫn chấm, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
 3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm.
	

SO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
TINH YEN BAI NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC

 

 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm) 
 a) Tìm giá trị của a để (21x2 - 9x3 + x + x4 + a) ( x2 - x - 2)
 b) Chứng minh rằng n4 - 2n3 - n2 + 2n chia hết cho 24 với mọi n Z
 
Bài 2: (2,0 điểm) 
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Cho , (với x0, y 0, z 0)
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 3: (2,5 điểm)
 Cho biểu thức A = 
Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A.
Tìm x để A = -1
Tìm các giá trị của x để A < 0

Bài 4: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kề (hai cạnh kề và đường chéo cùng qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy.

Bài 5: (2,0 điểm)

 Gọi M là điểm nằm trong xOy = m0 (0< m < 90). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox , Oy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM, PQ. 

Chứng minh: HKPQ
Tính số đo góc HPQ theo m.

HẾT








PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
 QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2011-2012

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài
Câu
Nội dung
Điểm
Bài 1
2,0đ
Câu a
0,75đ
Thực hiện phép chia tìm đúng thương: x2 – 8x + 15
0,25đ


và dư: a + 30
0,25đ


Phép chia hết nên a + 30 = 0 suy ra a = -30
0,25đ

Câu b
1,25đ
n4 - 2n3 - n2 + 2n = n(n3 -2n2 - n + 2) 
0,25đ


= n{n2(n – 2) - (n -2)} 
0,25đ


n(n2 – 1)(n – 2) = n(n – 1)(n +1)(n – 2) 
0,25đ


n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 
0,25đ


nên n(n – 1)(n +1)(n – 2) 2.3.4 = 24 
Kết luận n4 - 2n3 - n2 + 2n 24
0,25đ
Bài 2
2,0đ
Câu a
1,0đ
(a + b + c)3 = (a + b )3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 
0,25đ


=(a+b)3 3(a+b)c.(a+b+c) + c2 = (a+b)3 + c2
0,25đ


a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)
a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) ( do a + b + c = 0 nên a + b = -c)
0,25đ


a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = 0 suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc 
0,25đ

Câu b
1,0đ
Với a = ; b = ; c = . 
Áp dụng kết quả câu a ta có 
0,50đ


 = 
0,25đ


= xyz. = 3
0,25đ
Bài 3
2,5đ
Câu a
1,25đ
Điều kiện xác định x 0 ; x 2 .
0,25đ


A = =
0,50đ


=
0,25đ


= = 
0,25đ

Câu b
0,75đ
A =-1 = -14x2 = -x+3 4x2 + x – 3 = 0 
0,25đ


x2 + x + 3x2 -3 = 0 (x+1)(4x-3) = 0 
0,25đ


x= -1 ; x = 3/4
0,25đ

Câu c
0,50đ 
A 0 ) 
0,25đ


Kết luận: Vậy x < 3 ; x 0 ; x 2 thì A < 0
0,25đ
Bài 4
1,5đ


A
B
C
D
P
K
N
H
M













Kẻ PHAD; PKCD; PM // CD; PN // AD. 



Chứng minh HMP KNP (g-g) 
0,50đ


 (Do PMDN là hình bình hành) 
0,25đ


Chứng minh DNP DCB (g-g) 
0,25đ


 PH.BC = PK.DC
0,25đ


 PH.AD = PK.DC Điều phải chứng minh
0,25đ
Bài 5
2,0đ


O
Q
M
P
x
K
H
y












Câu a
1,0đ
MPO vuông tại P, đường trung tuyến PH = .OM
0,25đ


MQO vuông tại Q, đường trung tuyến QH = .OM
0,25đ


PH = QH HPQ cân tại H
0,25đ


HK PQ
0,25đ

Câu b
1,0đ
MHQ = 2. MOQ
0,25đ


MHP = 2.MOP 
0,25đ


PHQ = 2. POQ = 2.m0
0,25đ


PHK = m0HPQ = 900- m0 
0,25đ

Chú ý: 
-Trên đây là sơ lược hướng dẫn chấm trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chi tiết đáp án và chia nhỏ điểm đến 0,25đ.
- Học sinh có cách giải khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần ấy.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2009 – 2010
Môn : Tóan
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )


Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )

Câu 2 : ( 4 điểm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác .

Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : 
P = 
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .

Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0


Câu 5 : ( 3điểm) 
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)

Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .


------------- Hết ----------



ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học : 2008 – 2009
Môn : Tóan

Câu 1 : ( 2 điểm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
= ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ đ )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ ) 
Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )

Câu 2 : ( 4 điểm )
Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2	
= x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2đ )
= x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 đ )
Đồng nhất 2 vế ta có :

a = 9 + 2k (1) ( 1/2đ )
b = - 6k (2) 
1 = k2 (3)

Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 đ )
Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2	 ( ½ đ )
Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 ( ½ đ )

Câu 3 : ( 4 điểm )
a) p = 
= ( ½ đ )
b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định ( 1/4 đ )
/x/ = nên x = hoặc x = - ( 1/4 đ )
+ Nếu x = thì p = ( ½ đ )
+ Nếu x = - thì p = ( ½ đ )
c) Với p = 7 thì Þ x = ( thỏa mãn điều kiện của x ) ( ½ đ )
d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . ( ½ đ )
Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; ( ½ đ )
Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ; ( ½ đ )

Câu 4 : ( 3 điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1
Þ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ đ )
Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ đ )
Û 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 đ )
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có :
 abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 đ )
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac =
 ( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 đ )
 ( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 = 1 ) ( 1/2 đ )
Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 ( 1/2 đ )

Câu 5 : ( 3điểm ) 

 A
 M
 K

 G

 B C
 N

ta có : ( ¼ đ )
Do MN // AC nên ( ¼ đ )
Mà ( ¼ đ )
vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 đ )
Do đó : Þ AC = 27 (cm) ( 3/4 đ )
Ta lại có : (cm) ( 3/4đ )

Câu 6 : ( 4 điểm ) A

 Q
	( 1/2 đ ) 
 p H
 N
 
 B M C

Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB . 
Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 600

Þ ANQ = 300	 ( 1/2 đ )
Þ AQ = AN ( 1/2 đ )
Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB = BM ( 1/2 đ )
Do đó : AQ + pB = (AN + NC ) = ( 1/2 đ )
Kẻ MH ^ QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 đ ) 
Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - ( 1/2 đ )
Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng AB . ( 1/4 đ )
 Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 đ ) 
Đề thi hsg lớp 8 SỐ 1

MÔN TOÁN
 Thời gian: 120 phút
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25 
b) 
c) 4x – 12.2x + 32 = 0 
 
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) Tính tổng 
b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?







ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
 
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: ( 0,25điểm )

Tính đúng a = 1 ( 0,5 điểm )

Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 
 với k, mN, 
 (0,25điểm)

 Ta có: 
 



 
 (0,25điểm)
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 

hoặc 
 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 

hoặc 



 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) 
 

Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, abi, aic:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 
 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 


	 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều

Kết luận đúng (0,25điểm) 


 *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó

Đề thi hsg lớp 8 SỐ 2
MÔN TOÁN
 Thời gian: 120 phút

Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.


Bài 2 (3 điểm)
	Cho .
 Chứng minh rằng .

Bài 3 (3 điểm)
	Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 4 (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 5 (3 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
 Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
 

Đáp án
Bài 1( 4 điểm ) 
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
 A= 
0,5đ
 =
0,5đ
 = 
0,5đ
 = 
KL 
0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = = thì A = 
0,25đ
= 
0,25đ
 
KL
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1)
0,25đ
Vì với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 
KL
0,5đ
0,25đ

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 
0,5đ
Biến đổi để có 
0,5đ
Biến đổi để có (*)
0,5đ
Vì ;;; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ; và ;
0,5đ
0,5đ
Từ đó suy ra a = b = c
0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 
(x khác -15)
0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
1đ
Từ đó tìm được phân số 
KL
0,5đ

Bài 4 (2 điểm)
Biến đổi để có A=
0,5đ
=
0,5đ
Vì và nên do đó 
0,5đ
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
0,25đ
KL
0,25đ


Bài 5 (3 điểm)








a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy