Đề chọn học sinh giỏi Lớp 9 cấp huyện môn Toán - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Chư Sê (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 12/11/2020
(5.0 điểm) 
a) Tính giá trị biểu thức với .
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
(5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn dưới dạng với là các số hữu tỉ và dương.
b) Xét các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
(3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn đường cao là trực tâm của tam giác. Gọi là một điểm trên sao cho theo thứ tự là diện tích các tam giác và 
a) Chứng minh: 
b) Chứng minh: .
(4.0 điểm)
Cho tam giác vuông cân tại , trên cạnh lấy một điểm bất kỳ ( không trùng với và ). Từ kẻ vuông góc tại vuông góc tại .
a) Chứng minh rằng khi di chuyển trên cạnh thì đường thẳng qua và vuông góc với luôn đi qua một điểm cố định .
b) Xác định vị trí của điểm trên cạnh để diện tích tam giác có giá trị nhỏ nhất.
(3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
–HẾT—

HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 12/11/2020
(5.0 điểm) 
a) Tính giá trị biểu thức với .
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn .
Lời giải
Ta có: .
Áp dụng hằng đẳng thức trên ta có:
Khi đó ta có: .
Ta có:
Do là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là 
(5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn dưới dạng với là các số hữu tỉ và dương.
b) Xét các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Lời giải
Giả sử .
+ Nếu là số chính phương hoặc là số hữu tỉ có dạng 
 với mọi số là số hữu tỉ. 
Điều này vô lý vì là số vô tỉ.
+ Nếu không là số chính phương hoặc không là số hữu tỉ có dạng .
 là số vô tỉ vô lý vì là số hữu tỉ với mọi số .
Vậy không thể biểu diễn dưới dạng với là các số hữu tỉ và dương.
b) Với ba số dương xét biếu thức:
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho hai bộ ba số và
 ta có:
.
. (đpcm)
(3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn đường cao là trực tâm của tam giác. Gọi là một điểm trên sao cho theo thứ tự là diện tích các tam giác và 
a) Chứng minh: 
b) Chứng minh: .
Lời giải

a) Xét và co:
 (cùng phụ với 
 (1)

b) Lại có: vuông ở có đường cao 
 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2) 
Từ (1) và .
Suy ra (3) 
Thay (3) vào (*) ta dưọc:
(4.0 điểm)
Cho tam giác vuông cân tại , trên cạnh lấy một điểm bất kỳ ( không trùng với và ). Từ kẻ vuông góc tại vuông góc tại .
a) Chứng minh rằng khi di chuyển trên cạnh thì đường thẳng qua và vuông góc với luôn đi qua một điểm có định .
b) Xác định vị trí của điểm trên cạnh để diện tích tam giác có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Kẻ .
Gọi là điểm sao cho tứ giác là hình vuông. 
 cắt tại . cắt tại . 
Xét vuông tại có .
 vuông cân tại 

Tứ giác có và là hình vuông.
.
.
Xét và có:
 (hai góc tương ứng) 
Mà .
Lại có (hai góc so le trong) nên ta có:
 vuông tại hay .
Mà thẳng hàng.
Vây luôn đi qua một điểm cố định.
Đặt (Với )
Ta có: .
 đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất. 
Ta có: 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là .
Khi đó là trung điểm canh .
(3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.
Lời giải
Ta xếp các đoạn thẳng có độ dài tăng dần . Nếu tồn tại ba đoạn thẳng thỏa mãn thì ba đọan thẳng này có thể lập thành một tam giác.
Giả sử ngược lại:
Khi đó theo giả thiết:
.
 Mâu thuẫn với giả thiết cho dộ dài mỗi đoạn thẳng nhỏ hơn 100. 
Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng mà . Do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để có thể ghép thành tam giác.
– HẾT —