Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

UBND HUYỆN GIA LÂM
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. 
MÔN: TOÁN
(2.0 điểm). Cho đa thức trong đó . Biết rằng khi chia đa thức cho đa thức thì được dư là 5, còn chia đa thức cho đa thức thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức .
(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) .	b) .
(2.0 điểm). Cho với .
Tính .
(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên , biết
.
(2.0 điểm). Cho các số và là các số nguyên tố. Chứng minh rằng cũng là số nguyên tố.
(2.0 điểm) Cho là một điểm nằm trong hình chữ nhật sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng .
(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn. 
((2.0 điểm) Cho , trong đó và .
Hãy biểu diễn theo 
(2.0 điểm) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
(2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ hoặc là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
–HẾT—
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
UBND HUYỆN GIA LÂM
NĂM HỌC 2020-2021. 
MÔN: TOÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
(2.0 điểm). Cho đa thức trong đó . Biết rằng khi chia đa thức cho đa thức thì được dư là 5, còn chia đa thức cho đa thức thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Gọi thương trong phép chia đa thức cho đa thức và lần lượt là và 
Theo đề ra ta có 
do với mọi nên:
- Thay vào ta có: 
- Thay vào ta có: 
Từ và suy ra 
.
(2.0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) .	b) .
Lời giải
a) Điều kiện: 
Ta có: 
 (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
b) ĐK: 
Ta có: 
 (phương trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
(2.0 điểm). Cho với .
Tính .
Lời giải
Vậy .
(2.0 điểm). Tìm số tự nhiên , biết
.
Lời giải
Ta thấy 
Áp dụng với ta có:
Khi đó phương trình đã cho 
Vậy .
(2.0 điểm). Cho các số và là các số nguyên tố. Chứng minh rằng cũng là số nguyên tố.
Lời giải
- Xét thì (loại). Vì không là số nguyên tố.
- Xét thì (nhận). Vì là số nguyên tố.
Suy ra, (nhận). Vì là số nguyên tố.
- Xét .
Vì là số nguyên tố nên không chia hết cho (1).
Mà suy ra là số chính phương (2).
Từ (1), (2) suy ra chia cho dư .
 chia hết cho 3. (3)
Mặt khác, (4)
Từ (3), (4) suy ra là hợp số (trái với đề bài).
Vậy thỏa mãn bài toán.
(2.0 điểm) Cho là một điểm nằm trong hình chữ nhật sao cho . Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
Qua kẻ đường thẳng 
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có:
Ta chứng minh được 
.
(2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn.
Lời giải
Gọi số bác sỹ là (người) 
Nhiệt độ trung bình của các bác sỹ là (độ)
Số bệnh nhân là (người) 
Nhiệt độ trung bình của bệnh nhân là (độ) 
Theo đề bài ta có:
Mà khác nên 
Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau.
(2.0 điểm) Cho , trong đó và .
Hãy biểu diễn theo 
Lời giải
Vẽ tam giác vuông tại có 
Khi đó số đo góc chính là số đo 
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ta có: 

Khi đó ta có 
(2.0 điểm) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi .
Tương tự ta có: 
Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy .
(2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ hoặc là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ.
Lời giải
Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho hoặc chia cho dư .
Xét tập thỏa yêu cầu.
Nếu là các số lẻ thì , và .
	Khi đó .
	Suy ra là số chẵn (mâu thuẫn với lẻ).
Nếu là các số lẻ và chẵn thì , .
	 Khi đó .
	Suy ra là số chẵn (mâu thuẫn với lẻ).