Đề cương ôn tập Chương I Giải tich 11 chuẩn

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LỚP 11 CHUẨN
A . PHẦN ĐẠI SỐ :
Ch­¬ng I: Hµm sè l­îng gi¸c
I. Hµm sè l­îng gi¸c:
C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n
1. D¹ng 1: T×m TX§ cña hµm sè l­îng gi¸c
* Ph­¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt: 
	- C¸c hµm sè x¸c ®Þnh víi mäi 
	- Hµm sè: x¸c ®Þnh víi mäi 
	- Hµm sè: x¸c ®Þnh víi mäi 
VÝ dô: T×m TX§ cña hµm sè: 
VÝ dô 2: T×m TX§ cña hµm sè: 
Bµi 1: T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè sau:
	1) 	2) 	3) 	
	4) 	5) 	6) 
2.D¹ng 2: XÐt tÝnh ch½n lÎ cña hµm sè:
§Þnh nghÜa: Cho hµm sè cã TXD lµ: D
	* Hµm sè ch½n 
	* Hµm sè lÎ 
* Ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
	B­íc 1: T×m TX§ D cña hµm sè
NÕu D kh«ng lµ tËp ®èi xøng th× ta kÕt luËn ngay hµm sè kh«ng ch½n, kh«ng lÎ.
NÕu D lµ tËp ®èi xøng ta thùc hiÖn tiÕp b­íc 2:
B­íc 2: Víi mäi , nÕu
NÕu th× hµm sè lµ hµm ch½n.
NÕu th× hµm sè lµ hµm lÎ.
NÕu th× hµm sè lµ hµm kh«ng ch½n, kh«ng lÎ.
L­u ý tÝnh chÊt:
	* 
	* 
	* 
	* 
VÝ dô: XÐt tÝnh ch½n lÎ cña hµm sè: 
	VËy hµm sè lµ hµm sè lÎ.
Bµi 2: XÐt tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè sau:
	1) 	2) 	3) 	
	4) 	5) 	6) 
3. D¹ng 3: T×m chu k× cña hµm sè l­îng gi¸c:
* Ph­¬ng ph¸p gi¶i: Khi t×m chu k× cña hµm sè l­îng gi¸c, ta cÇn biÕn ®æi biÓu thøc cña hµm sè ®· cho vÒ mét biÓu thøc tèi gi¶n vµ l­u ý r»ng:
	1) Hµm sè cã chu k× 
	2) Hµm sè cã chu k× .
	3) Hµm sè víi cã chu k× 
	4) Hµm sè víi cã chu k× 
	5) Hµm sè cã chu k× , hµm sè cã chu k× th× hµm sè cã chu k× 
VÝ dô: T×m chu k× cña hµm sè 
Bµi 3: T×m chu k× cña c¸c hµm sè sau:
	1) 	2) 
* D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè:
	Ph­¬ng ph¸p: Dùa vµo TGT cña c¸c hµm sè l­îng gi¸c
	Chó ý: * Hµm sè cã TGT lµ: 
	* Hµm sè cã TGT lµ: 
VÝ dô: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè: 
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:	
	1) 	2) 
	3) 	3) 	5) 
II. Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c
1. Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n
	* D¹ng 1: nghiÖm tæng qu¸t: 
	§Æc biÖt: 
	Tæng qu¸t: 
	* D¹ng 2: nghiÖm tæng qu¸t: 
	§Æc biÖt: 
	Tæng qu¸t: 
	* D¹ng 3: nghiÖm tæng qu¸t: 
	§Æc biÖt: 
	Tæng qu¸t: 
	* D¹ng 4: nghiÖm tæng qu¸t: 
	§Æc biÖt: 
	Tæng qu¸t: 
VÝ dô minh ho¹: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 	2) 	3) 
	4) 	5) 	6) 
Bµi tËp t­¬ng tù: gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 	2) 	3) 
	4) 	5) 	6) 
2. Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c.
* §Þnh nghÜa: Lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng trong ®ã t lµ mét trong bèn hµm sè l­îng gi¸c: 
* C¸ch gi¶i:
	B­íc 1: §Æt t b»ng hµm sè l­îng gi¸c cã trong ph­¬ng tr×nh;
	B­íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn víi Èn phô t;
	B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh t×m t (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn);
	B­íc 4: Víi mçi t tho¶ m·n ta cã ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n Þ nghiÖm x
VÝ dô minh ho¹: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
(Chó ý: ta cã thÓ kh«ng cÇn ®Æt Èn phô mµ coi hµm sè l­îng gi¸c nh­ lµ mét Èn nh­ vÝ dô nµy)
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
	1) 	2) 
Bµi 2: (C¸c ph­¬ng tr×nh ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai). Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 
3. Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin x vµ cos x:
* D¹ng ph­¬ng tr×nh: 	(*)
* C¸ch gi¶i:
	C¸ch 1:
	Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: 
	(**)
	V×: 
	Nªn ta ®Æt 
	Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (**) trë thµnh: 
	 lµ ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c c¬ b¶n ®· biÕt c¸ch gi¶i!
Chó ý: §iÒu kiÖn ®Ò ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 
C¸ch 2: Chia hai vÕ cho a vµ ®Æt (Tù lµm)
C¸ch 3: Sö dông c«ng thøc tÝnh theo (tù lµm)
VÝ dô: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 	2) 
Bµi tËp tù gi¶i: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
4. Ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®èi víi sin x vµ cos x:
* D¹ng ph­¬ng tr×nh: 	(*)
* C¸ch gi¶i:
	C¸ch 1:
	B­íc 1: NhËn xÐt hay kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh;
	B­íc 2: Chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ta ®­îc ph­¬ng tr×nh”
	B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.
	C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sin 2x vµ cos 2x. (Häc sinh tù gi¶i c¸ch nµy)
Chó ý: NÕu ph­¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t: 
	(**)
	Ta biÕn ®æi nh­ sau: (**)
	. 
§©y lµ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng (*)
VÝ dô: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh:
	1) 
	2) 
Bµi tËp : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
	1) 4) 
	2) 5) 
	3) 
	5. Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
* D¹ng ph­¬ng tr×nh: 
* C¸ch gi¶i:
	§Æt ; ®iÒu kiÖn: 
	Ph­¬ng tr×nh trë thµnh: 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn t×m t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn, víi mçi t ta cã ph­¬ng tr×nh :
	 ®· biÕt c¸ch gi¶i
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
Bµi tËp tù gi¶i:
	1) 
	2) 
6. Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
* D¹ng ph­¬ng tr×nh: 
* C¸ch gi¶i:
	§Æt ; ®iÒu kiÖn: 
	Ph­¬ng tr×nh trë thµnh: 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn t×m t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn, víi mçi t ta cã ph­¬ng tr×nh :
	 ®· biÕt c¸ch gi¶i
Bµi tËp tù gi¶i: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
1) 	 4) 
2) 	 6) 
3) 7) 
Bµi tËp ®¹i sè tæ hîp
I, Quy t¾c céng: 
1, NÕu cã 8 ®Çu s¸ch To¸n vµ 5 ®Çu s¸ch Lý hái häc sinh cã bao nhiªu c¸ch m­în mét quyÓn s¸ch tõ th­ viÖn.
2, Qu¸n T¶n §µ cã 4 mãn bß: nhóng dÊm, lóc l¾c, n­íng mì chµi, n­íng l¸ c¸ch cã 3 mãn gµ:xèi mì, quay tø xuyªn, rót x­¬ng vµ 2 mãn cua : rang muèi , rang me. Hái nhµ v¨n V­¬ng Hµ cã mÊy c¸ch gäi mãn lai rai.
II, Quy t¾c nh©n.
1, Mét bÐ cã thÓ mang hä cha lµ Lª hay hä mÑ lµ §ç, ch÷ ®Öm cã thÓ lµ V¨n, H÷u, Hång, BÝch, hoÆc §×nh, Cßn tªn cã thÓ lµ: Nh©n, NghÜa, TRÝ, §øc, Ngäc hoÆc Dòng. Hái cã bao nhiªu c¸ch ®Æt tªn cho bÐ.
2, Mét nhãm sinh viªn gåm n nam vµ n n÷. Cã bao nhiªu c¸ch xÕp thµnh mét hµng sao cho nam vµ n÷ ®øng xen nhau.
3, Cã bao nhiªu sè ch½n lín h¬n 5000 gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
4, Cã bao nhiªu sè cã thÓ lËp tõ c¸c ch÷ sè: 2, 4, 6, 8 nÕu
a, Sè ®ã n»m tõ 200 ®Õn 600
b, Sè ®ã gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau
c, Sè ®ã gåm 3 ch÷ sè.
III, Ho¸n vÞ 
1, Gi¶i pt: 
2, Gi¶i bÊt pt: 
3, LiÖt kª tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña {a,b,c}
4, Cã bao nhiªu ho¸n vÞ cña {a, b, c, d, e, f}
5, Cã bao nhiªu ho¸n vÞ cña {a, b, c, d, e, f} víi phÇn tö cuèi cïng lµ a.
6, Cã 6 øng cö viªn chøc thèng ®èc bang. TÝnh sè c¸ch in tªn øng cö viªn lªn phiÕu bÇu cö.
7, Cã bao nhiªu c¸ch x¾p xÕp 6 ng­êi ngåi xung quanh mét bµn trßn "hai c¸ch gäi lµ nh­ nhau nÕu c¸ch nµy xoay bµn ®i ta ®­îc c¸ch kia".
IV. ChØnh hîp:
1, TÝnh gi¸ trÞ: 
2, Gi¶i pt:
3, Gi¶i bÊt pt:
4, T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè: 
5, a, T×m x tho¶ m·n: 
 b, Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,5,7,8 lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªncã 3 ch÷ sè kh¸c nhau vµ nhá h¬n 276.
6, Cã bao nhiªu thø tù cã thÓ x¶y ra trong cuéc thi ch¹y gi÷a n¨m vËn ®éng viªn.
7, Bao nhiªu kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra ®èi víi c¸c vÞ trÝ thø nhÊt, thø nh×, ba trong cuéc ®ua cã 12 con ngùa.
8, Cã 100 vÐ ®¸nh sè tõ 1 tíi 100 ®­îc b¸n cho 100 ng­êi kh¸c nhau. Ng­êi ta sÏ trao 4 gi¶i th­ëng kÓ c¶ gi¶i ®éc ®¾c. Hái
a. Cã bao nhiªu c¸ch trao gi¶i th­ëng.
b. Cã bao nhiªu c¸ch trao gi¶i th­ëng, nÕu ng­êi gi÷ vÐ 47 tróng gi¶i ®éc ®¾c?
c. Cã bao nhiªu c¸ch trao gi¶i th­ëng, nÕu ng­êi gi÷ vÐ 47 tróng mét trong c¸c gi¶i?
d. Cã bao nhiªu c¸ch trao gi¶i th­ëng, nÕu ng­êi gi÷ vÐ 47 kh«ng tróng gi¶i?
V. Tæ hîp.
1. Cho tËp S = {1, 2, 3, 4, 5} 
a. LiÖt kª c¸c chØnh hîp chËp 3 cña S
	b. LiÖt kª c¸c tæ hîp chËp 3 cña S
2. TÝnh gi¸ trÞ: 
3. Chøng minh r»ng: 
4. CMR: 
5. CMR
6. Gi¶i pt:
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.
	Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A) với 
P(A) > 0 là 
	*Công thức cộng xác suất
	*Công thức nhân xác suất
	Mở rộng cho tích n biến cố:
	*Tính chất
	A, B độc lập 
	* Công thức Bernoulli:
	Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:
	+ Các phép thử của dãy độc lập với nhau. Nghĩa là, kết quả của phép thử sau không phụ thuộc vào các phép thử trước đó;
	+ Trong mỗi phép thử chỉ có hai biến cố A hoặc xảy ra;
	+ Xác suất để biến cố A xảy ra trong mọi phép thử của dãy là như nhau và P(A) = p với nên 
	Công thức: Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra k lần với xác suất mỗi lần A xảy ra là p. Được ký hiệu là gọi là công thức Bernoulli
2. Các ví dụ:
	2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi (không bỏ vào lại), rồi lần 2 một viên bi. Tính xác suất để lần 1 lấy một viên bi xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng.
	2.2 Ví dụ 2: Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
	2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe FORD”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.
	2.4 Ví dụ 4: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?
	2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) có 6 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi đỏ.
	2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viên và không trả lại,hãy tính:
	a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ.
	b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng.
Nhận xét:Trong bài toán nêu trên nếu ta gọi A là biến cố:viên bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là biến cố:viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ thì xác suất ở câu a là và xác suất ở câu b là 
 	2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiên một bi,rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”.
	2.8 Ví dụ 8: Một con súc sắc cân đối, đồng chất được gieo 4 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.
III.Bài tập đề nghị 
1)Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong đó có 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này.Tính xác suất để lấy được sản phẩm loại một.
2) Một lô hàng gồm 5 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm giả. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng. Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4.
3) Có hai hộp bút: hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất để có 1 bút xanh và 1 bút đỏ.
4) Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần.
5) Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen. Lấy liên tiếp 4 bi trong đó mỗi bi lấy ra đều hoàn lại trước khi lấy bi tiếp theo và các bi đều được trộn lại . Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng.
6) Xác suất xuất hiện biến cố A là 0,4. Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố xuất hiện không quá 3 lần.
7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân là 0,8. Có người nói rằng cứ 10 người đến chữa bệnh thì có chắc chắn 8 người khỏi bệnh. Điều đó có đúng không?
Nhị thức newton
Baøi 1: Tìm heä số cuûa x6 trong khai triển 
Baøi 2: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức 
Baøi 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + )
Baøi 4: Bieát heä soá cuûa trong khai trieån cuûa laø 90. Haõy tìm n.
B . PHẦN HÌNH HỌC :
PHEÙP BIEÁN HÌNH :
Baøi 1 :Trong mặt phẳng Oxy, cho M(1;- 2) và đường thẳng d có phương trình x-3y+5=0. Tìm ảnh của M và d
Qua phép tịnh tiến theo =(-2;1).
Qua phép đối xứng trục Ox.
Qua phép đối xứng tâm O.
Baøi 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-6x+6y-7=0
Tìm ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc quay 900?
Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng trục Oy ?
Baøi 3: Cho hình vuông ABCD, tâm O. Vẽ hình vuông AOBE
Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay tâm A góc quay -450 ?
Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm A góc quay -450 và phép vị tự tâm A tỉ số ?
Baøi 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho N(2;- 2) và đường thẳng d có phương trình -x+2y-2=0. Tìm ảnh của M và d
Qua phép tịnh tiến theo =(-2;1).
Qua phép quay tâm O góc quay 900.
Qua phép đối xứng tâm O.
Baøi 5:Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2+y2-4x+4y-1=0
Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy?
Tìm ảnh của (C) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép qua phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O tỉ số -2?
Baøi 6: Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O. Gọi E,F,G,H,I,J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, AD, AH, OG.
Tìm ảnh của hình thang AIOE qua phép tịnh tiến theo véctơ AO ?
Tìm ảnh của hình thang AIOE qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo véctơ AO và phép đối xứng qua đường trung trực của OG ?
HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN:
*Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ta cần : 
+ Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng 
+ 2 mặt phẳng lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ta tìm 1 điểm chung giao tuyến là đường thẳng 
Đi qua điểm chung và song song với 2 đường thẳng ấy 
*Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) :
-Chọn mặt phẳng (Q) chứa a 
- tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) là b
- Tìm giao điểm của a và b thì đó là giao điểm cần tìm 
Baøi 1: Cho töù dieän ABCD; goïi I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, DA; laàn löôït laø troïng taâm ACD, BCD.
Xaùc ñònh giao tuyeán (AKD) vaø (BJC) ; (JAD) vaø (ICD)
Tìm giao ñieåm cuûa vôùi (IJK)
Chöùng minh: // (IJK); // (ABC )
Goïi E laø trung ñieåm CD. Tính . 
H = . Chöùng minh : H laø trung ñieåm IE.
Baøi 2 : Cho S.ABCD, ñaùy laø hình thang ( ñaùy lôùn AB ). Goïi M, N, P laàn löôït trung ñieåm AD, CB, SC.
 1) Tìm: ; 
 2) Tìm: ; 
 3) Chöùng minh: AB // (SCD)
 4) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP).
Baøi 3: Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm SB, AD; G troïng taâm SAD.
 1) Tìm ; 
 2) Chöùng minh: OM// (SAD)
 3) , // (SCD), xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng 
Baøi 4: Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm AB, CD, SC.
 1) Tìm ; 
 2) Tìm ; 
 3) CMR : MP // (SAD)
 4) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP )
Baøi 5:Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh ; M, N laàn löôït laø trung ñieåm AB, CD.
Chöùng minh: MN// (SCB ) ; NP // (SBC )
P laø trung ñieåm SA: Chöùng minh SB // (MNP) ; SC // (MNP )
 laàn löôït laø troïng taâm ABC, SCB. Chöùng minh : // (SAB )
Baøi 6:Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điẻm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M', N'.
a) Tứ giác MNM'N' là hình gì?
b) Chứng minh M'N' // EC.
c) Chứng minh MN // (DEF).