Đề cương ôn tập học kì 1 lớp 12 nâng cao Môn Toán (năm học 2010 - 2011)

Trường THPT Chuyên Hùng Vương - Gialai đề cương ôn tập học kì 1 lớp 12 nâng cao
Tổ Toán - Tin Môn Toán (năm học 2010-2011)
A. Lý thuyết Ôn tập các nội dung sau:
+ 1) Tính đơn điệu của hàm số + 9) Hàm số mũ, hàm số logarit
+ 2) Cực trị của hàm số + 10) Phương trình mũ và logarit
+ 3) Giá trị LN, NN của hàm số + 11) Khái niệm khối đa diện, các khối đa diện đều
+ 4) Đường tiệm cận, phép tịnh tiến hệ tọa độ + 12) Phép đối xứng qua mặt phẳng, phép vị tự...
+ 5) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số + 13) Công thức tính thể tích của các khối đa diện
+ 6) Các bài toán thường gặp về đồ thị + 14) Khái niệm mặt (hinh, khối) cầu, mặt trụ, mặt nón
+ 7) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực + 15) Công thức tính diện tích mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
+ 8) Logarit, các tính chất, ứng dụng + 16) Công thức tính thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón
B. Bài tập - Tất cả các bài tập trong SGK
- Một số bài tập làm thêm :
Bài 1. Xác định m để hàm số y =
1
3
x3 − 2x2 +mx − 2 đồng biến trên khoảng: a) (−∞; +∞) b) (−∞; 1)
Bài 2. Cho hàm số y =
1
3
x3 −mx2 + (m2 −m + 1)x+ 1. Với giá trị nào của m, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 3. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số:
a) y = x− lnx b) y = xe4−x2 c) y = x2 lnx d)y = x
2 − 3x+ 6
x− 1 , x ∈ (1; 5]
Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
a) y = x+
√
4− x2. b) y = ln
2x
x
, x ∈ [1; e]. c) y = 2 sinx+ sin3 x, x ∈ [0;pi]
d) y = − cos 2x+ cos x− 3 e) y = 2 sinx cosx+ sinx− cos x f) y = √2 + sinx+√2− sinx
Bài 5. Chứng minh: a) ex+1 > x+ 2, ∀x ∈ R; b) x− 2 > ln(x − 1), ∀x > 1; c) 2 sinx+ tanx > 3x, ∀x ∈ (0; pi2 )
Bài 6. a) Chứng minh rằng ∀m 6= ±1
2
đồ thị hàm số y =
x− 4m
2(mx− 1) (1) luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
b) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (1) tại A và B là một hằng số khi m thay đổi.
Bài 7. Cho hàm số : y = x3 − (m+ 2)x+m. (1)
a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị (C).
b) Dựa vào (C) biện luận theo k số nghệm phương trình : x3 − 3x+ k − 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : c1) Song song với đường thẳng ∆1 : y = 24x+ 2009; c2) Vuông góc với
đường thẳng ∆2 : x+ 9y + 2 = 0; c3) Đi qua điểm A(−1; 3).
d) Từ một điểm M trên Oy kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C).
e) Tìm m để hàm số (1) có cực đại tại x = 1 .
Bài 8. Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 (2)
a) Khảo sát hàm số (2) khi m = 0, gọi đồ thị (C); Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn.
b) Biện luận theo m số cực trị của (2).
c) Tìm m để đồ thị hàm số (2) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng đó.
Bài 9. Cho hàm số y =
−x+ 3
x− 1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số. Suy ra đồ thị : C1 của hàm số y =| −x+ 3
x− 1 | ; C2 của hàm số y =
−x+ 3
| x− 1 |
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = 2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N . Tìm m để độ dài
đoạn MN nhỏ nhất; Tìm quỉ tích trung điểm I của MN khi m thay đổi.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox.
d) Tiếp tuyến ∆ của (C) cắt trục Ox và Oy tại hai điểm E,F mà tam giác OEF vuông cân, viết phương trình ∆.
e) Chứng minh đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
f) Tìm các điểm trên (C) cách đều hai trục toạ độ.
g) Tìm các điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
h) Chứng tỏ trên (C) luôn tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
i) Tiếp tuyến tại điểm S bất kì trên (C) cắt hai tiệm cận tại P,Q Chứng minh S là trung điểm của PQ và diện
tích tam giác IPQ luôn không đổi (với I là giao điểm hai tiệm cận).
1
Bài 10. Cho hàm số y =
x2 + (2m − 1)x−m− 2
x− 1 (1).
a) Tìm các pt tiệm cận của (1). b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và điểm cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 3.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của hàm số (1)
Bài 11. Cho hàm số y =
x2 + x− 1
x+ 1
có đồ thị (C).
a) Khảo sát hàm số. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là số nguyên.
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc toạ độ có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C).
c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) tới hai tiệm cận là một hằng số không đổi.
d) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm P,Q mà : d1) Độ dài PQ = 2
√
3; d2) OP⊥OQ.
Bài 12. Chứng tỏ hàm số sau thỏa hệ thức tương ứng
a) y = esin x + 1, thỏa y′′ − y′ cos x+ (y − 1) sinx = 0 b) y = ln(1− cos 2x), thỏa y′ + 1
2
y′′ sin 2x = 0
Bài 13. Đơn giản biểu thức: A =
( a 12 + 2
a+ 2a 12 + 1
− a
1
2 − 2
a − 1
)(a 12 + 1
a
1
2
)
; B =
(a2
√
3 − 1)(a2
√
3 + a
√
3 + a3
√
3)
a4
√
3 − a√3
Bài 14. Tính C = log e3 ln
3√10 − ln 10log e−5 ; D = 81
1
log5 3 + 27log3 6 + 3
4
3 log8 9 ; E =
log3 135
log15 3
− log3 5
log405 3
Bài 15. a) Cho log5 3 = a. Tính log15 75 theo a; b) Cho log12 18 = a, log24 54 = b. Chứng minh rằng ab+ 5(a− b) = 1.
Bài 16. Chứng minh nếu a2 + b2 = c2, với a, b, c > 0, và c± b 6= 1 thì logc+b a+ logc−b a = 2 logc+b a. logc−b a
Bài 17. Giải các phương trình mũ và logarit sau
a) (3− 2√2)3x = 3 + 2√2 b) 5x+1 + 6.5x − 3.5x−1 = 52 c) 5x.8 x−1x = 500
d) log 2
x
2 + log2 4x = 3 e) 3.25x + 2.49x = 5.35x f) log(x+ 10) +
1
2 logx
2 = 2− log 4
g) 3
√
log3 x− log3 3x− 1 = 0 h) logx 2− log4 x+ 76 = 0 i)
(√
6 +
√
35
)x + (√6−√35)x = 12
j) 3.25x−2+(3x−10).5x−2+3−x = 0 k) 3x = 5− 2x l) (
√
2 +
√
3)x + (
√
2−√3)x = 2x
Bài 18. Vẽ đồ thị hàm số y = 22x, suy ra đồ thị hàm số y = −4x; y = 4|x|.
Bài 19. Tính các giới hạn sau : a) lim
x→0
e2010x− 22011x
x
; b) lim
x→0
ln(7x+ 1)− log7(7x+ 1)
x
; c) lim
x→+∞
(x+ 3
x+ 1
)x
Bài 20. Năm 1994, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là
358
106
. Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO2 tăng 0, 4% hàng năm. Hỏi
2010 tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu.
Bài 21. Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA⊥(ABCD), SA = a và góc B̂AD = 1200.
a) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.
b) Tính thể tích của khối chóp S.BCD, và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC.
Bài 22. Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông ở B, SA⊥(ABC), SA = BC, SB = a, ŜBA = x(0 < x < pi
2
).
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và x.
b) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,SC. Chứng minh rằng hai tứ diện SAEF và CBEF bằng nhau.
c) Tính thể tích khối chóp CBEF . Tìm x để thể tích khối chóp CBEF lớn nhất.
Bài 23. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A hai đáy AD = 2a,BC = a. Biết cạnh
AB = a, SA = a, SA⊥(ABCD).
a) Tính thể tích của khối chóp S.ACD
b) Tính thể tích của khối chóp S.BCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
Bài 24. Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4pi.
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và tính thể tích khối trụ.
b) Tính thể tích khối lăng trụ n giác đều nội tiếp hình trụ; c) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.
d) Một mặt phẳng (P ) song song với trục hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB1A1. Biết một cạnh của
thiết diện là dây cung của đường tròn đáy và căn một cung 1200. Tính diện tích thiết diện.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a,AD = a
√
3. Tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy..
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Tính thể tích khối chóp S.BCD và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD mặt phẳng (ABG) chia khối chóp thành 2 phần, tính thể tích mỗi phần.
2