Đề cương ôn tập học kì 2 Khối 11 môn Toán

Lời nói đầu
	Để giúp học sinh học sinh khối 10, khối 11 học tốt, đạt kết quả cao trong các kỳ thi và chuẩn bị tốt kiến thức cho các năm học sau.
	Chúng tôi biên soạn tập tài liệu “Hướng dẫn ôn tập Học kỳ 2”. Tài liệu này được biên soạn nhằm giúp học sinh hiểu rõ nội dung kiến thức cơ bản, và rèn luyện kỹ năng giải đề thi.
	Mỗi bài đều có đáp số hoặc hướng dẫn. Học sinh hãy phân loại bài tập để chọn ra phương pháp phù hợp nhất để giải. 
	Mặc dù có nhiều cố gắng trong biên soạn, thiếu sót là điều không thể tránh khỏi. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của các bạn đồng nghiệp, quý phụ huynh và học sinh.
	Xin chân thành cảm ơn.
 Chúc học sinh một mùa thi đạt kết quả tốt.
NHÓM BIÊN SOẠN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2008- 2009
CHƯƠNG4: GIỚI HẠN
Bài 1: Giới hạn của dãy số
2. Biết dãy số thoả mãn với mọi n. Chứng minh rằng lim= 0
4. Tính 	5. Tính 
6. Tính 	7. Tính 
8. Tính 
9. Cho dãy số xác định bởi . Biết có giới hạn hữu hạn khi , hãy tìm giới hạn đó
? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó
11. Tính tổng 
12. Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn , biết tổng của nó bằng 32 và 
13. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số hữu tỉ: 
 a = 2,131313(chu kì 13)
14. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi 
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
g. 	h. 
15. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
16. Cho hai dãy số và . Chứng minh rằng nếu và với mọi n thì 
17. Biết . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số ?
18. Dùng kết quả bài 16 để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
19. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi 
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi . Tìm giới hạn đó
20. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
21. Tính tổng 
22. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội 
23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,12121212(chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số
Bài 2: Giới hạn của hàm số
1. Cho hàm số . Dùng định nghĩa chứng minh rằng 
2. Cho hàm số 
Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f(x) không có giới hạn khi 
3. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	e. 
4. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
5. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn:
a. 	b. 
8. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định trên khoảng . Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu và thì 
9. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 
10. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
g. 	h. 	
i. 	j. 
11. Tính các giới hạn của các hàm số sau khi 
a. 	b. 	c. 
12. Cho hàm số 
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi . Tìm giới hạn này
13. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng . Chứng minh rằng nếu thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) < 0
14. Tính các giới hạn:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
15. Tính các giới hạn
a. 	b. 	
c. 	d. 	e. 
16. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	
Bài 3: Hàm số liên tục
1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 
2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
3. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 
4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: 
6. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)
7. Chứng minh rằng hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)
9. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a. 
b. 
10. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a. 	b. 
11. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 
12. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục trên 
13. Chứng minh rằng phương trình
a. luôn có nghiệm
b. có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 
c. có nghiệm dương
14. Phương trình có nghiệm hay không trong khoảng ?
15. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a. 	b. 
15. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b) ? Cho ví dụ minh hoạ
16. Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0, thì phương trình 
f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học
Bài tập ôn chương 4
1. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	
2. Tìm giới hạn của dãy số với
a. 	b. 
5. Cho dãy số thoả mãn với mọi n. Chứng minh rằng nếu 
6. Chứng minh rằng hàm số không có giới hạn khi 
7. Tìm các giới hạn sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
8. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
9. Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
a. f(x) xác định trên 
b. 
10. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
11. Xác định hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
a. f(x) xác định trên 
b. y = f(x) liên tục trên nhưng gián đoạn tại x = 0
12. Chứng minh rằng phương trình:
a. có ít nhất ba nghiệm
b. luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m
c. có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của 
13. Cho hàm số . Phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không
a. Trong khoảng (1; 3) ?	b. Trong khoảng (-3; 1) ?
14. Giả sử hai hàm số y = f(x) và đều liên tục trên đoạn [0; 1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm trong đoạn 
Chương 5: Đạo hàm
Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
1. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số 
2. Cho hàm số 
a. Hãy tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 
3. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0, nhưng liên tục tại đó
4. Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0 
5. Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = 3x – 5 	b. 	c. 
d. 	e. 
6. Cho . Tính f’(1)
7. Cho f(x) = sin2x. Tính 
8. Cho . Tính f’(0), f’(1)
9. Cho . Chứng minh rằng 
12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số
a. tại điểm có hoành độ x = 0
b. tại điểm 
c. , biết hệ số góc của tiếp tuyến là 
Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
1. Tìm đạo hàm của hàm số 
2. Tìm đạo hàm của hàm số 
3. Tìm đạo hàm của hàm số 
4. Tìm đạo hàm của hàm số 
5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 	f. 
g. 	k. 	
m. l. (a, b, c là các hằng số)
6. Rút gọn:
 và tìm 
7. Cho . Chứng minh rằng: 
10. Cho . Giải bất phương trình 
11. Tính , biết rằng 
12. Tính , biết rằng 
13. Tính h’(0), biết rằng 
14. Tính , biết rằng 
Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác
1. Tìm đạo hàm của các hàm số:
a. 	b. 
2. Tìm đạo hàm của các hàm số:
a. 	b. 	
c. 
3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	c. 
d. 	e. f. 
g. 	h. 
4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
g. 
5. Cho . Tính f’(1), f’(4), 
6. Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
a. 	b. 
8. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi :
a. 
b. 
10. Tìm f’(1), f’(2). f’(3) nếu 
11. Tìm f’(2) nếu 
12. Cho . Với những giá trị nào của x thì:
a. 	b. 	c. 
13. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. f. 
14. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 	
e. 	f. 
g. 	h. 
Bài 4: Vi phân
1. Tìm vi phân của các hàm số
a. 	b. 
2. Tìm 
3. Cho hàm số . Hãy tính và so sánh chúng, nếu
a. 	b. 	c. 
4. Tìm vi phân của các hàm số sau:
a. 	b. 	c. 	d. 
Bài 5: Đạo hàm cấp hai
1. Tính , biết rằng:
a. 	b. y = tanx
2. Cho Tính 
3. Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a. y = sin5xcos2x	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 
h. 	k. 	l. 
m. 	n. 
Bài tập ôn chương 5
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	
c. 	d. 
2. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra:
a. , f’(0) = ?	b. , y’(0) = ?
c. , 
3. Chứng minh rằng , nếu:
a. 	b. 
4. Xác định a để , biết rằng: 
5. Xác định a để , biết rằng: 
6. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tanx tại điểm có hoành độ 
7. Trên đường cong , hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x
8. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại gốc toạ độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm) ?
9. Cho các hàm số:
a. Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 
c. Giải phương trình 
d. Giải phương trình 
e. Tìm giới hạn 
10. Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol lập thành với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi
11. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. 	b. 	c. y = cos2x – 2sinx
d. 	e. f. 
12. Cho hàm số . Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không ?
Chương 3: Véctơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 1: Véctơ trong không gian
1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Hãy nêu tên các véctơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lăng trụ
2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng 
3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. 
 Chứng minh rằng 
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. 
 Chứng minh rằng 
5. Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB ta lấy C sao cho . Chứng minh rằng với điểm S bất kì ta luôn có: 
6. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng ba véctơ đồng phẳng
7. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba véctơ đồng phẳng
8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’
a. Hãy biểu diễn các véctơ theo các véctơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho
b. Chứng minh rằng 
10. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Chứng minh rằng ba véctơ đồng phẳng
11. Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các véctơ đồng phẳng
12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’
a. Chứng minh rằng 
b. Chứng minh hai tam giác PQR và P’Q’R’ có trọng tâm trùng nhau
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và S là một điểm sao cho: . Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm O và S theo a
2. Trong không gian cho hai véctơ tạo với nhau một góc . Hãy tìm biết rằng cm và 
3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều.
a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau
b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
4. Cho hai véctơ và đều khác véctơ . Chứng minh rằng và là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi 
5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD.
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB’ ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM = BN = x với . Chứng minh rằng hai đường thẳng AC’ và MN vuông góc với nhau
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’
b. Chứng minh 
8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng 
11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và . Tính góc giữa hai véctơ 
12. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
13. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy cò gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng 
14. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và . Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông
15. Cho tứ diện ABCD trong đó . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.
a. Chứng minh 
b. Chứng minh và điểm I thuộc (AHK)
c. Chứng minh , từ đó suy ra 
2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng 
3. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh:
a. 
b. H là trực tâm của tam giác ABC
c. 
5. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vuông
6. Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng tại A’ và B’. Chứng minh ba điểm A’, O, B’ thẳng hàng và AA’ = BB’
7. Cho tam giác ABC. Gọi là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng và cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC)
8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a. 
b. Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó . Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó
9. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng 
10. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC
a. Chứng minh 
b. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
1. Tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a. Chứng minh mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (ABE) và mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (DFK).
b. Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (ACD)
2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm I, có cạnh bằng a và đường chéo BD = a. Cạnh vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau.
3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S. Gọi là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Hãy xác định mặt phẳng . Mặt phẳng cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
4. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng . Khi nào mặt phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (BB’D’D)?
5. Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD và AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh . Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao?
6. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có 
7. Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
8. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD)
b. Tam giác SBD là tam giác vuông tại S.
9. a. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (A’BD)
b. Tính đường chéo AC’ của hình lập phương đã cho.
10. Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh
a. Mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện
b. Mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện
11. Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a. AH, SK và BC đồng quy
b. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và 
c. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và 
12. Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b. Trong mặt phẳng (SAB) vẽ AH vuông góc với SB tại H, chứng minh 
c. Tính độ dài đoạn AH
d. Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK vuông góc với (SBC) cắt (SBC) tại K. Tính độ dài đoạn OK
13. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng 
b. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // .
c. Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng . Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt mặt phẳng 
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.
a. Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).
b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính .
c. Gọi là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với .
Bài 5: Khoảng cách
1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB.
a. Chứng minh đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
2. Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho AO = 4cm. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng BC
3. Cho góc vuông và một điểm M nằm ngoài mặt phẳng chứa góc vuông. Khoảng cách từ M đến đỉnh O của góc vuông bằng 23cm và khoảng cách từ M tới hai cạnh Ox và Oy đều bằng 17cm. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng chứa góc vuông.
4. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng , cạnh và tạo với một góc .
a. Tính khoảng cách CH từ C tới .
b. Chứng minh rằng cạnh BC tạo với một góc .
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a. SB và CD
b. SC và BD
c. SC và AB
6. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB = a. Đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy (ABCD) và có SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB chéo nhau.
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A’, B, D, C, B’, D’ tới đường chéo AC’ bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
8. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a. Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB 
9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a. Chứng minh đường thẳng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với .
a. Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD)
b. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
12. Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của hình tứ diện ABCD biết rằng và AB = p, CD = q
13. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC. 
a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC).
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG.
14. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình vuông.
ôn tập chương 3
1. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.
a. Tính góc giữa SA và BC.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.
2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi .
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây:
a. AB’ và BC’
b. AC’ và CD’
4. Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.
a. Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.
b. Chứng minh 
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.