Đề cương ôn tập học kì 2 Toán 11

"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tính các giới hạn sau 
2 3 5
1. lim .
3 5x
x x x
x
 

3
1
2 1 3 2
2. lim .
1x
x x
x
  

Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0 
 2
2a 0
( ) 1 1
0.
x khi x
f x x x
khi x
x
 

    


Bài 3. 
1. Cho hàm số 2( ) (x 2x) 1.f x x   Giải bất phương trình '( ) 0.f x  
2. Cho hàm số 4 22x 4y x   có đồ thị (C). Tìm tọa độ những điểm trên đồ thị (C) sao 
cho tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm đó song song với truc hoành. 
 3. Chứng minh rằng phương trình 2 4( 1) 2x 2 0m m x     có nghiệm với mọi m. 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. 
 1. Chứng minh AC  SD. 
2. Chứng minh MN  (SBD). 
3. Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD). 
4. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 
ĐỀ SỐ 1 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
. 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
 2
30
2012 1 2012
1. lim ;
2x
x x
x x
  

  22. lim 2 1 .
x
x x x

   
Bài 2. 
1. Cho hàm số 
2 3 1 1
1,
( ) 1
2 1.
x x
khi x
f x x
khi x
   

  
 
 Xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm 0 1.x  
2. Cho ba số , ,a b c thoả mãn hệ thức 2a 3 8 0.b c   Chứng minh rằng phương trình 
2a 0x bx c   có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
Bài 3. Cho hàm số 2 4( ) 4y f x x x   có đồ thị (C). 
 1. Giải bất phương trình ( ) 0.f x  
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy, 
2, , 2 .SA a AB a BC a   
1. Chứng minh tam giác SBC vuông. 
 2. Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH). 
 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
 4. Xác định thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Tính 
diện tích thiết diện đó. 
ĐỀ SỐ 2 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
0
sin 7 1 1
1. lim
sin5x
x x
x
  
   22. lim 1 2 3 1 .
x
x x x x

     
  
Bài 2. 
 1. Cho hàm số 
6 2
 2,
( ) 2
 2.
x
khi x
f x x
m khi x
  
 
  
  
(m là tham số) 
Tìm m để hàm số trên liên tục tại 2.x   
 2. Chứng minh rằng phương trình tan 1
sin
m
x
x
  (m là tham số), có nghiệm với mọi m. 
Bài 3. 
1. Cho hàm số ( ) 2sin cos tan .f x x x x   Giải phương trình 2'( ) tan 1 0.f x x   
2. Cho hàm số 3( ) 2 2 3f x x x   có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết 
tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 22 2012.y x  
Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0D 60BA  , SA=SB=SD= a. 
 1. Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD). 
 2. Chứng minh tam giác SAC vuông. 
3. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). 
4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). 
ĐỀ SỐ 3 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. 
1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng   ,nu biết 
  
  
1 5 3
1 6
10
17.
u u u
u u
2. Tìm các giới hạn sau 
2 1 3
) lim ;
2 7x
x x x
a
x
  

20
1 cos cos3
) lim .
x
x x
b
x

Bài 2. 
 1. Cho hàm số 
3 1
1
( ) 1
2 1 1.
x
khi x
f x x
m khi x
 

 
  
 Xác định m để hàm số liên tục trên R. 
 2. Chứng minh rằng phương trình: 2 5(1 ) 3 1 0m x x    luôn có nghiệm với mọi m. 
Bài 3. 
 1. Tìm đạo hàm của các hàm số 
 a) 
2
2
2 2
;
1
x x
y
x
 


 b) 1 2tan .y x  
 2. Cho hàm số 4 2 3y x x   có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 
 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2 3 0.x y   
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và 
2
, ,
2
a
OA OB OC a   I là 
trung điểm BC. 
1. Chứng minh rằng (OAI)  (ABC). 
 2. Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 
 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (OAB). 
 4. Xác định thiết diện của tứ diện bởi mặt phẳng chứa OB và vuông góc với mặt phẳng 
(ABC). Tính diện tích của thiết diện đó. 
ĐỀ SỐ 4 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
21
2 1
1. lim ;
12 11x
x x
x x
 
 
  2
3
4
2. lim 9 .
3x
x
x
x
 
 
 
Bài 2. 
 1. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân   ,nU biết 
  
  
u u u
u u
1 3 5
1 7
65
325.
 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó 
2 5 6
3
( ) 3
2 1 3.
x x
khi x
f x x
x khi x
  

 
  
Bài 3. 
 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau 
 a) 2 1;y x x  b) 
2
3
.
(2 5)
y
x


 2. Cho hàm số 
1
1
x
y
x



 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 
song song với đường thẳng d: 2 2 0.x y   
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a . 
 1. Chứng minh rằng (SAC)  (SBD). 
 2. Tính góc giữa SC và mp(SAB). 
 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
 4. Tính khoảng cách giữa AD và SC. 
ĐỀ SỐ 5 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
3 2
20
1 cos3 1
1. lim
sinx
x x
x
 
 
3 2 3
2
sin 2 cos 1
2. lim .
1x
x x x x x
x
  

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng 
 3 22 2 7 1 54 0.x mx m x     
Bài 3. Cho hàm số  
23 1 2
1
1
1.
x
khi x
f x x
m khi x
  
 
  
 
Tìm m để hàm số trên liên tục tại 1.x  
Bài 4. Cho hàm số   3 22 1y f x x x    có đồ thị  .C 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm có tung độ bằng 1. 
2. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị  C biết tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt hai trục tọa độ 
,Ox Oy tại A và B sao cho tam giác OAB cân. 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC và SAC là hai tam giác đều cạnh a, 
6
.
2
a
SB  
 1. Gọi H là trung điểm của AC. Chứng minh rằng  .SH ABC 
 2. Gọi   là mặt phẳng qua C và vuông góc với SA. Chứng minh rằng  // .BH  
 3. Xác định thiết diện tạo bởi   và hình chóp S.ABC. 
ĐỀ SỐ 6 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
  21. lim 2 3 1 ;n n n    
3 3
2
2 1 1
2. lim .
2x
x x
x x
  

Bài 2. 
1. Cho hàm số  
sin ;
2 2
; .
2 2
x khi x
f x
ax b khi x
 
 
  
   
  
 
       
Xác định a, b để hàm số liên tục trên R. 
2. Chứng minh rằng phương trình  3 2 3 1 0x mx m x     (m là tham số), có 3 nghiệm 
phân biệt với mọi m. 
Bài 3. Cho hàm số   2 2f x x x  có đồ thị  .C 
1. Tinh  ' .f x 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng 
3.x  
3. Tìm tọa độ của điểm M trên   ,C biết tiếp với đồ thị tại M tạo với truc hoành một góc 
bằng 060 . 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh a  // , .AB CD AB CD Mặt 
bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 
 1. Chứng minh rằng .BD SC 
 2. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa SD và .AB 
 3. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng  SAD và  .ABCD 
ĐỀ SỐ 7 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
2sin 2 3
1. lim .
1 cos5x
x x x
x x
  
 
3
21
2 1
2. lim .
x
x
x x
 

Bài 2. 
1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2 
31 1
2
( ) 2
4 2.
x
khi x
f x x
a khi x
  

  
  
2. Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành 
một cấp số cộng, với 2 ,x a bc  2 ,y b ca  2 .z c ab  
Bài 3. 
1. Cho hàm số 2010cos 2011sin .y x x  Chứng minh 0.y y  
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 23 2y x x   biết tiếp tuyến đi qua điểm 
M( –1; –2). 
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, mặt 
bên AABB là hình vuông. Từ C kẻ CH  AB, HK // AB (H  AB, K  AA). 
1. Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK). 
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AABB) và (CHK). 
3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). 
ĐỀ SỐ 8 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tính các giới hạn sau 
3
1 3 5
1. lim ;
2 3 6x
x x
x x
  
  
3
20
1 2 1 3
2. lim .
x
x x
x
  
Bài 2. 
1. Xét tính liên tục của hàm số sau 
os 1 
2( )
-1 1.
x
c khi x
f x
x khi x


 
 
2. Chứng minh rằng phương trình 5 35 4 1 0x x x    có đúng 5 nghiệm. 
Bài 3. 
1. Cho hàm số   3 2g x x bx cx d    có đồ thị là (C ). Xác định các hệ số b,c,d sao cho đồ 
thị (C) đi qua hai điểm M(-1;-3), N(1;-1) và tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 
1
3
 song song với trục hoành. 
2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2
2 3
.
3 2
x
y
x x


 
Bài 4. 
Cho hình chóp S.ABC có SA= 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tam giác ABC 
vuông tại C với AB =2a, 
030BAC  .Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, H là hình 
chiếu vuông góc của S trên BM. 
1. Chứng minh rằng AH  BM. 
2. Đặt AM = x, với 0 3.x  Tính khoảng cách h từ S đến BM theo a và x. 
3. Tìm các giá trị của x để khoảng cách h có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. 
Bài 5. 
 Chứng minh rằng 
0
1 ax 1
lim .
n
x
a
x n
 
 
ĐỀ SỐ 9 
"All the flowers of tomorrow are in the seeds of today." 
Bài 1. Tính các giới hạn sau 
54
1
2 1 2
) lim ;
1x
x x
a
x
  

2
1
) lim .
2x
b
x x x   
Bài 2. Cho hàm số  
3 3sin cos cos2
sin cos + .
3 3 2
x x x
f x x x x     
 a) Tính 
/ (0).f 
 b) Giải phương trình / ( ) 0.f x  
Bài 3. Cho hàm số y= 
1
1
x
x


 có đồ thị (C). 
1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đường cong (C) tại điểm M(0;-1). Giả sử (d) cắt 
Ox tại I và cắt Oy tại J ,tính diện tích tam giác OIJ. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến song song với đường thẳng 
2 2012 0.x y   
 Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a. 
1. Chứng minh rằng AA/  B/D/ ; B/D  (BA/C/). 
2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/). 
3. Lấy điểm M  AD/ , N BD sao cho AM=DN=x ( 0<x<a 2 ). Tìm x để MN có độ 
dài ngắn nhất. 
ĐỀ SỐ 9 
ĐỀ SỐ 10