Đề cương ôn tập học kì II Toán 9

I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: 
ax + by = c (1)
trong đó: a, b và c là các số đã biết (a 0 hoặc b 0 )
2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số. 
(x0, y0) là nghiệm của (1) 
Áp dụng: Cặp số (1;1) và (0,5 ; ) có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không ?
Giải
Cặp số (1;1) x = 1; y =1
 Thay x = 1, y = 1 vào phương trình 2x – y = 1 ta được : 2.1 – 1 = 1 1 = 1
 Vậy cặp số (1;1) có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 
Cặp số (2;0) x = 2 ; y = 0 
Thayx = 2, y = 0 vào phương trình 2x – y = 1 ta được : 2.2– 0 = 1 4 = 1 ( vô lý ) 
Vậy cặp số (2;0) không là nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
3. Nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn :
a) Dạng 1 : ax + by = c by = -ax +c . Vậy nghiệm tổng quát :
b) Dạng 2 : ax + 0y = c ax = c .Vậy nghiệm tổng quát :
c) Dạng 3 : 0x + by = c by = c. Vậy nghiệm tổng quát :
Áp dụng: Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x +2y = 5.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ tọa độ, rồi xá định nghiệm chung của chúng.
4. Định nghĩa hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : (I) , trong đó a ,a’, b,b’ và c,c’ là các số đã biết.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghệm .
Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn (I) (với a ,a’, b,b’ và c,c’ cùng khác 0 )
+ Có vô số nghiệm, nếu 
+ Vô nghiệm, nếu 
+ Có một nghịêm duy nhất, nếu 
5. Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .
a) Phương pháp thế :
Bước 1: Rút 1 ẩn chẳng hạn x từ 1 phương trình rồi thay vào phương trình kia 
Bước 2: Giải phương trình có 1 ẩn là y .
Bước 3: Thay giá trị của y vào biểu thức của x để tìm x.
b) Phương pháp cộng :
Bước 1 : Biến đổi 2 phương trình của hệ sao cho hệ số của x hoặc y trong 2 phương trình bằng nhau hoặc đối nhau 
Bước 2 : + Nếu hệ số của x ( hoặc y) bằng nhau thì ta trừ vế theo vế . 
 + Nếu hệ số của x ( hoặc y) đối nhau thì ta cộng vế theo vế .
Bước 3 : Giải phương trình một ẩn vừa tìm được 
Bước 4 : Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn thứ 2 
Lưu ý: Học sinh không cần phải học thuộc lòng hai phương pháp giải trên (Đọc – hiểu làm bài tập) 
6. Đồ thị hàm số y = ax2 
Đồ thị hàm số y = ax2 là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng ,đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
7. Tính biến thiên của y = ax2 
Hàm số y = ax2 (a >0)
Hàm số y = ax2 ( a < 0)
Nghịch biến khi x < 0 
Đồng biến khi x > 0 
Giá trị nhỏ nhất y = 0 tại x = 0 
Đồ thị nằm phía trên trục hoành
O là điểm thấp nhất của đồ thị 
Đồng biến khi x < 0 
Nghịch biến khi x < 0 
Giá trị lớn nhất y = 0 tại x = 0
Đồ thị nằm phía dưới trục hoành
O là điểm cao nhất của đồ thị 
8. Cách vẽ đồ thị :
Lập bảng giá trị của hàm số y = ax2
Cho x nhận các giá trị -2,-1,0,1,2  ta lần lượt tính được các giá trị tương ứng của y = ax2
Vẽ các cặp điểm trong bảng giá trị trên cùng hệ trục toạ độ và nối các điểm lại với nhau bởi đường trơn liến nét ta được đồ thị của hàm số y = ax2
Chú ý: 	a > 0 đồ thị quay lên trên.
 a < 0 đồ thị quay xuống dưới.
 9. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số:
 Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 
 	trong đó x là ẩn số a, b, c là các hệ số đã cho
Áp dụng: Hãy đưa các phương trình sau về dạng tổng quát của phương trình bậc hai rồi xác định các hệ số a, b, c:
 a) 5x2 + 2x = 4 - x b) 3x2 – 2x = x2 + 3 
Giải:
a) 5x2 +2x = 4-x 5x2 + 2x – 4 + x = 0 5x2 + 3x – 4 = 0 có a = 5 ; b = 3 ; c = - 4 
b) 3x2 – 2x = x2 + 3 3x2 – 2x – x2 – 3 = 0 2x2 – 2x – 3 = 0 có a = 2 ; b = -2 ; c = -3
10. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: 
 * = b2 – 4ac
 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x1 = 
 = 0 phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 =
 < 0 phương trình vô nghiệm
Áp dụng : Giải các phương trình sau:
a) 2x2 – 7x + 3 = 0 	b) -2x2 + 5x + 3 = 0
Giải
a) 2x2 – 7x + 3 = 0 có a = 2 ; b = - 7 ;c = 3
 D = b2 – 4ac =(-7)2 – 4.2.3 = 49 –24 = 25
= =5 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = = = =3 ; x2 = = ==
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 3 x2 = 
b) -2x2 + 5x + 3 = 0 có a = -2 ; b = 5 ;c = 3
D = b2 – 4ac =(5)2 – 4.(-2).3 = 25 + 24 = 49
= =7
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = = == -; x2 = = == 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 3 ; x2 = -
11. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
	a x2 +bx + c = 0 (a ¹ 0); b, = ; D’ = b’2 – ac
D’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 
D’ =0 phương trình có nghiệm kép :x1 = x2 = * D’ < 0 phương trình vô nghiệm
 Chú ý một số bài tập SGK toán 9 tập II: 16a,b,c,d/tr45; 17/tr49; 
12. Khi nào phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm , có nghiệm 
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 (hoặc D’ > 0)
Phương trình bậc hai có một nghiệm (nghiệm kép) khi D= 0 (hoặc D’ = 0)
Phương trình bậc hai vô nghiệm khi D < 0 (hoặc D’ < 0)
Phương trình bậc hai có nghiệm khi 0 (hoặc D’ 0)
13. Các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt 
Nếu phương trình ax2 +bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm 
x1 = 1; x2 = 
Nếu phương trình ax2 +bx + c = 0 a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm\
 x1 = -1; x2 = -
Nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt .
Áp dụng: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai
1. 4x2 + 2x – 6 = 0 
Ta có: a + b + c = 4 + 2 +(-6) = 0 
 Þ phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = = 
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 
b) x2 + 23x +22 = 0 có a = 1; b = 23 ; c = 22
Ta có: a - b + c = 1 – 23 + 22 = 0
 Þ phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - = - 22
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - 22
14. Phát biểu định lý Vi-et :
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 +bx + c = 0 (a ¹ 0) thì 	
 x1 + x2 = ; x1 .x2 = 
Áp dụng: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình:
2x2 -6x -3 = 0 
Giải
2x2 -6x -3 = 0 có a = 2 ; b = -6 ;c = -3
Ta có: a = 2 > 0
 c = - 3 < 0
Ta thấy a và c trái dấu nên phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Vi-et, ta có :
S = x1 +x2 = = 
P = x1 .x2 = = - 
15. Cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 –Sx +P =0
ĐK để có 2 số u,v là: S2 –4P ³ 0
Áp dụng: Tìm hai số u và v biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6
Giải
Hai số u; v là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 –Sx +P =0 Û x2 - 5x + 6 =0 (S =5; P=6)
Ta có a = 1 ; b = - 5 ;c = 6
D = b2 – 4ac =(-5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 =1
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = = =3 ; x1 = = = 2.
Vậy hai số u ; v cần tìm là u = 3; v =2 hoặc u = 2; v = 3
HÌNH HỌC
I. Kiến thức cơ bản:
1. Các góc đã học:
Góc ở tâm
Góc nội tiếp
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
Quan hệ số đo của góc và cung bị chắn
Trong một đường tròn:
Góc ở tâm có số đo bằng số đo của cung bị chắn.
Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng của số đo hai cung bị chắngiữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn.
Một số nhận xét:
Trong một đường tròn:
Góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một day cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Các góc cùng một loại, cùng chắn một cung thì các góc đó bằng nhau. 
2. Liên hệ giữa dây và cung:
	Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:
Hai cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng căng hai dây bằng nhau.
Cung lớn hơn khi và chỉ khi nó căng dây lớn hơn.
3. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn:
Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
 Tức là, nếu ta có:	
 OA = OB = OC = OD thì tứ giác ABCD nội tiếp (O,OA).
Cách 2: Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 1800.
 Tức là, nếu ta có:
 hoặc thì tứ giác ABCD nội tiếp (O, OA). 
4. Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn:
- Công thức tính độ dài đường tròn:
trong đó , R bán kính đường tròn
 - Công thức tính độ dài cung tròn:
 trong đó n là số đo (độ) cung tròn
5. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn:
- Diện tích hình tròn: 
- Diện tích hình quạt tròn: 
II.Một số bài tập rèn luyện. 
Bài tập hệ phương trình
Dạng 1: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ ®­a ®­îc vÒ d¹ng c¬ b¶n 
Ph­¬ng ph¸p:
	+ ThÕ
	+ Céng ®¹i sè
 Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) b) c) d) 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
 a) b) c) 
Bài 3: Giải các hệ phương trình
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 5: Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax +b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(2;-2) và B(-1;3) b) A(-4;-2) và B(2;1) c) A(3; -1) và B(-3;2)
Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ph­¬ng ph¸p: §­a vÒ d¹ng hpt míi (b»ng c¸ch ®Æt ¶n phô)
 Gi¶i hpt míi sau ®ã thÕ vµo ph­¬ng tr×nh ®Æt ®Ó t×m x,y
Giải các hệ phương trình sau
D¹ng 3: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc
Ph­¬ng ph¸p:
	Thay các giá trị nghiệm của ẩn vào pt ban đầu, sau đó giải hpt chứa tham số, tham số lúc này đóng vai trò là ẩn.
	HÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 
	Hpt v« nghiÖm 
	Hpt cã nghiÖm 
Bài 1: 
a) Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
b) Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ;	 x = y = 2m ; 	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình 
a) Giải hệ phương trình khi m = .
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tương tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phương trình: 
a) Giải và biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập về hàm số 
Bài 1: Cho hàm số y = ax2 .
a) Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua A(1;2).
b) Vẽ đồ thị với a tìm được.
Bài 2: a) Tìm m biết K(-1;-3) thuộc đồ thị hàm số y = mx2.
 b) Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Bµi 2. T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
a) y = -x + 3 vµ 	b) vµ y = -x + 1	c) vµ y = -x -5
Bµi 3. Cho (P): vµ (d) . T×m m ®Ó:
a) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt?	b)(d) vµ (P) tiÕp xóc nhau. Khi ®ã h·y t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm
c)(d) vµ (P) kh«ng c¾t nhau.
Bµi 4. Cho (P) y = ax2 vµ (d) y = -2x +m.	a)X¸c ®Þnh a biÕt (P) ®i qua 
b)BiÖn luËn them m sè giao ®iÓm cña (d) vµ (P). Trong tr­êng hîp tiÕp xóc h·y t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 5. Cho (P) y = ax2 vµ (d) y = x +m.	a)X¸c ®Þnh a biÕt (P) ®i qua 
b)BiÖn luËn them m sè giao ®iÓm cña (d) vµ (P). Trong tr­êng hîp tiÕp xóc h·y t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm B.
Chøng minh A vµ B ®èi xøng víi nhau qua trôc tung. TÝnh chu vi tam gi¸c AOB.
Bµi 6. Cho (P) y = ax2 vµ (d) y = 2x – 2	
a)X¸c ®Þnh a biÕt (P) ®i qua 	
b) Chøng minh r»ng (P) vµ (d) tiÕp xóc víi nhau. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.	
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d’) vu«ng gãc víi (d) t¹i A
d) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (d’) vµ (P)
Bài 7:
a) Biết đồ thị hàm số (P) đi qua điểm . Hãy tìm a và vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và –4. Tìm toạ độ hai điểm đó rồi suy ra phương trình đường thẳng AB.
Bài 8: Cho đường thẳng (d):
a) Tìm m để (d) cắt (P): tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài tập về phương trình bậc hai
Dạng 1: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. 
Phương pháp: 
Xét xem hệ số a+b+c=0 hoặc a – b + c = 0
Trong phương trình có khuyết những hệ số nào?
Kiểm tra hệ số b 
 Nếu b 2 thì dùng ngược lại dùng CTNTQ 
Bµi 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
i)	j) 	k)	l) 
m) 	n) 	o) 	 p)
q) 	s) 	t)
u) 	v)	w)
x) 	y) z) 
Bài 2: Giải các phương trình
1) x2 – 6x + 14 = 0 ;	2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;	4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
5) x2 – 4x + 2 = 0 ;	6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
7) x2 + 2x + 4 = 3(x + ) ; 	8) 2x2 + x + 1 = (x + 1) ;
9) x2 – 2( - 1)x - 2 = 0. 10) x2 – 25 = 0 
Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 	2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + )x + = 0 ;	4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + 1 + 3 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;	6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ;	8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ;	10) x2 – 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: 
	+ Tìm ĐK để pt có nghiệm
	+ áp dụng hệ thức vi et 
Bµi 1. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bµi 2. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:
a) 	b)	c) 
Bµi 3. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm kÐp vµ t×m nghiÖm kÐp ®ã.
a) 	b)	c) 
Bµi 4. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm.
a) 	b)	c) 
Bµi 5. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm cho tr­íc, t×m nghiÖm cßn l¹i.
a) 	(x = 1)	b)	(x=2)
c) 	(x=-3)	d) (x=-3)
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.
Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 7: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;	(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ;	2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ;	4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;	3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 8: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ;	2x1 – 3x2 = 1
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; 	x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 	2x1 + x2 + 1 = 0
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ;	x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ;	x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; 	x12 + x2 = 6.
Bài 9: 
Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
 Bài 10: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 11: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Phương pháp: Cho phương trình: ax2+bx+c = 0 
 + Nếu a = 0 thì giải cụ thể 
	+ Nếu a.c < 0 thì kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu
	+ Để pt có nghiệm ó 
	+ Để pt có hai nghiệm 
	+ Để ptvn 
Bài 1: 
a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. 
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0.
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
Cho phương trình: . 
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
D¹ng 4: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè.
Phương pháp:
	+ Chỉ ra phương trình có nghiệm
	+ áp dụng hệ thức viet
	+ giải hệ phương trình sau đó làm mất tham số đưa ra 1 pt mới không chứa tham số
Bài 1: Không giải phương trình . Tính giá trị các biểu thức sau:
Bài 2: 
Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.
Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: .
Bài 5: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
Giải và biện luận phương trình theo m.
Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.
Bài 6: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
Dạng 5: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Phương pháp: Cho phương trình: ax2+bx+c = 0 
	+ C \ m a.c < 0 thì kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu
	+ C \ m thì pt có nghiệm
	+ C \ m thì pt có hai nghiệm
	+ C \ m thì ptvn
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 	2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ;	4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;	6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 	8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2. Chøng minh r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
a) 	b)	c) 
Bài 3: 
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm:
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 
c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: 
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: 
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 - 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
với a, b, c là các số dương cho trước.
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 5: 
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0. 
Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước ax2 + bx + c = 0
Phương pháp:
 nắm vững hệ thức viet
Chú ý: x12 + x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2
 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1+x2)
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0.
Tính:
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là .
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là .
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là .
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn .
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Bài 8: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Bài 10: Cho phương trình 
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b)Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
d) Gọi x1;x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính x12+x22 theo m
Bài 11: Cho phương trình (với m là tham số)
a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1;x2, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc m
c) Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phương trình 
a) Cm phương trình có hai nghiệm x1 và x2 với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 
Bài 13: Cho phương trình (a là tham số, ) có hai nghiệm x1;x2. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1;y2 thoả mãn: và 
D¹ng 8: Giải bài toán bằng các lập phương trình, hệ phương trình:
Toán ChuyÓn ®éng (trªn ®­êng bé, trªn ®­êng s«ng cã tÝnh ®Õn dßng n­íc ch¶y)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.
Bài 5: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120km trong một thời gian nhất định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải t