Đề cương ôn tập học kỳ 1 môn toán lớp 10

MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.MATHVN.com 1 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN LỚP 10 
( THAM KHẢO )
PHẦN I: ĐẠI SỐ 
CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ (Dành cho phần trắc nghiệm) 
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ? lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đó: 
1/ " n ÎN*, n2 + n + 1 lµ sè nguyªn tè. 2/ " x ÎZ , x2 ³ x . 
3/ $ kÎ Z , k2 + k + 1 lµ mét sè ch½n. 4/ " n ÎN , n3 - n chia hÕt cho 3. 
5/ " x ÎR , x < 3 Þ x2 < 9. 6/ $ x ÎR , 1 
1
2
2 
>
+x
x 
. 
7/ $ x ÎQ, Z
1
23
2 
Î
+
+
x
x 
. 8/ ,NxÎ" x2 chia hÕt cho 3 Þ x chia hÕt cho 3. 
Bµi 2. Cho { } { } { }1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9 ; 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ; 3 , 4 , 5 , 6 , 7A B C= = = . 
1/ T×m ; \ ; ; \A B B C A B A BÇ È . 
2/ Chøng minh: CBACBA \)()\( Ç=Ç . 
Bài 3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau. 
a/ A = {3k -1| k Î Z , -5 £ k £ 3} b/ B = {x Î Z / x
2 - 9 = 0} 
c/ C = {x Î R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x Î Z / |x |£ 3} 
e/ E = {x / x = 2k với k Î Z và -3 < x < 13} 
Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} 
 c/ C = {a, b, c, d} 
Bài 5: Tìm A Ç B ; A È B ; A \ B ; B \ A , biết rằng : 
a/ A = (2, + ¥) ; B = [-1, 3] 
b/ A = (-¥, 4] ; B = (1, +¥) 
c/ A = {x Î R / -1 £ x £ 5}B = {x Î R / 2 < x £ 8} 
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (Dành cho tự luận và trắc nghiệm) 
VẤN ĐỀ 1. Tìm tập xác định 
·Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: 
 D = { }x R f x coù nghóa( )Î . 
·Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp: 
1) Hàm số y = 
P x
Q x
( )
( ) : Điều kiện xác định: Q(x) ¹ 0. 
2) Hàm số y = R x( ) : Điều kiện xác định: R(x) ³ 0. 
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A Ì D. 
+ A.B ¹ 0 Û 
A
B
0
0
ì ¹
í ¹î . 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 2 
VẤN ĐỀ 2. Xét tính chẳn lẻ của hàm số 
 Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: 
 · Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. 
 · Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). 
 + Nếu f(–x) = f(x), "x Î D thì f là hàm số chẵn. 
 + Nếu f(–x) = –f(x), "x Î D thì f là hàm số lẻ. 
 Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với "x Î D thì –x Î D. 
 + Nếu $x Î D mà f(–x) ¹ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ. 
VẤN ĐỀ 3. Sự biến thiên của hàm số 
 Cho hàm số f xác định trên K. 
 · y = f(x) đồng biến trên K Û x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )" Î < Þ < 
 Û 
f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
-
" Î ¹ Þ >
- 
 · y = f(x) nghịch biến trên K Û x x K x x f x f x1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )" Î 
 Û 
f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
-
" Î ¹ Þ <
- 
VẤN ĐỀ 4. Hàm số bậc nhất 
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0) 
 · Tập xác định: D = R. 
 · Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. 
 + Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. 
 · Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b). 
 Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d¢): y = a¢x + b¢: 
 + (d) song song với (d¢) Û a = a¢ và b ¹ b¢. 
 + (d) trùng với (d¢) Û a = a¢ và b = b¢. 
 + (d) cắt (d¢) Û a ¹ a¢. 
2. Hàm số y ax b= + (a ¹ 0) 
bax b khi x
ay ax b
bax b khi x
a
( )
ì
+ ³ -ïï= + = í
ï- + < -
ïî
 Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b= + ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá 
đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. 
VẤN ĐỀ 5. Hàm số bậc hai y ax bx c2= + + (a ¹ 0) 
 · Tập xác định: D = R 
 · Sự biến thiên: 
 · Đồ thị là một parabol có đỉnh 
bI
a a
;
2 4
Dæ ö
- -ç ÷
è ø , nhận đường thẳng 
bx
a2
= - làm trục đối xứng, hướng bề 
lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 3 
 Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau: 
 – Xác định toạ độ đỉnh 
bI
a a
;
2 4
Dæ ö
- -ç ÷
è ø . 
 – Xác định trục đối xứng 
bx
a2
= - và hướng bề lõm của parabol. 
 – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các 
điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). 
 – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1) 
2
3
+
-
=
x
x
y 2) y = 12-3x 3) 
4
3
-
-
=
x
x
y 
 4) 
xx
x
y
--
=
3)1(
 5) = + + - 2 7y x x 6) y = 
5
2 3 10
x
x x
-
- -
Bµi 2. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra: 
 1) y x a x a2 1= - + - - ; K = (0; +¥). 2) x ay x a
x a
2 3 4
1
-
= - + +
+ -
; K = (0; +¥). 
 3) 
x ay
x a
2
1
+
=
- +
; K = (–1; 0). 4) y x a
x a
1 2 6= + - + +
-
; K = (–1; 0). 
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : 
 1) y = 4x3 + 3x 2) y = x4 - 3x2 - 1 3) 4 2 5y x x= - + 
Bµi 4. XÐt tÝnh ®ång biÕn; nghÞch biÕn cña hµm sè: 
 1) y
x
4
1
=
+
 2) ( )+¥Î= ;0; xxxy 3) ( )+¥Î
-
= ;2;
2
3
x
x
y 
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 
 a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y = 
2 5
3
x -
Bài 6: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b để: 
 a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3) 
 b/ Đi qua C(4, -3) và song song với đt y = -
3
2
x + 1 
 c/ Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2 
 d/ Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đt y = -
2
1
x + 5 
Bài 7: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau : 
 2a/ y = x - 4x+3 b/ y = -x2 – x + 2 c/ y = -x2 + 2x - 3 d) y = x2 + 2x 
 e/ y = x2 + 3x + 4 f/ y = 2x2 – x – 1 g/ y = - x2 + 4x + 5 h/ y = -x2 + 4x 
Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm các của các đồ thị hàm số sau: 
 1/ 1-= xy vµ 122 --= xxy (KQ: (3;2), (0;-1)) 
 2/ 3+-= xy vµ 142 +--= xxy (KQ: (-1;4), (-2;5)) 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 4 
 3/ 52 -= xy và 442 +-= xxy (KQ: Tiếp xúc tại (3;1)) 
Bài 9: Xác định parabol y= ax2+ bx+1 biết parabol đó: 
 a) Qua A(1;2) và B(-2;11) 
 b) Có đỉnh I(1;0) 
 c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2 
 d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0. 
Bài 10: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó: 
 a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3) 
 b/ Có đỉnh I(-2; -2) 
 c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1) 
 d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0) 
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận) 
VẤN ĐỀ 1. Khái niệm phương trình 
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) 
 · x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng. 
 · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. 
 · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. 
 Chú ý: 
 + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: 
 – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x
1
( ) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. 
 – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0. 
 + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 
 Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 
 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. 
 · (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2. 
 · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2. 
3. Phép biến đổi tương đương 
 · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương 
trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: 
 – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. 
 – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. 
 · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải 
kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. 
Bài 1: Giải các phương trình sau : 
1/ - + = + -3 1 3x x x 2/ 2 2 1x x- = - + 
3/ 1 2 1x x x- = - 4/ 23 5 7 3 14x x x+ - = + 
5/ 4 2x + = 6/ 1x - (x2 - x - 6) = 0 
+
=
23x 1 4
7/ 
x-1 x-1
+ +
=
2x 3 4
8/ x+4
x+4
x
Bài 2: Giải các phương trình sau : 
1/ 
-
- + =
- -
2 2 2
1
2 2
x
x
x x
 2/ 1 + 
3x
1
-
 = 
3x
x27
-
-
 3/ 
2 1 2
2 ( 2)
x
x x x x
-
- =
+ -
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 5 
4/ - - =4 28 9 0x x 5/ 
2 2
10
2
x x
x
+ -
=
+
 6/ 3 2 0x x- + = 
VẤN ĐỀ 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
 Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: 
 – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. 
 – Bình phương hai vế. 
 – Đặt ẩn phụ. 
 · Dạng 1: f x g x( ) ( )=
C
f x
f x g x
f x
f x g x
1
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
éì ³
íê =îÛ ê
ì <êíê - =îë
C g x
f x g x
f x g x
2 ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
ì ³
ïÛ é =í
êï = -ëî
 · Dạng 2: f x g x( ) ( )= [ ] [ ]
C
f x g x
1 2 2
( ) ( )Û = 
C
f x g x
f x g x
2 ( ) ( )
( ) ( )
é =Û ê = -ë 
 · Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )+ = 
 Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. 
VẤN ĐỀ 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn 
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: 
 – Nâng luỹ thừa hai vế. 
 – Đặt ẩn phụ. 
 Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. 
Dạng 1: f x g x( ) ( )= Û [ ]f x g xg x
2
( ) ( )
( ) 0
ìï =í
³ïî
Dạng 2: 
f x g xf x g x
f x hay g x
( ) ( )( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
ì == Û í ³ ³î 
Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0+ + = Û 
t f x t
at bt c2
( ), 0
0
ìï = ³
í
+ + =ïî
Bài 3: Giải các phương trình sau : 
1/ 2 1 3x x+ = - 2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1 
4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 5/ x - 5x2 - = 4 6/ 2 4 1- = -x x 
7/ 2 5 3 2x x+ = - 8/ 2 7 10 3 1x x x- + = - 9/ 3 2 2 2- = - +x x 
10/ 2 3 1 7 2x x x- - + = 11/ 2 2 9 3x x x x+ - - = + 12/ 1x9x3 2 +- = x - 2 
13/ 1x9x3 2 +- = x - 2 14/ x - 5x2 - = 4 
VẤN ĐỀ 4. Phương trình bậc nhất 
ax + b = 0 (1) 
Hệ số Kết luận 
a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất bx
a
= - 
a = 0 b ¹ 0 
(1) vô nghiệm 
b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 6 
Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m : 
1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2 3/ (m2 + m)x = m2 - 1 
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau : 
a. 
2 3 5
3 3
x y
x y
+ =ì
í + = -î
 b. 
2 3
4 2 6
x y
x y
- + =ì
í - = -î
 c.
2 3
2 4 1
x y
x y
+ = -ì
í- - =î
 d.
7 4
41
3 3
3 5
11
5 2
ì + =ïï
í
ï - = -
ïî
x y
x y
VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai 
1. Cách giải 
 Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 
c
a . 
 – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = 
c
a
- . 
 – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với 
bb
2
¢ = . 
2. Định lí Vi–et 
 Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c2 0+ + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ 
thức 
bS x x
a1 2
= + = - và 
cP x x
a1 2
= = . 
Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0. Định m để phương trình: 
a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm 
c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. 
d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại 
e/ Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f/ Có hai nghiệm thoả x1=3x2 
Bài 7: Cho pt x2 + (m - 1)x + m + 2 = 0 
 a/ Giải phương trình với m = -8 
 b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó 
 c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu 
 d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9 
ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) 
b ac2 4D = - Kết luận 
D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bx
a1,2 2
D- ±
= 
D = 0 (1) có nghiệm kép bx
a2
= - 
D < 0 (1) vô nghiệm 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 7 
PHẦN II: HÌNH HỌC 
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận) 
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ . 
1. Các định nghĩa 
 · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB
uuur
. 
 · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. 
 · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB
uuur
. 
 · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0
r
. 
 · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 
 · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 
 · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. 
 Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,...
rr
 để biểu diễn vectơ. 
 + Qui ước: Vectơ 0
r
 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 Mọi vectơ 0
r
 đều bằng nhau. 
2. Các phép toán trên vectơ 
 a) Tổng của hai vectơ 
 · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
. 
 · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
. 
 · Tính chất: a b b a+ = +
r rr r
; 
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
r rr r r r
; a a0+ =
rr r
 b) Hiệu của hai vectơ 
 · Vectơ đối của a
r
 là vectơ b
r
 sao cho a b 0+ =
r rr
. Kí hiệu vectơ đối của a
r
 là a-
r
. 
 · Vectơ đối của 0
r
 là 0
r
. 
 · ( )a b a b- = + -
r rr r
. 
 · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB- =
uuur uuur uuur
. 
 c) Tích của một vectơ với một số 
 · Cho vectơ a
r
 và số k Î R. ka
r
 là một vectơ được xác định như sau: 
 + ka
r
 cùng hướng với a
r
 nếu k ³ 0, ka
r
 ngược hướng với a
r
 nếu k < 0. 
 + ka k a.=
r r
. 
 · Tính chất: ( )k a b ka kb+ = +
r rr r
; k l a ka la( )+ = +
r r r
; ( )k la kl a( )=
r r
 ka 0=
rr
 Û k = 0 hoặc a 0=
rr
. 
 · Điều kiện để hai vectơ cùng phương: ( )a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :¹ Û $ Î =
r r rr r r
 · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB kAC=
uuur uuur
. 
 · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a b,
rr
 và x
r
 tuỳ ý. 
Khi đó $! m, n Î R: x ma nb= +
rr r
. 
 Chú ý: 
 · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
 M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA MB 0+ =
uuur uuur r
 Û OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
 (O tuỳ ý). 
 · Hệ thức trọng tâm tam giác: 
 G là trọng tâm DABC Û GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
 Û OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
 (O tuỳ ý). 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 8 
II/ TỌA ĐỘ 
1. Trục toạ độ 
 · Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e
r
. Kí hiệu 
( )O e; r . 
 · Toạ độ của vectơ trên trục: u a u a e( ) .= Û =
r r r
. 
 · Toạ độ của điểm trên trục: M k OM k e( ) .Û =
uuur r
. 
 · Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a AB a e.= Û =
uuur r
. 
 Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e
uuur r
 thì AB AB= . 
 Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e
uuur r
 thì AB AB= - . 
 + Nếu A(a), B(b) thì AB b a= - . 
 + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB BC AC+ = . 
2. Hệ trục toạ độ 
 · Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i j,
r r
. O là gốc toạ độ, 
Ox là trục hoành, Oy là trục tung. 
 · Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u x y u x i y j( ; ) . .= Û = +
r rr r
. 
 · Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y OM x i y j( ; ) . .Û = +
uuur r r
. 
 · Tính chất: Cho a x y b x y k R( ; ), ( ; ),¢ ¢= = Î
rr
, A A B B C CA x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; ) : 
 + 
x xa b
y y
ì ¢ï == Û í ¢=ïî
rr
 + a b x x y y( ; )¢ ¢± = ± ±
rr
 + ka kx ky( ; )=
r
 + b
r
 cùng phương với a 0¹
rr
 Û $k Î R: x kx vaø y ky¢ ¢= = . 
 Û 
x y
x y
¢ ¢
= (nếu x ¹ 0, y ¹ 0). 
 + B A B AAB x x y y( ; )= - -
uuur
. 
 + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: A B A BI I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= = . 
 + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B CG G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= = . 
 + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: A B A BM M
x kx y ky
x y
k k
;
1 1
- -
= =
- - . 
 ( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA kMB=
uuur uuur
). 
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh : 
 )a AB DC AC DB+ = +
uur uuur uuur uur
 )b AB ED AD EB+ = +
uur uur uuur uur
 )c AB CD AC BD- = -
uur uur uuur uur
 )d AD CE DC AB EB+ + = -
uuur uur uuur uur uur
 ) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
uuur uuur uuur uur uuur uuur
e ) + + = + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
f AD BE CF AE BF CD AF BD CE 
Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr 
 ) 2 0a RM RN RP+ + =
uuur uuur uur r
 + + = "
uuur uuur uur uur
) 2 4 , bÊt k×b ON OM OP OR O 
 c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 9 
 2MS MN PM MP+ - =
uuur uuur uuur uuur
 d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: ON OS OM OP+ = +
uuur uuur uuuur uuur
 ; 
 4ON OM OP OS OI+ + + =
uuur uuuur uuur uuur uur
Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng: 
 a) 2CA DB CB DA MN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
 b) 4AD BD AC BC MN+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
 c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( ) 3+ + + =
uur uur uur uur uur
AB AI NA DA DB 
Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng: 
 ) 0+ + =
uuur uur uur r
a MQ NS PI 
b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm . 
 c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm 
đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có: 
 ' ' '+ + = + +
uuur uuuur uuuruuur uuur uur
ON OM OP ON OM OP 
Bài 5: Gọi G và G¢ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A B C¢ ¢ ¢ . 
 Chứng minh rằng 3AA BB CC GG¢ ¢ ¢ ¢+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA, 
gọi K là trung điểm của MN 
1 1
) CMR: AK= AB + AC
4 6
a
uuur uuur uuur
1 1
 b) KD= AB + AC
4 3
uuur uuuur uuur
 Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : 
Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ , ,
uuur uur uuur
MN NP PM 
theo hai véctơ u MK=
r uuuur
, =
r uuur
v NQ 
 b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho 3SN SP=
uuur uur
. Hãy phân 
tích véctơ MS
uuur
 theo hai véctơ u MN=
r uuuur
, v MP=
r uuur
 c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là 
điểm trên cạnh MN sao cho MH = 1
5
MN .Hãy phân tích các véctơ , , ,
uur uuur uur uuur
MI MH PI PH theo hai véctơ 
u PM=
r uuuur
, v PN=
r uuur
Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4) 
a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng 
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB 
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC 
d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình Bình hành 
e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN 
f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam 
giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK. 
g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C. 
h) 3 ; 2 5T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho = = -
uuur uuur uuur uuur
AB BU AC BU 
k) , theo 2 ; theo 2 AB
uuur uuur uuur uuur uuur
H·y ph©n tich vec t¬ AU vµ CB vect¬ AC vµ CN 
Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA, 
AB. Tìm toạ độ A, B, C. 
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm: 
 a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng. 
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng. 
 c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) không thẳng hàng. 
Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tìm tọa độ: 
 a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng. 
 b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 10 
O x
y
M
x
y
1-1
O
A
B
ar br
ar
b
r
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG 
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O 
1. Định nghĩa 
 Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = ·xOM . Giaû söû M(x; y). 
 sina = y (tung ñoä) 
 cosa = x (hoaønh ñoä) 
 tana = y tung ñoä
x hoaønh ñoä
æ ö
ç ÷
è ø
(x ¹ 0) 
 cota = 
x hoaønh ñoä
y tung ñoä
æ ö
ç ÷
è ø (y ¹ 0) 
 Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0. 
 – tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800. 
2. Tính chất 
 · Góc phụ nhau · Góc bù nhau 
0
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
a a
a a
a a
a a
- =
- =
- =
- =
0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
a a
a a
a a
a a
- =
- = -
- = -
- = -
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 
II/ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ 
1. Góc giữa hai vectơ 
 Cho a b, 0¹
r rr
. Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b,= =
uuur uuur rr
. 
 Khi đó ( )
·a b AOB, =rr với 00 £ ·AOB £ 1800. 
 Chú ý: 
 + ( )a b,
rr
 = 900 Û a b^
rr
 + ( )a b,
rr
 = 00 Û a b,
rr
 cùng hướng 
 + ( )a b,
rr
 = 1800 Û a b,
rr
 ngược hướng 
 + ( ) ( )a b b a, ,=
r rr r
2. Tích vô hướng của hai vectơ 
 · Định nghĩa: ( )a b a b a b. . .cos ,=
r r rr r r
. 
 Đặc biệt: a a a a
22. = =r r r r . 
 00 300 450 600 900 1800 
sina 0 
1
2
 2
2
 3
2
 1 0 
cosa 1 3
2
 2
2
1
2
 0 –1 
tana 0 3
3
 1 3 || 0 
cota || 3 1 3
3
 0 || 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 11 
 · Tính chất: Với a b c, ,
rr r
 bất kì và "kÎR, ta có: 
 + . .a b b a=
r rr r
; ( ) . .a b c a b a c+ = +
r rr r r r r
; 
 ( ) ( ) ( ). . .ka b k a b a kb= =
r r rr r r
; 2 20; 0 0a a a³ = Û =
rr r r
. 
 + ( )2 2 22 .a b a a b b+ = + +
r r rr r r
; ( )2 2 22 .a b a a b b- = - +
r r rr r r
; 
( )( )2 2a b a b a b- = - +
r r rr r r
. 
 + .a b
rr
> 0 Û ( ),a b
rr
 nhoïn + .a b
rr
< 0 Û ( ),a b
rr
 tuø 
 .a b
rr
= 0 Û ( ),a b
rr
 vuoâng. 
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng 
 · Cho a
r
 = (a1, a2), b
r
 = (b1, b2). Khi đó: a b a b a b1 1 2 2. = +
rr
. 
 · a a a
2 2
1 2= +
r
; 
a b a b
a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
+
=
+ +
rr
; a b a b a b1 1 2 2 0^ Û + =
rr
 · Cho A A B BA x y B x y( ; ), ( ; ) . Khi đó: B A B AAB x x y y2 2( ) ( )= - + - . 
Bài tập 
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
 a) a b c0 0 0sin 0 cos0 sin 90+ + b) a b c0 0 0cos90 sin 90 sin180+ + 
 c) a b c2 0 2 0 2 0sin 90 cos90 cos180+ + d) 2 0 2 0 2 03 sin 90 2 cos 60 3tan 45- + - 
 e) a a a2 2 0 0 2 0 24 sin 45 3( tan 45 ) (2 cos45 )- + 
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
 a) x xsin cos+ khi x bằng 00; 450; 600. b) x x2sin cos2+ khi x bằng 450; 300. 
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: 
 a) AB AC.
uuur uuur
 b) AC CB.
uuur uuur
 c) AB BC.
uuur uuur
Baøi 4. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: 
 a) AB AC.
uuur uuur
 b) AC CB.
uuur uuur
 c) AB BC.
uuur uuur
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
 a) Chứng minh: DABC DBCA DC AB. . . 0+ + =
uuur uuur uuur uur uuur uuur
. 
 b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". 
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: 
 BC AD CABE ABCF. . . 0+ + =
uuur uuur uur uuur uuur uuur
. 
Baøi 7. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). 
 a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. 
 b) Tìm toạ độ điểm M biết CM AB AC2 3= -
uuur uuur uuur
. 
 c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Baøi 8. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). 
 a) Tính AB AC.
uuur uuur
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 
 b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. 
 d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. 
 e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. 
 f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. 
 g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. 
 h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 12 
Bổ sung bài tập nâng cao: 
(Học sinh ban cơ bản có thể làm) 
Bài1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 - 4x + 3. 
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) của hàm số. 
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d: y = x - 1. 
Bài 2: Cho parabol (P):y = ax2 + 2x + c 
 a)Tìm parabol (P) biết rằng (P) cắt trục tung tại tung độ y = 2 và qua điểm A(-1;-1) 
 b)Vẽ parabol (P) vừa tìm được ở câu a). 
Bài 3: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 + bx + c. 
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi a = 4, b = 3 
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1. 
Bài 4: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( 0a ¹ ). 
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1). 
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. 
Bài 5: Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c ( 0a ¹ ). 
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh S(2; 3). 
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. 
 Bài 6: a) Giải và biện luận theo m phương trình: 2 4 2
1
mx m
x
- +
=
+
 b) Giải và biện