Đề cương ôn tập học kỳ II, môn Toán lớp 11 THPT
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề cương ôn tập học kỳ II, môn Toán lớp 11 THPT, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số (u n) có giới hạn 0. Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, "n và lim vn = 0 thì limun = 0 Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: , , , với |q| < 1 2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = +¥ thì limun limvn = L lim(unvn) L >0 L < 0 L >0 L < 0 limun=L limvn Dấu của vn L >0 0 + L > 0 - L < 0 + L < 0 - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số: +) Nếu thì + ∞ L > 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ L < 0 - ∞ - ∞ + ∞ Dấu của g(x) L > 0 0 + + ∞ - - ∞ L < 0 + - ∞ - + ∞ Chú ý khi gặp các dạng vô định: ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp; 3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho CSN (un) lùi vô hạn (với ), ta có : 4/ Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0: +) Tính f(x0) +) Tìm (nếu có) - Nếu không tồn tạiÞ f(x) gián đoạn tại x0. - Nếu Þ f(x) gián đoạn tại x0 - Nếu Þ f(x) liên tục tại x0. 5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM 1/ Tìm đạo hàm của hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm: +) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu thì +) Đạo hàm của các hàm số lượng giác: 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 3/ Vi phân - Vi phân của hàm số tại nột điểm: - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: - Vi phân của hàm số: hay 4/ Đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’. Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’. II. BÀI TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0: Bài 2: Tìm các giới hạn sau: với ĐS: a) -3 b) +¥ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1 Bài 3 : Tính các giới hạn sau: ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) +¥ d) +¥ e) - ¥ f) - ¥ g) 0 h) +¥ i) -¥ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3 Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: a) b) ĐS: a) 2/3 b) 3/2 Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ): a) b) c) d) f) ĐS: a) -1/2 b) -¥ c) - ¥ d) -¥ e) 0 f) -1/5 Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.¥): a) b) c) d) e) f) ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) + ¥ d) +¥ e) - ¥ f) + ¥ Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên): a) b) c) d) e) f) ĐS: a) - ¥ b) - ¥ c) + d) + e) 1 f) + Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ): a/ b/ c) d) e) f) g) h) i) k) ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0 Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ¥): a) b) c) d/ ĐS: a) -1 b) 0 c) +¥ d) 0 Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ¥ - ¥): a) b) c) d) ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng ) a) b) c) d) ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n! Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) tại x0 = -2 b) tại x0 = 3 c) tại x0 = 1 d) tại x0 = 3 e/ tại x0 = f) tại x0 = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: a) b) c) d) ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 2), (2; +¥) và bị gián đọan tại x = 2. c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 1), (1; +¥) và bị gián đọan tại x = 1. Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0. a) với x0 = -1 b) với x0 = 1 c) với x0 = 2 d) với x0 = 1 ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 15: Chứng minh rằng phương trình: a) có ít nhất một nghiệm. b) có ít nhất một nghiệm. c) có ít nhất một nghiệm d) có ít nhất 2 nghiệm. e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; p/3) f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm. g) có 3 nghiệm phân biệt. h) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m. i) luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) b) c) d) Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) y = (x2-+1) 27) Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) Bài 4: Cho hai hàm số : và Chứng minh rằng: . Bài 5: Cho . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 ĐS: a) b) Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 Bài 7: Cho hàm số Bài 8: a) Cho hàm số: . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2 b) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ c) Cho hàm số . Chứng minh rằng: Bài 9: Chứng minh rằng , biết: a/ b/ Bài 10: Cho hàm số (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1. Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2. Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1. c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =x – 4. Bài 13: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1 b) Tại điểm có tung độ bằng c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau: a) b) c) d) e) Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) b) y = sinx ĐS: a) b) B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng . Phương pháp 2: ( lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). Phương pháp 3: Chứng minh hoặc Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a). Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P). Phương pháp 1: Chứng minh: d ^ a và d ^ b với a Ç b = M; a,b Ì (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ^ (P) Phương pháp 3: Chứng minh: d Ì (Q) ^ (P), d ^ a = (P) Ç (Q). Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) Ç (R) và (Q) ^(P), (R) ^ (P). Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. Phương pháp 1: Chứng minh (P) É a ^ (Q). Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ^ (Q). Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ^ (Q). Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b. Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ Ç b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’). Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P). Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là j +) Nếu d ^ (P) thì j = 900. +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: j = (d,d’) Dạng 6: Tính góc j giữa hai mp (P) và (Q). Phương pháp 1: Xác định a ^ (P), b ^ (Q). Tính góc j = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P) Ç (Q) = d Tìm (R) ^ d Xác định a = (R) Ç (P) Xác định b = (R) Ç (Q) Tính góc j = (a,b). Dạng 7: Tính khoảng cách. Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P). - d(M, (P)) = AH Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó: d(D, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc D). Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a ^ b : Dựng (P) É a và (P) ^ b Xác định A = (P) Ç b Dựng hình chiếu H của A lên b AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: Dựng (P) É a và (P) // b. Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ Ç a = H Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b. +) Phương pháp 2: Dựng đt (P) ^ a tại I cắt b tại O Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). Kẻ IK ^ b’ tại K. Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H. Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b. II. BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC). Chứng minh: BC ^ (SAB). Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ^ (ABCD). Chứng minh rằng: BC ^ (SAB). SD ^ DC. SC ^ BD. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: BC ^ AD. Gọi AH là đường cao của DADI. Chứng minh: AH ^ (BCD). Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = . Chứng minh SO ^ (ABCD). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK^SD Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD). Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ^ CD, BC ^ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh: H là trực tâm DBCD. AC ^ BD. Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA ^ (ABCD). Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO^ (ABCD). Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. Chứng minh BC ^ (SAB), BD ^ (SAC). Chứng minh SC ^ (AHK). Chứng minh HK ^ (SAC). Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ^ (ABC). Gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh BC ^ (SAI). b) Tính SI. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC) và SA = a, AC = 2a. Chứng minh rằng: (SBC) ^ (SAB). Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC). Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC. 1. CMR: BC(OAI). 2. CMR: (OAI)(OHK). 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS: 5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS: 6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: 7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai đường ấy. ĐS: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và . 1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2. CMR: mp (SAC)mp(SBD) . 3. Tính góc giữa SC và mp (ABCD), góc giữa SC và mp (SAB). ĐS: 4. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD). ĐS: 6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: 7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS: Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. 1. CMR: BD và . 2. CMR: AD. 3. CMR: (SAC)(SBD). 4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS: và SC = 5. Tính sin của góc giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD). ĐS: và . 6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS: 7. Tính góc giữavà (ABCD). ĐS: 8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy. ĐS: 9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS: Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a. 1. CMR: BC mp(SAB). 2. CMR: CD. 3. Tính góc giữa SC và (ABCD), góc giữa SC và (SAB), góc giữa SD và (SAC). ĐS: 4. Tính tang của góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD). ĐS: 5. Tính khoảng cách giữa SA và BD. ĐS: 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). ĐS: 7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D. Từ đó tính MS và NS. ĐS: , Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. 1. CMR: BD và A’C. 2. CMR: . 3. CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’)(ACC’A’). 4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS: 5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS: 6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS: 7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS: 8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS: 9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS:
File đính kèm:
DE CUONG ON HK2 TOAN 11.doc
