Đề cương ôn tập học kỳ II – môn Toán lớp 9

A.ĐẠI SỐ
I. LÝ THUYẾT
Caâu1: Neâu tính chaát cuûa haøm soá y=axvaø nhaän xeùt veà ñoà thò cuûa haøm soá y=ax
AÙp dụng: Haøm soá y= ñoàng bieán khi naøo, nghòch bieán khi naøo ?
Haøm soá y= -2x2 ñoàng bieán khi naøo, nghòch bieán khi naøo ?
Caâu2: Ñònh nghóa phöông trình baäc hai moät aån soá.
AÙp dụng: Phöông trình mx+ 5x - 3 = 0 laø phöông trình baäc hai moät aån khi naøo ?
Caâu3: Vieát coâng thöùc nghieäm cuûa phöông trình baäc hai 
AÙp dụng: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình mx+ mx + 4 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät ?
Caâu4: Vieát coâng thöùc nghieäm thu goïn cuûa phöông trình baäc hai?
AÙp dụng: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình x- 6x + 4m= 0 coù nghieäm keùp?
Caâu5: Phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù Vi-EÙt 
AÙp dụng: Cho phöông trình : 2x2 – 6x + 1 = 0 coù hai nghieäm laø x1 vaø x2
Khoâng giaûi phöông trình haõy tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc : vaø 
Caâu6: neâu nghieäm cuûa phöông trình ax+ bx + c = 0 khi a+b+c=0 vaø khi a-b+c=0 
AÙp dụng: Khoâng tính haõy neâu nghieäm cuûa caùc phöông trình sau: x2 – 5x + 4= 0 vaø 2x2 –7x - 9 = 0 
Caâu7: Neâu ñònh nghóa phöông trình truøng phöông, Caùch giaûi phöông trình truøng phöông ?
AÙp dụng: Giải phương trình sau: x4 +5x2 – 6 = 0
Caâu8 : Haõy neâu caùch phaân tích tam thöùc baäc hai ax+ bx + c thaønh nhaân töû khi bieát tam thöùc coù hai nghieäm x1 vaø x2 . AÙp dụng: Haõy phaân tích tam thöùc 2x2 –7x - 9 thaønh nhaân töû ?
II. BÀI TẬP
BAØI1) Giaûi caùc phöông trình sau:
7x2 + 5x =0
-3x2 + 15=0
5x2 – x + 2 = 0
-3x2 +2x +8 =0
2x2 – 5x +1 =0
x= 0 
(1-
 -2x 
(x+x+1) . (x+x+2) -12= 0 (*)
(y=6 (*)
(x+1).(x+2).(x+3).(x+4)=8 (*)
 (*)
( (*)
(x (*)
 (*)
BAÌ2) a) Veõ ñoà thò haøm soá y= ; b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì ñöôøng thaúng y= -x+m caét pa rabol y=taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B ; c) Tính toïa ñoâï A vaø B khi m=
BAØI3) Cho (P): y= vaø ñöôøng thaúng y= x+m (d) .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì: 
(P) khoâng caét (d) 
(p) caét (d) taïi hai ñieåm phaân bieät 
(d) tieáp xuùc vôùi (P) 
 BAØI4) Cho haøm soá y= a x
a) Xaùc ñònh a bieát ñoà thò ñi qua ñieåm A(3;3). Veõ ñoà thò haøm soá vöøa xaùc ñònh ñöôïc 
b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng coù heä soá goùc m (m0) vaø ñi qua ñieåm (1;0) 
c) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi pa ra bol y=. Veõ ñöôøng thaúng trong tröôøng hôïp ñoù vaø tính toïa ñoäï cuûa tieáp ñieåm 
BAØI5:* Cho (P): y=. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi (P)Tìm toïa ñoä tieáùp ñieåm ,veõ ñöôøng thaúng vaø(P) 
BAØI 6: Cho phöông trình mx-2(m-1)x +(m+1) = 0 (1) (m laø tham soá )
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù hai nghieäm phaân bieät 
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát
BAØI7: Cho phöông trình 4x-2(a+b)x +ab = 0 (1)
a) Giaûi phöông trình (1) khi a=1 ; b= 
b) CMR: Phöông trình (1) luoân coù nghieäm vôùi moïi a,b
c*) Goïi x vaø x laø 2 nghieäm cuûa phöông trình (1) . CMR: 
BAØI8 * : Cho phöông trình 2( (m laø tham soá )
a) CMR phöông trình luoân coù nghieäm x=1 
b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm keùp 
BAØI9) Cho phöông trình x-4mx+3m+1= 0 (m laø tham soá )
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm x=1
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm keùp . Tìm nghieäm keùp öùng vôùi m vöøa tìm 
 c*) Bieát raèng phöông trình coù 2 nghieäm x vaø x .CMR: 4(xx-1)=3x+3x
BAØI 10: Cho phöông trình x-10x+m= 0 (m laø tham soá )
 Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng -2. Tìm nghieäm coøn laïi roài tìm m 
BAØI 11) Cho phöông trình 2x+mx-3= 0 (m laø tham soá )
Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng tìm nghieäm coøn laïi roài tìm m
BAØI12*: Cho phöông trình x-(m+1)x+m= 0 (m laø tham soá )
Tìm m ñeå toång laäp phöông caùc nghieäm cuûa phöông trình baèng 9
Giaûi phöông trình trong tröôøng hôïp toång bình phöông caùc nghieäm ñaït giaù trò nhoû nhaát 
BAØI13: Cho phöông trình m x-(2m+3)x+m-4= 0 (m laø tham soá )
Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät
 b*)Tìm heä thöùc lieân heä giöõa hai nghieäm maø khoâng phuï thuoäc vaøo m trong tröôøng hôïp pt coù hai nghieäm
BAØI14*: Cho phöông trình x-ax+a-1= 0 coù 2 nghieäm x vaø x 
Khoâng giaûi phöông trình haõy tính M= . Tìm heä thöùc lieân heä giöõa x vaø x maø khoâng phuï thuoäc vaøo m
Tìm a ñeå toång caùc bình phöông 2 nghieäm ñaït giaù trò nhoû nhaát
Baøi 15*) Cho phöông trình baäc hai x2 – ( m+1)x + m =0 coù hai nghieäm laø x1 vaø x2 . Khoâng giaûi phöông trình haõy tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau theo m
 a) ; b) ; c) (x1 + x2 )3 ; d) x1 –x2 ; e) ; e) x13 + x23 ; f) x13 - x23 
BAØI16: Cho phaân thöùc A= a) Ruùt goïn A ; b) Tìm x ñeå A 
BAØI17* Cho phöông trình ( m-2) x-2mx+2m-3= 0. Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm keùp. Tính nghieäm keùp aáy öùng vôùi m vöøa tìm
BAØI18* : CMR phöông trình ax+(ab+1)x+b= 0 luoân coù nghieäm vôùi moïi avaø b. Tìm avaø b ñeå phöông trình coù moät nghieäm duy nhaát x=
BAØI19*) Cho haøm soá y=(m+1) x-2m-1 (d) 
CMR ñoà thò haøm soá luoân caét ñoà thò haøm soá y= x-3x+3 (P)
CMR ñöôøng thaúng (d) luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh
Trong tröôøng hôïp (d) tieáp xuùc vôùi (P).Tính toïa ñoä tieáp ñieåm 
BAØI20*
a)Haõy laäp phöông trình baäc hai ñeå caùc nghieäm cuûa noù laø nhöõng soá 
b)Vôùi giaù trò naøo cuûa a toång caùc nghieäm cuûa phöông trình x= 0 baèng 0
c) Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y=x+m+1 taïo vôùi truïc toïa ñoä moät tam giaùc coù dieän tích baèng 8
BAØI21*) Cho phöông trình 3x+7x+4 = 0 khoâng giaûi phöông trình , goïi laø caùc nghieäm cuûa noù . Haõy laäp phöông trình baäc hai coù heä soá baèng soá vaø caùc nghieäm cuûa noù laø 
BAØI22*) Cho phöông trình ax+bx+c= 0 (a0) coù hai nghieäm x vaø x 
a) Tính theo a,b,c caùc bieåu thöùc A= (5) ; B= 
b) cho a=m ; b= -2(m+2) ; c= 3m+4.Tìm heä thöùc lieân heä giöõa x vaø x khoâng phuï thuoäc vaøo m
BAØI 23*) Cho phöông trình x+2x-5 = 0 coù 2nghieäm x vaø x khoâng giaûi phöông trình haõy laäp phöông trình baäc hai coù caùc nghieäm laø 
BAÌ24*) Xaùc ñònh heä soá a,b cuûa phöông trình x+ax+b= 0 . bieát raèng hieäu caùc nghieäm soá baèng 5 vaø hieäu caùc laäp phöông cuûa chuùng baèng 35
BAØI25*) Cho phöông trình x-10x-m = 0 (1) 
CMR pt(1) luoân coù 2 nghieäm traùi daáu vôùi moïi m0
CMR nghieäm cuûa pt(1) laø nghòch ñaûo caùc nghieäm cuûa pt mx+10x-1 = 0 vôùi m0
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì pt(1) coù hai nghieäm thoûa maõn heä thöùc 6x + x =5 
BAØI26) a) Tìm hai soá x, y bieát x=13 vaø x.y=6 
b*)Cho pt baäc hai x+bx+c= 0 coù hai nghieäm x vaø x khaùc 0 .laäp pt baäc hai coù hai nghieäm laø
BAØI 27 *) Cho pt x-(m-1)x- m +m-2= 0 
CMR pt luoân coù hai nghieäm traùi daáu vôùi moïi m
Goïi hai nghieäm cuûa pt la ø x vaø x. Tìm giaù trò cuûa m ñeå ñaït giaù trò nhoû nhaát 
BAØI28) Cho pt x+px-16= 0 
CMR pt luoân coù hai nghieäm phaân bieät 
* Xaùc ñònh p ñeå tæ soá caùc nghieäm cuûa pt baèng -4
BAØI29*) Cho pt 2x+(m+2)x-7+ m = 0 Tìm giaù trò döông cuûa m ñeå pt coù hai nghieäm traùi daáu
Vaø nghieäm aâm coù GTTÑ baèng nghòch ñaûo cuûa nghieäm kia
BAØI30*) Cho caùc pt ax+2bx+c= 0 ; bx+2cx+a= 0 ; cx+2ax+b= 0 ( a,b,c khaùc 0). CMR ít nhaát moät trong caùc pt treân coù nghieäm
BAØI31*) Tìm m ñeå hai pt x+mx+1= 0 (1) vaø x-(m+1)x-2m= 0 (2) coù ít nhaát moät nghieäm chung
BAØI32*) a) Cho pt m x-2(m-2)x +3(m-2)= 0 tìm m ñeå pt coù hai nghieäm cuøng daáu 
b) Cho pt 3 m x+2(2m+1)x +m= 0 tìm m ñeå pt coù hai nghieäm aâm
Toaùn laäp phöông trình
Daïng1: Toaùn coâng vieäc laøm (Laøm chung, laøm rieâng)
Baøi1) Hai ñoäi coâng nhaân cuøng laøm moät coâng vieäc thì xong trong 4 giôø .Neáùu moãi ñoäi laøm moät mình thì ñeå laøm xong coâng vieäc aáy,ñoäi thöù nhaát caàn thôøi gian ít hôn ñoäi thöù hai laø 6 giôø. Hoûi moãi ñoäi laøm moät mình xong coâng vieäc aáy trong bao laâu?
Baøi2) Hai lôùp 9a vaø 9b cuøng laøm trong 4 giôø thì ñöôïc 2/3 coâng vieäc . neáu laøm rieâng thì moãi lôùp phaûi maát bao laâu môùi xong coâng vieäc . Bieát raèng lôùp 9a laøm xong tröôùc lôùp 9b laø 5 giôø
Baøi3*) Hai ñoäi xaây döïng cuøng laøm chung moät coâng vieäc döï ñònh laøm xong trong 12 ngaøy. Hoï cuøng laøm vôùi nhau trong 8 ngaøy thì ñoäi I chuyeån ñi laøm vieäc khaùc ,ñoäi II tieáp tuïc laøm vôùi naêng suaát gaáp ñoâi neân ñoäi II ñaõ laøm xong phaàn coâng vieäc coøn laïi trong 3 ngaøy röôõi . hoûi neáu moãi ñoäi laøm moät mình thì bao nhieâu ngaøy xong coâng vieäc treân 
Daïng2: Toaùn chuyeån ñoäng
Baøi4)Moät oâtoâ döï ñònh ñi quaõng ñöôøng AB daøi 60km trong thôøi gian nhaát ñònh. Treân nöõa quaõng ñöôøng ñaàu do ñöôøng xaáu neân thöïc teá oâtoâ chæ ñi vôùi vaän toác ít hôn döï ñònh 6 km/h. ñeå ñeán B ñuùng döï ñònh oâtoâ phaûi ñi quaõng ñöôøng coøn laïi moãi giôø nhieàu hôn döï ñònh 10 km. tìm thôøi gian döï ñònh ñi 60 km
Baøi5) Hai tænh A vaø B caùch nhau 240 km. hai oâtoâ cuøng xuaát phaùt ñi töø A ñeán B . oâtoâ thöù 2 xuaát phaùt sau oâtoâ thöù nhaát 1 giôø, vaän toác oâtoâ thöù 2 hôn vaän toác oâtoâ thöù nhaát laø 10 km/h. oâ toâ thöù 2 ñuoåi kòp oâ toâ thöù nhaát ôû chính giöõa quaõng ñöôøng. Tìm vaän toác cuûa moãi oâ toâ.
Baøi6) Moät ca noâ xuoâi khuùc soâng daøi 80 km roài ngöôïc veà 48 km. thôøi gian xuoâi doøng nhieàu hôn thôøi gian ngöôïc doøng laø 1 giôø vaø vaän toác khi xuoâi doøng lôùn hôn khi ngöôïc doøng laø 4 km/h . tìm vaän toác ca noâ khi xuoâi doøng vaø khi ngöôïc doøng. 
Baøi7) Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B daøi 78km. Sau ñoù 1 giôø ngöôøi thöù hai ñi xe maùy töø B ñeán A. Hai ngöôøi gaëp nhau taïi C caùch B 36 km.Tính thôøi gian moãi ngöôøi ñaõ ñi töø luùc khôûi haønh ñeán luùc gaëp nhau, bieát raèng vaän toác ngöôøi thöù hai lôùn hôn vaän toác ngöôøi thöù nhaát laø 45 km/h
Baøi8) Hai ngöôøi ñi xe ñaïp khôûi haønh 1 luùc töø A ñeán B caùch nhau 66km vaø ñi ngöôïc chieàu nhau. Sau 3 giôø hoï gaëp nhau.Tính vaän toác cuûa moãi ngöôøi, bieát raèng thôøi gian ñi heát quaõng ñöôøng AB cuûa 2 ngöôøi hôn keùm nhau 1 giôø 6 phuùt
Baøi9*) Hai ngöôøi ñi xe ñaïp coù cuøng vaän toác, khôûi haønh cuøng moät luùc töø A ñeán B. Sau khi ñi ñöôïc 2/3 ñoaïn ñöôøng, ngöôøi thöù nhaát bò hoûng xe phaûi döøng laïi 20 phuùt ñeå söûa, sau ñoù ñoùn oâ toâ trôû veà A, coøn ngöôøi thöù hai vaãn tieáp tuïc ñi vaø ñeán B sau ngöôøi thöù nhaát ñeán A laø 40 phuùt. Tìm vaän toác cuûa ngöôøi ñi xe ñaïp, bieát quaõng ñöôøng AB daøi 60 km vaø vaän toác cuûa oâtoâ lôùn hôn vaän toác xe ñaïp laø 30km/h.
Baøi 10*) Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B caùch nhau 36 km. Sau khi ñi ñöôïc 2 giôø ngöôøi ñoù nghæ 15 phuùt, roài sau ñoù phaûi taêng vaän toác theâm 4 km moät giôø vaø ñeán B ñuùng giôø ñaõ ñònh. Tìm vaän toác luùc ban ñaàu cuûa ngöôøi ñi xe ñaïp.
Baøi11*) Moät ngöôøi döï ñònh ñi xe ñaïp töø A ñeán B caùch nhau 20km vôùi vaän toác khoâng ñoåi. Nhöng sau khi ñi ñöôïc 1 giôø vì ñöôøng xaáu neân ngöôøi ñoù phaûi giaûm vaän toác moãi giôø 2 km neân ñaõ tôùi B chaäm hôn döï ñònh 15 phuùt. Tìm vaän toác döï ñònh cuûa ngöôøi ñoù.
Baøi 12*) Hai ngöôøi khôûi haønh cuøng moät luùc vaø ñi ngöôïc chieàu nhau töø hai ñaàu ñoaïn ñöôøng AB daøi 18km vaø gaëp nhau sau 2 giôø. Ngöôøi ñi töø A moãi km ñi nhanh hôn 3 phuùt so vôùi ngöôøi ñi töø B. Hoûi moãi ngöôøi ñi vôùi vaän toác laø bao nhieâu.
Daïng3: Noäi dung phaân chia saép xeáp:
Baøi 13) Thöïc hieän keá hoaïch troàng caây cuûa nhaø tröôøng moãi lôùp 9a vaø 9b troàng 1600 caây baïch ñaøn. Moãi giôø lôùp 9a troàng nhieàu hôn lôùp 9b 80 caây neân lôùp 9a troàng xong tröôùc lôùp 9b laø 1 giôø. Hoûi moãi lôùp ñaõ troàng heát soá caây döï dònh trong bao laâu.
Baøi 14) Moät ñoaøn xe chôû 30 taán haøng veà kho. Khi baét ñaàu khôûi haønh ñöôïc boå sung 2 xe nöõa neân moãi xe chôû ít ñi 0,5 taán. Hoûi ñoaøn xe luùc ñaàu coù bao nhieâu chieác.
Baøi 15*) Trong hoäi tröôøng chæ coù 320 choã ngoài, nhöng soá ngöôøi tôùi tham gia hhoäi nghò hoâm ñoù coù tôùi 420 ngöôøi neân phaûi thu xeáp ñeå ñeå moãi daõy gheá theâm ñöôïc 4 ngöôøi vaø phaûi ñaët theâm moät daõy gheá nöõa môùi ñuû. Hoûi trong hoäi tröôøng luùc ban ñaàu coù bao nhieâu daõy gheá.
Baøi 16*) Anh coâng nhaân A laøm moãi saûn phaåm nhanh hôn anh coâng nhaân B laø 6 phuùt. Hoûi trong 7 giôø moãi ngöôøi laøm ñöôïc bao nhieâu saûn phaåm, bieát raèng sau 7 giôø anh A laøm nhieàu hôn anh B laø 8 saûn phaåm.
Daïng4: Toaùn coù noäi dung hình hoïc :
Baøi 17) Moät hình chöõ nhaät coù chu vi 90 m. Neáu taêng chieàu roäng leân gaáp ñoâi vaø giaûm chieàu daøi ñi 15m thì ñöôïc moät hình chöõ nhaät môùi coù dieän tích baèng dieän tích hình chöõ nhaät ban ñaàu. Tính caùc caïnh hình chöõ nhaät ñaõ cho. 
Baøi 18*) Moät khu vöôøn hình chöõ nhaät coù chu vi 280m. Ngöôøi ta laøm moät loùi ñi xung quanh vöôøn ( Thuoäc ñaát cuûa vöôøn) roäng 2 m, dieän tích ñaát coøn laïi ñeå troàng troït laø 4256m2. Tính kích thöôùc cuûa vöôøn .
Baøi 19*) Ngöôøi ta troàng 35 caây döøa treân moät thöûa ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi 30m, chieàu roäng 20m thaønh töøng haøng song song caùch ñeàu nhau theo caû hai chieàu. Haøng caây ngoaøi cuøng troàng ngay treân bieân cuûa thöûa ñaát. Haõy tính khoaûng caùch giöõa hai haøng caây lieân tieáp.
Daïng5: Toaùn caáu truùc soá
Baøi 20) Cho moät soá goàm hai chöõ soá. Tìm soá ñoù bieát raèng toång hai chöõ soá cuûa noù nhoû hôn soá ñoù 6 laàn vaø theâm 25 vaøo tích cuûa hai chöõ soá ñoù seõ ñöôïc soá vieát theo thöù töï ngöôïc laïi vôùi soá ñaõ cho.
Daïng6: Toaùn veà phaàn traêm:
Baøi 21) Daân soá moät khu phoá trong hai naêm taêng töø 30.000 nghöôøi ñeán 32 448 ngöôøi. Hoûi trung bình haøng naêm daân soá khu phoá ñoù taêng bao nhieâu phaàn traêm .
Baøi 22*) Hai lôùp 9A vaø 9B coù 105 hoïc sinh; Lôùp 9A coù 44 hoïc sinh tieân tieán, Lôùp 9B coù 45 hoïc sinh tieân tieán, bieát tæ leä hoïc sinh tieân tieán cuûa lôùp 9A thaáp hôn 9B laø 10%. Tính tæ leä hoïc sinh tieân tieán cuûa moãi lôùp, vaø moãi lôùp coù bao nhieâu hoïc sinh.
Daïng7: Toaùn coù noäi dung lí, hoùa hoïc
Baøi 23) Cho moät chaát loûng coù khoái löôïng laø 8g vaø moät chaát loûng khaùc coù khoái löôïng laø 6g vaø khoái löôïng rieâng nhoû hôn 200kg/m3 . Neáu ñem hai chaát loûng troän vaøo nhau thì ñöôïc moät hoån hôïp coù khoái löôïng rieâng laø 700kg/m3. Haõy tìm khoái löôïng rieâng cuûa moãi chaát.
B) PHAÂN MOÂN HÌNH HOÏC
I. LYÙ THUYEÁT
Caâu1: Neâu ñònh nghóa goùc ôû taâm, goùc noäi tieáp, goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây cung 
Aùp duïng: Cho ñöôøng troøn (O) . Tính soá ño cuûa caùc goùc ôû taâm chaén caùc cung 1/8 döôøng troøn, ¼ ñöôøng troøn
Caâu2: Phaùt bieåu vaø chöùng minh caùc ñònh lyù veà soá ño caùc goùc noäi tieáp, goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø daây, goùc coù ñænh ôû beân trong, beân ngoaøi ñöôøng troøn .
Aùp duïng: Tính soá ño cuûa caùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung 1/8 döôøng troøn, ¼ ñöôøng troøn, ½ ñöôøng troøn
Caâu3: Neâu moái quan heä veà soá ño giöõa caùc goùc noäi tieáp, goùc taïo bôûi tia tieáp tuyeán vaø goùc ôû taâm khi cuøng chaén moät cung trong moät ñöôøng troøn . 
Aùp duïng: Cho ñöôøng troøn (O) vaø goùc noäi tieáp BAÂC = 300 . Tính soá ño goùc BOÂC
Caâu4: Phaùt bieåu keát luaän quyõ tích cung chöùa goùc vaø neâu tröôøng hôïp ñaëc bieät khi goùc=90
Aùp duïng: Cho töù giaùc ABCD sao cho DAÂC =D. Chöùng minh 4 ñieåm A, B, C, D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn.
Caâu5: Theá naøo laø töù giaùc noäi tieáp, phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù veà tính chaát veà goùc ñoái dieän cuûa moät töù giaùc noäi tieáp
Aùp duïng: Cho moät töù giaùc noäi tieáp ABCD coù AÂ=350 . Hoûi soá ño goùc C baèng bao nhieâu ñoä.
Caâu6: phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù veà ñieàu kieän noäi tieáp cuûa moät töù giaùc
Aùp duïng: Haõy giaûi thích vì sao moãi töù giaùc sau ñaây laø noäi tieáp ñöôïc hoaëc khoâng noäi tieáp ñöôïc
Hình chöõ nhaät, hình thang caân, hình bình haønh, hình thang vuoâng, hình thoi.
Caâu7: Ñöôøng troøn noäi tieáp vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñeàu coù ñaëc ñieåm chung gì ? 
Aùp duïng: Vieát coâng thöùc bieåu thò moái quan heä giöõa ñoä daøi caïnh vaø caùc baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn ñoù ñoái vôùi tam giaùc ñeàu, hình vuoâng, luïc giaùc ñeàu
Caâu8: Vieát coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng troøn, cung troøn, dieän tích hình troøn, hình quaït troøn, muoán tính dieän tích hình vieân phaân , hình vaønh khaên ta laøm theá naøo ?
Aùp duïng: Cho ñöôøng troøn (O; 2cm) vaø A, B thuoäc ñöôøng troøn sao cho AOÂB = 600. Tính dieän tích hình vieân phaân taïo bôûi cung vaø daây AB
Caâu9: Vieát coâng thöùc tính DTXQ vaø Theâû tích cuûa hình truï, hình noùn, noùn cuït, hình caàu
Aùp duïng: Cho hình truï coù baùn kính ñaùy laø r, chieàu cao laø 2r, moät hình noùn coù baùn kính ñaùy laø r, chieàu cao laø 2r, vaø moät hình caàu coù baùn kính r.
Khi ñaët hình noùn hoaëc hình caàu vaøo hình truï ta coù theå moâ taû nhö theù naøo ?
So saùnh dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa caùc hình treân (Moái quan heä giöõa chuùng)
II. BAØI TAÄP 
Baøi1) Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn. Veõ caùc ñöôøng cao AD, BE, CK cuûa tam giaùc caét nhau taïi H.
Haõy tìm vaø chöùng minh trong hình coù 6 töù giaùc noäi tieáp ñöôïc
Chöùng minh raèng DA, EB vaø KC laø caùc phaân giaùc cuûa tam giaùc DEK
Goïi H’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi H qua BC. Chöùng minh raèng töù giaùc ABH’C noäi tieáp ñöôïc
Baøi2) Töø moät ñieåm M treân ñöôøng keùo daøi cuûa moät daây cung AB cuûa ñöôøng troøn (O), keû caùc tieáp tuyeán MC vaø MD (C,D laø tieáp ñieåm) , phaân giaùc goùc ACB caét AB ôû E. CMR: 
MC=ME 
DE laø phaân giaùc cuûa goùc ADB 
Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB. CMR töù giaùc MCID noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn 
IM laø phaân giaùc cuûa goùc CID 
Baøi3*) Cho ñöôøng troøn (O) , daây CD vuoâng goùc vôùi ñöôøng kính AB taïi H. Treân tia ñoái cuûa tia DC laáy ñieåm M. Ñöôøng thaúng MB caét ñöôøng troøn taïi F.
Chöùng minh FA, FB laø phaân giaùc trong vaø phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc CFD
Goïi I laø giao ñieåm cuûa CD vaø FA . Chöùng minh raèng 
Tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi F caét DM taïi J . Chöùng minh JI=JM 
MA caét ñöôøng troøn taïi E. Chöùng minh raèng 3 ñieåm B,I,E thaúng haøng vaø JE=JF 
Baøi4) Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB. C laø ñieåm thuoäc nöûa ñöôøng troøn. Treân AC keùo daøi veà phía C laáy AD=AB , treân AB laáy AE=AC . DE caét BC taïi H. AH caét nöûa ñöôøng troøn taïi K 
* CMR DAÂH = BAÂH
CMR: Töù giaùc ACHE noäi tieáp ñöôïc 
CMR: 3 ñieåm B,K,D thaúng haøng 
Baøi5) Cho nöûa ñöôøng(O) troøn ñöôøng kính AB. Keû daây AC, goïi M laø ñieåm chính giöõa cung AC H laø giao ñieåm cuûa MO vaø AC. Treân nöûa mp chöùa tia BM coù bôø laø ñöôøng thaúng BC, veõ tia Cx song song vôùi BM vaø caét OM keùo daøi taïiD.
CMR: OM // BC vaø töù giaùc MBCD laø hình bình haønh 
Ñöôøng thaúng AM caét CD taïi K, KH caét AB taïi P. Chöùng minh raèng: 
* Töù giaùc PHCB noäi tieáp ñöïôïc 
AP.AB=AH.AC
Baøi6) Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB =2R. Keû tieáp tuyeán Bx vôùi nöûa ñöôøng troøn. Goïi C,D laø 2 ñieåm di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn. Caùc tia AC, AD caét Bx laàn löôït taïi E vaø F ( F naèm giöõa B vaø E) 
Chöùng minh 
Chöùng minh töù CEFD noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn 
Khi C,D di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn.Chöùng minh AC.AE=AD.AF coù giaù trò khoâng ñoåi
Cho goùc BOD baèng 30, goùc DOC baèng 60 Tính dieän tích cuûa töù giaùc ACDB
Tính dieän tích cuûa moãi hình vieân phaân taïo bôûi cung vaø daây AC; cung vaø daây CD; cung vaø daây DB 
Baøi7) Cho ñöôøng troøn (O;R) coù AB laø ñöôøng kính coá ñònh, CD laø ñöôøng kính thay ñoåi. Goïi d laø tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi B vaø AC, AD laàn löôït caét d taïi P,Q.
Chöùng minh töù giaùc CPQD noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn
Chöùng minh trung tuyeán AI cuûa tam giaùc AQP vuoâng goùc vôùi DC
Baøi8) Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A vaø coù AB>AC, ñöôøng cao AH. Treân nöûa mp bôø BC chöùa ñieåm A , veõ nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính BH caét AB taïi E, veõ nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính HC caét AC taïi F .
Chöùng minh töù giaùc AEHF laø hình chöõ nhaät 
Chöùng minh AE.AB=AF.AC
Chöùng minh töù giaùc BEFC noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn
Bieát goùc B baèng 30;BH=4 cm.Tính dieän tích hình vieân phaân taïobôûi daây BE vaø cung BE
Baøi9) Cho tam giaùc caân ABC (AB=AC) noäi tieáp trong ñöôøng troøn (O). Caùc ñöôøng cao AG,BE,CF gaëp nhau taïi H 
Chöùng minh töù giaùc AEHF noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn. Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ñoù
Chöùng minh AF.AC=AH.AG
Chöng minh GE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (I) 
Cho baùn kính ñöôøng troøn (I) laø 2cm, goùc BAC baèng 50. Tính ñoäï daøi cung FHE cuûa ñöôøng troøn taâm I vaø dieän tích hình quaït troøn IFHE ( Laøm troøn keát quaû ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai)
Baøi10) Cho nöûa ñöôøng troøn (O;R) ñöôøng kính AB coá ñònh. Qua A vaø B veõ caùc tieáp tuyeán vôùi nöaû ñöôøng troøn (O) . Töø moät ñieåm M tuøy yù treân nöûa ñöôøng troøn ( M khaùc A vaø B) veõ tieáp tuyeán thöù 3 vôùi nöûa ñöôøng troøn caét caùc tieáp tuyeán taïi A vaø B theo thöù töï töông öùng laø H vaø K.
a) Chöùng minh töù giaùc AHMO noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn 
b) Chöùng minh AH+BK=HK
c) Chöùng minh ~ vaø HO.MB=2R
d)* Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân nöûa ñöôøng troøn sao cho töù giaùc AHKB coù chu vi nhoû nhaát
Baøi11) Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B. Tia OA caét ñöôøng troøn ( O’) taïi C ; Tia O’A caét ñöôøng troøn (O) taïi D. CMR:
Töù giaùc OO’CD noäi tieáp ñöôøng troøn 
Naêm ñieåm O, O’, B, C, D cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn
Baøi12) Cho hình vuoâng ABCD, ñieåm M treân caïnh AB. Ñöôøng thaúng qua C vaø vuoâng goùc vôùi CM caét caùc tia AB vaø AD laàn löôït taïi E vaø F,tia CM caét ñöôøng thaúng AD taïi N. Chöùng minh: 
Caùc töù giaùc AMCF vaø ANEC noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn
CM+CN=EF
Baøi13) Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R) coù goùc BAC baèng 45, BP vaø CD laø 2 ñöôøng cao.
1) CMR: a) Naêm ñieåm B,D,P,C,O cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn
 b) DO//BP
2)Tính DP theo R
Baøi14) Cho hình chöõ nhaät ABCD. Goïi I laø moät ñieåm tuøy yù treân caïnh AB. QuaI keû IN vuoâng goùc vôùi CD taïi N vaø keû IM vuoâng goùc vôùi AC taïi M.
Chöùng minh töù giaùc BMNC noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn
Chöùng minh raèng MA.MN= MB.MI
Cho bieát AB=5cm, BC=2 cm. xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm I treân caïnh AB ñeå AN laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc BMNC
Baøi 15*) Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn, caùc ñöôøng cao AH, BK, CL. Töø H döïng HE vuoâng goùc vôùi AB, HF vuoâng goùc vôùi AC. Töø K döïng KD vuoâng goùc vôùi BC vaø KQ vuoâng goùc vôùi AB.
Chöùng minh raèng FD // AB
Chöùng minh töù giaùc AQDC noäi tieáp ñöôïc
Baøi16) Cho hình thang ABCD ñaùy lôùn AD, ñaùy nhoû BC noäi tieáp ñöôøng troøn (O); AB vaø CD keùo daøi caét nhau taïi I. Caùc tieáp tuyeán cuûa (O) taïi B vaø D caét nhau taïi K. 
a)Chöùng minh raèng 5 ñieåm B, O, K, D, I cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn. b) CMR : IK//BC
Baøi17) Moät hình noùn cuït baùn kính ñaùy lôùn baèng 8 cm, ñöôøng cao baèng 12 cm, ñöôøng sinh baèng 13 cm.
Tính baùn kính ñaùy nhoû
Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình noùn cuït.
Baøi18) Töø moät khuùc goã hình truï , ngöôøi ta tieän thaønh moät hình noùn coù theå tích lôùn nhaát. Bieát theå tích phaàn goã tieän boû ñi laø 200 .
Tính theå tích hình noùn
Gæa söû chieàu cao cuûa hình noùn laø 12 cm. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn.
Baøi19: Cho ñöôøng troøn (O) vaø moät ñieåm P coá ñònh ôû ngoaøi ñöôøng troøn. Ñöôøng thaúng d thay ñoåi luoân ñi qua P vaø caét ñöôøng troøn (O) taïi hai ñieåm A vaø B. Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa ñoaïn thaúng AB 
HÖÔÙNG DAÃN HOAËC ÑAÙP SOÁ :
Phaàøn ñaïi soá 
Baøi1: Caâu j: Ñaët t = x2 +x +1; Caâuk) Ñaët t=; Caâul) Nhaân (x+1)vôùi(x+4)vaø (x+2)vôùi(x+3) roài ñaët t=x2 +5x+4 ; Caâum) Ñaët y= => y2 =2 roài suy ra 3y2= => 
Töø ñoù coù pt: 3y2 -10y+8=0 ; Caâu1n) Ñaët t=; Caâu0) Ñaët t=x2-5x+7; Caâup) Quy ñoàng maãu thöùc rieâng moãi veá ñöa veà daïng : 
Baøi 3;4;5: Phöông phaùp giaûi: 
+Vieát phöông trình hñgñ cuûa (P) vaø (d)
+(d) caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät khi pthñgñ coù hai nghieäm phaân bieät ó >0
+(d) tieáp xuùc(P) khi pthñgñ coùnghieäm keùp ó=0
+(d) khoâng caét (P) khi pthñgñ voâ nghieäm phaân bieät ó <0
Baøi6) a) Khi m0 vaø ’>0 ; b) Khi m=0
Baøi7b) Chöùng minh ’0 vôùi moïi a; b ; Caâuc) x12+x22=(x1+x2)2 -2x1x2
Baøi 12a) x13+x23=(x1+x2)(x12 -x1x2 +x22) ; Caâub) x12+x22=m2+11 => m=0
Theá x=1/a vaøo pt(2) => m2.. Vaäy 1/a laø nghieäm cuûa pt(2).Töông töï cm 1/b laø nghieäm cuûa pt(2).
 Giaûi heä suy ra m
Baøi 26a) Ñöa veà tìm 2 soá x2 vaø y2 bieát S=x2 +ø y2 =13 vaø P=x2 .ø y2 =36
b) x1+x2 = - b vaø x1x2 = c .Tính S= vaøP ==1
 Baøi 27a) a=1>0 coøn c = - m +m-2=-( m -m+2)=......
= -(m-1/2)2-7/40 
Maët khaùc P=x1x2 =c<0 theo cmtreân
b)x12+x22=3(m-4/6)2+11/3 11/3 => Min =11/3 khi m=2/3
Baøi28) b) Giaûi heä suy ra p
Baøi29)a) a=2 ; c= -7+m2 Ñeå Pt coù hai nghieäm traùi daáu thì c . Giaû söû x1 0. Ta coù = => . Vì m>0 neân choïn m=
Baøi30) Tính ’1 +’2 +’3 vaø chöùng minh ’1 +’2 +’3 0 suy ra coù ít nhaát 1 pt coù ’0
’1 +’2 +’3= [(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 ] :2
Baøi 31) Giaû söû x0 laø nghieäm chung thì ta coù : 
x0+ mx0+ 1 = 0 (1) vaø x0-(m+1)x0 -2m= 0 (2)
Tröø töøng veá roài suy ra ù x0= -1 hoaëc m=-1/2. Laàn löôït theá