Đề cương ôn tập môn Toán 12

®Ò c­¬ng «n tËp m«n to¸n
PhÇn ®¹i sè gi¶I tÝch
A. Tãm t¾t lý thuyÕt
Phaàn IiI
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
I.Nguyeân haøm vaø tích phaân baát ñònh:
1.Nguyeân haøm vaø tích phaân baát ñònh: Neáu F’(x)=f(x) vôùi "xÎ(a;b) thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân khoaûng (a;b). Neáu theâm F’(a+) = f(a) vaø F’(b-)=f(b) thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn [a;b]. Moïi nguyeân haøm cuûa f(x) ñeàu coù daïng F(x)+C, trong ñoù C laø haèng soá. Taäp hôïp caùc nguyeân haøm cuûa f(x) treân khoaûng (a;b), goïi laø tích phaân baát ñònh cuûa f(x) treân khoaûng (a;b) vaø kyù hieäu laø . 
Vaäy = F(x)+C Û F ’(x) = f(x) vôùi "xÎ(a;b) vaø C laø haèng soá.
Moïi haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.
2.Tính chaát: 
a) = f(x) 
b)= k k¹0
c)=+
d)Þ vôùi u = u(x)
3.Baûng caùc nguyeân haøm:
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
=x+C
=u+C
+C, a¹-1
+C, a¹-1
= ln½x½+ C, x ¹ 0
= ln½u½+ C, x ¹ 0
 = ex+C
 = eu+C
+C, 0<a¹1
+C, 0<a¹1
 = sinx+C
 = sinu+C
 = - cosx+C
 = - cosu+C
= tgx+C, x¹+kp vaø kÎZ
= tgu+C, u¹+kp vaø kÎZ
= - cotgx+C, x¹ kp vaø kÎZ
= - cotgu+C, u¹ kp vaø kÎZ
II. Tích phaân xaùc ñònh:
Ñònh nghóa : Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân khoaûng K; a,bÎK; F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K. Hieäu soá F(b)-F(a) ñöôïc goïi laø tích phaân töø a ñeán b cuûa f(x) vaø ñöôïc kyù hieäu laø . 
Ta vieát : (Coâng thöùc Niutôn-Laipnit) 
2) Caùc tính chaát cuûa tích phaân :
Giaû söû caùc haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a,b,c Î K.
* =0
* = -
*=k (kÎ|R)
* =±
*=+
* f(x) ³ 0 treân [a;b]Þ ³0
* f(x) ³ g(x) treân [a;b]Þ ³
* m £ f(x) £ M treân [a;b] Þ m(b-a) £ £ M(b-a)
* tÎ[a;b] Þ G(t)= laø 1 nguyeân haøm cuûa f(t) thoûa G(a)=0.
III. Caùc phöông phaùp tính tích phaân xaùc ñònh:
1) Phöông phaùp ñoåi bieán soá : Cho f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [a;b], giaû söû caàn tính , khi chöa tìm ñöôïc tröïc tieáp nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) treân ñoaïn [a;b] 
a) Ñoåi bieán soá daïng 1: 
Ñaët x = u(t)
Tính dx=u’(t)dt
Ñoåi caän x = a u(t) = at = a
 x = b u(t) = bt = b
Ñoåi bieán vaø tìm G(t) laø moät nguyeân haøm cuûa g(t) treân ñoaïn [a,b]
Tính =G(t)
b) Ñoåi bieán soá daïng 2:
Ñaët t= v(x) ( hoaëc bieán ñoåi t= v(x) Û x = u(t))
Tính dt = v’(x)dx ( hoaëc tính dx=u’(t)dt )
Ñoåi caän: x = a t = v(a) = a
 x = b t= v(b) = b
Ñoåi bieán vaø tìm G(t) laø moät nguyeân haøm cuûa g(t) treân ñoaïn [a,b]
Tính = G(t)
2) Phöông phaùp tính tích phaân töøng phaàn : 
a) Ñònh lyù: Neáu u(x) vaø v(x) laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì:
	.v’(x)dx= u(x) v(x) .u’(x)dx	hay: 	
b) Caùch tính:
Bieán ñoåi vôùi caùch ñaët hôïp lyù : 
Bieán ñoåi veà: , sau ñoù tính töøng phaàn uv 
c) Chuù yù : Coù theå söû duïng baûng nguyeân haøm 2 sau ñaây ñeå tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn (a¹0):
+ C
+C, a¹-1
+ C
 ln½ax+b½+ C 
= tg(ax+b) +C 
+ C
= - cotg(ax+b)+C
+ C,
IV. ÖÙng duïng cuûa tích phaân :
1.Dieän tích hình phaúng:
1) Cho f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b]. Dieän tích hình (H) giôùi haïn bôûi y=f(x); y=0 ( truïc Ox) vaø hai ñöôøng thaúng x=a vaø x=b xaùc ñònh bôûi:
S= 
Moät soá löu yù khi söû duïng coâng thöùc naøy:
a) Neáu f(x) giöõ nguyeân daáu khi xÎ[a;b] thì
b) Khi baøi toaùn khoâng cho hai ñöôøng thaúng x=a vaø x=b thì ta laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm f(x) = 0 (1) :
Neáu phöông trình naøy coù 2 nghieäm phaân bieät thì a=x1 < x2=b.
Neáu phöông trình naøy coù n nghieäm saép xeáp theo thöù töï taêng daàn thì : 
 a= x1 < x2 < < xn=b. Ñeå tính dieän tích trong tröôøng hôïp naøy ta bieán ñoåi:
	Cho f1(x) vaø f2(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b]. Dieän tích hình (H) giôùi haïn bôûi 
y= f1(x); y= f2(x) vaø hai ñöôøng thaúng x=a vaø x=b xaùc ñònh bôûi: 
S= 
2.Theå tích vaät theå hình hoïc:
1. Cho vaät theå (T) ñaët trong heä truïc toïa ñoä Oxyz, sao cho (T) naèm giöõa hai maët phaúng ( a) vaø (b) ñoàng thôøi vuoâng goùc Ox taïi x=a vaø x=b. Goïi S(x) laø dieän tích cuûa thieát dieän cuûa (T) vôùi maët phaúng (g) vuoâng goùc vôùi Ox. Theå tích cuûa (T) ñöôïc tính bôûi: 
V=
2. Giaû söû y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b]. Khi cho hình (H) giôùi haïn bôûi y=f(x); y=0 vaø hai ñöôøng thaúng x=a vaø x=b quay moät voøng quanh truïc Ox, taïo neân hình troøn xoay. Theå tích hình troøn xoay ñöôïc tính bôûi: V= 
3. Giaû söû x=g(y) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b]. Khi cho hình (H) giôùi haïn bôûi x=g(y); x=0 vaø hai ñöôøng thaúng y=a vaø y=b quay 1 voøng quanh truïc Oy, taïo neân hình troøn xoay. Theå tích hình troøn xoay ñöôïc tính bôûi: V=
Phaàn IV
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
I. HOAÙN VÒ - CHÆNH HÔÏP - TOÅ HÔÏP:
1.Qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân:
a) Qui taéc coäng :
Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1, m2 caùch choïn ñoái töôïng x2, , mn caùch choïn ñoái töôïng xn, vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng baát kyø caùch choïn ñoái töôïng xj naøo (i¹j; i,j=1,2,,n) thì coù m1+m2++mn caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho.
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu tröôøng hôïp ñoäc laäp nhau. Tröôøng hôïp 1 coù m1 caùch thöïc hieän, tröôøng hôïp 2 coù m2 caùch thöïc hieän, tröôøng hôïp n coù mn caùch thöïc hieän thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1+m2++mn.
b) Qui taéc nhaân :
Neáu 1 pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp nhau, böôùc 1 coù m1 caùch, böôùc 2 coù m2 caùch, . . ., böôùc n coù mn caùch, thì pheùp choïn ñoù ñöôïc thöïc hieän theo m1 . m2 .  .mn caùch khaùc nhau.
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu giai ñoaïn:Giai ñoaïn 1 coù m1 caùch thöïc hieän, giai ñoaïn 2 coù m2 caùch thöïc hieän, giai ñoaïn n coù mn caùch thöïc hieän thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1 . m2 .  .mn
2.Hoaùn vò:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû (n³1) cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù.
b) Ñònh lyù: Neáu kyù hieäu soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn, thì: 
!
Qui öôùc: 0!=1
3.Chænh hôïp:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi boä goàm k phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 chænh hôïp chaäp k cuûa cuûa n phaàn töû .
b) Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø: 
Ñaëc bieät: Khi 
4.Toå hôïp:
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi taäp con goàm k phaàn töû cuûa A ñöôïc goïi laø 1 toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.
b) Soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø: 
c) Tính chaát: 	
1) 
2) 
3) 
II.COÂNG THÖÙC NHÒ THÖÙC NEWTON:
1.Coâng thöùc nhò thöùc Newton: 
Vôùi hai soá thöïc a vaø b vaø nÎN ta coù coâng thöùc:
2.Caùc tính chaát: 
a) Veá phaûi coù n+1 soá haïng.
b) Trong moãi soá haïng toång soá muõ cuûa a vaø b laø n.
c) Soá haïng thöù k+1 cuûa coâng thöùc khai trieån coù daïng :
d) Caùc heä soá caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái laø baèng nhau.
.
.
B. Bµi tËp
I. ÑAÏO HAØM 
Bµi 1: Chöùng minh raèng : 
 a) Vôùi y= 3 + ( x ¹ 0), ta coù xy’ + y = 3 
 b) Vôùi y = x sin x, ta coù : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
 c) Vôùi y = ( x +1 ) ex ta coù : y’ – y = ex
 d) Vôùi y= e sin x ta coù : y’ cos x – ysin x – y” = 0
 e) Vôùi y = e4x+2e-x. ta coù : y’’’-13y’-12y = 0
Baøi 2: Giaûi phöông trình : f’(x) = 0 bieát raèng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x2+2x-3)ex
c) f(x) = sinx.ex
d) f(x) = 
Baøi 3:Tìm GTLN, GTNN cuûa 
 a)Haøm soá f(x) = x2-2x+3 treân [0;3]. Kq: f(x)=f(1)=2 vaø f(x)=f(3)=6.
 b)Haøm soá y=2x3+3x2-1 treân Keát quaû: ; 
 c) Haøm soá y=2sinx- treân [0;p] (Ñeà thi TNTH PT 2003-2004)
Baøi 4: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = 3 sinx – 4 cosx.
Baøi 5: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = x – 5 + . 	
 Keát quaû: ; 
VII.øng dông cña ®¹o hµm
Bµi 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
1) y = x3-3x+1 	2) y = 3x2-x3 3) y = x3+3x-4 4) y = (1-x)3 
 5) y = 	6) y = x4+x2-2. 7) y=2x2-x4-1	 8) y = 	
9) y = 	 10) y = 	 11) y = 12) y = 	 
 13) y = 
Baøi 2: Cho haøm soá y = f(x) = x3-3x2+1, coù ñoà thò (C).
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) Döïa vaøo ñoà thò (C) haõy bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông 
 trình: x3-3x2+ m = 0
 c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 3. 
Bµi 3: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) ViÕt pttt víi ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm B(0; 4)
c) ViÕt pttt víi ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn qua ®iÓm 
Baøi 4: Cho haøm soá y = - x3+3x2-2, coù ñoà thò (C).
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) 
b) Bieän luaän baèng ñoà thò (C) soá nghieäm cuûa pt: x3- 3x2-(m-2) = 0
c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) bieát 
+ Tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng y = -9x +7
+ Tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(2; 2)
Bµi 5: Cho hµm sè: cã ®å thÞ
a) T×m m ®Ó nhËn ®iÓm lµm ®iÓm uèn 
b) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m = 1
Baøi6: Cho haøm soá y= x4 - 2x2
a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá
b) Vieát pttt vôùi ñoà thò (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua goác toïa ñoä
c) Döïa vaøo ñoà thò (C) haõy bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình: 
Baøi 7: Cho haøm soá 
a) Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 1
b) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá vôùi giaù trò m tìm ñöôïc 
c) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá vöøa
 veõ ôû caâu b vaø truïc hoaønh
Bµi 8: Cho hµm sè cã ®å thÞ 
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m = -1
b) Dùa vµo ®å thÞ , h·y biÖn luËn theo k sè nghiÖm cña 
 ph­¬ng tr×nh sau: 
c)ViÕt pttt víi biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng 
Bµi 9: Cho hµm sè: cã ®å thÞ 
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m = 4
b) T×m m ®Ó cã 3 cùc trÞ
Bµi 10: Cho hµm sè: ( a, b lµ tham sè )
a) X¸c ®Þnh a, b ®Ó hµm sè cùc trÞ b»ng – 2 khi x = 1
b) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi , 
c) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ ë phÇn 2 
 vµ trôc 
Bµi 11: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C), trôc vµ ®­êng th¼ng 
Bµi 12: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) ViÕt pttt víi ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-6; 5)
c) T×m c¸c ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cã täa ®é lµ c¸c sè nguyªn
Bµi 13: Cho hµm sè: , cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å (C), c¸c trôc , vµ ®­êng th¼ng x =2
 Bµi 14: Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) ViÕt pttt tuyÕn víi ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn qua .
CMR c¸c tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau
Bµi 15: Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å (C), tiÖm cËn xiªn cña (C) vµ
 2 ®­êng th¼ng x = 2, ( ). T×m ®Ó diÖn tÝch ®ã b»ng 2
Bµi 16: Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) ViÕt pttt víi ®å thÞ (C) biÕt tiÕp tuyÕn qua 
Bµi 17: Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C)
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å (C), tiÖm cËn 
 xiªn cña (C) vµ 2 ®­êng th¼ng x = 2, 
c TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra tõ phÐp quay 
quanh cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C); y = 0; x = 2; x = 3
VIII.TÍCH PHAÂN
Baøi 1:
	a) Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa f(x)= x3-x2+2x-1 
 bieát raèng F(0) = 4. Keát quaû: F(x) =+x2-x+4
b) T×m mét nguyªn hµm cña hµm sè 
 . BiÕt .
c) T×m mét nguyªn hµm cña hµm sè . BiÕt 
Baøi 2: Tìm A vaø B sao cho vôùi moïi x¹ 1 vaø x¹2 , tacoù: . 
 Töø ñoù, haõy tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: 
 Keát quaû:A=3; B= -2. F(x) = 3 l n½x-2½-2 l n½x-1½+ C = l n +C
Baøi 3: Tính caùc tích phaân:
Tích phaân
Keát quaû
Tích phaân
Keát quaû
a)
b)
c)
1
12
4
d)g)
Baøi 4: Tính caùc tích phaân:( söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán )
Tích phaân
Keát quaû
Tích phaân
Keát quaû
a)
b)
c)
d) 
e)
f)
ln2
 2ln3
ln
ln
g)
h)
i)
j)
k)
ln2
ln(+1)
0
Baøi 6:Tính caùc tích phaân:(duøng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn)
Tích phaân
Keát quaû
Tích phaân
Keát quaû
a) 
b)
c) 
d) 
1
e) 
f) 
g) 
e-2
ln2-2+
h)
i)
j) 
ln2-
Baøi 5: Tính caùc tích phaân: (söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán)
Tích phaân
Keát quaû
Tích phaân
Keát quaû
a) 
b)
c) 
d)
e)
f)
g)
h)
k) 
l)
m)
n)
o)
p)
r)
s)
t)
u)
v)
w) 
1
1
Baøi 7: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y= -x2+3x-2, 
 d1:y = x-1 vaø d2:y=-x+2	 Kq: 
Baøi 8: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y= x3-3x vaø 
 ñöôøng thaúng y=2. Kq: 
Baøi 9: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 
 	 Kq: 
Baøi 10: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y=x(3-x)2, Ox 
 vaøx=2;x=4. Kq: 2
Baøi 11: Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau :
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; .	Kq: 1
b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x .	Kq:
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. 	 	Kq: 
 d) y2 = 2x + 1; y = x – 1 .	 	Kq: 
 e) y = lnx ; y = 0 ; x = 2.	 Kq: 2ln2-1
Baøi 12: Tính theå tích cuûa vaät theå do caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây quay quanh truïc Ox: 
IX.ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
Baøi 1: Cho 7 chöõ soá :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Töø 7 chöõ soá treân, coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau?	 Keát quaû: 	
b) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá chaün? 	
 Keát quaû:6.5.4.3.3=1080
c) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 7?	 Keát quaû: 5. 
Baøi 2: Cho 5 chöõ soá 0,1, 3, 6, 9.
a) Töø 5 chöõ soá aáy, coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau?	 Keát quaû: 
b) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chaün? 	
 Keát quaû: 
c) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chia heát cho 3? 
Höôùng daãn vaø keát quaû: 
Choïn trong taäp chöùa caùc phaàn töû chia heát cho 3 laø A={0,3,6,9} 
Vaäy coù 3 soá chia heát cho 3.
Baøi 3: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laäp neân 
 töø caùc chöõ soá 1,2,3, 4, 5 vaø 6 vaø lôùn hôn 300.000	
 	Keát quaû: 4.5!=480
Baøi 4: Töø taäp hôïp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} coù theå laäp ñöôïc bao 
 nhieâu soá maø moãi soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ño
 nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 5?
 Keát quaû: x=: a=5 coù 1.6.5.4.3= 360 soá ; a¹5 coù 4(5.5.4.3)=1200 soá. 
Vaäy coù 360+1200=1560 soá Hoaëc: 6.(khoâng coù chöõ soá 5)=1560
Baøi 5: Töø 7 chöõ soá 1,2,3,4,5,6,7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï 
 nhieân coù 4 chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët chöõ soá 7
 vaø chöõ soá haøng ngaøn laø chöõ soá 1?
Keát quaû: 1.3.=60 soá (1 caùch xeáp chöõ soá 1, 3 caùch xeáp chöõ soá 7 vaø caùch xeáp 2,3,4,5,6 vaøo 2 vò trí coøn laïi).
Baøi 6: Cho 5 quaû caàu traéng baùn kính khaùc nhau vaø 5 quaû caàu xanh
 baùn kính khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp 10 quaû
 caàu ñoù thaønh 1 daõy töø traùi sang phaûi, sao cho khoâng coù 2 
 quaû caàu cuøng maøu ñöùng caïnh nhau? Keát quaû:28800
Baøi 7: Hoäi ñoàng quaûn trò cuûa 1 xí nghieäp goàm 11 ngöôøi, trong ño
 coù 7 nam vaø 4 nöõ. Töø hoäi ñoàng quaûn trò ñoù ngöôøi ta muoán 
 laäp ra 1 ban thöôøng tröïc, trong ñoù ít nhaát 1 ngöôøi nam. 
 Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ban thöôøng tröïc coù 3 ngöôøi?
 Keát quaû: 161
Baøi 8: Lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh ( 25 nam vaø 15 nöõ) . Caàn choïn moät 
 nhoùm goàm 3 hoïc sinh . Hoûi coù bao nhieâu caùch :
a) Choïn 3 hoïc sinh baát kyø . 	Keát quaû: =9880
b) Choïn 3 hoïc sinh goàm 1 nam vaø hai nöõ . Keát quaû: 2625
c) Choïn 3 hoïc sinh trong ñoù coù ít nhaát 1 nam. 
 Keát quaû: 9425
Baøi 9: Tìm n sao cho:
a) 	 Keát quaû: n = 4 
b) . 	 Keát quaû:n = 5
c) .	 	Keát quaû:n = 2
d) . 	 	Keát quaû:n = 5
e) .	 	 Keát quaû: n = 2 V n = 3
g) =14n.	 Keát quaû:n=5.
 h) = 3	 Keát quaû: n=6 V n=11
Baøi 10: Giaûi caùc phöông trình:
a) .	 Keát quaû: x = -1 V x = 4
b) 	 	Keát quaû: x = 5
c) . 	 Keát quaû:x = 4
d) 	 Keát quaû: x=9 
e) 	 	Keát quaû: x = 3 V x = 8
 Baøi 11: Giaûi heä phöông trình:
 a) 	 Keát quaû:x=4 vaø y=2
 b) 	 Keát quaû: x = 7 vaø y = 4
Baøi 12 : Giaûi caùc baát phöông trình sau:
 a) .	 Keát quaû: n = 2 V n = 3
 b) 	 	
Baøi 13: Khai trieån cuûa coù toång caùc heä soá cuûa 3 soá haïng 
 ñaàu laø 28. Tìm soá haïng thöù 5 cuûa khai trieån ñoù.	
	 Keát quaû:126x
Baøi 14 Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa:.
 Keát quaû: -8064
Baøi 15: Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån:	
 Keát quaû:T9=495
Baøi 16: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån:
	 Keát quaû: n = 12 vaø a9=495 
Baøi 17: Chöùng minh raèng:
 a) ++..+ = +++ 
	Höôùng daãn: Khai trieån (a+b)2n vôùi a = 1 , b = -1 
 b) +2+3++n= n2n-1.
	Höôùng daãn: Laáy ñaïo haøm y= (1+x)n roài thay x=1.
Baøi 18: Tính toång:
 a) S= 
Höôùng daãn: Xeùt (x+1)6 vaø thay x=1.	Keát quaû: 64
 b) T= 
	Höôùng daãn: xeùt vôùi (1+x)5 vôùi x=2. 	 Keát quaû: 243
Baøi 19: Chöùng minh raèng:
Baøi 20: Chöùng minh raèng:
 PhÇn h×nh häc gi¶I tÝch
A. Tãm t¾t lý thuyÕt
Chöông 1 PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG
HEÄ TOÏA ÑOÄ. TOÏA ÑOÄ CUÛA VECTÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM:
1.Heä toïa ñoä: Hai truïc toïa ñoä x’Ox vaø y’Oy vuoâng goùc nhau taïo neân heä truïc toïa ñoä Ñeâcac Oxy: O laø goác toïa ñoä; x’Ox laø truïc hoaønh vaø y’Oy laø truïc tung.
Trong ñoù: = (1; 0) vaø = (0;1) laø caùc vectô ñôn vò treân caùc truïc.
Ta coù:½½=½½=1 vaø.=0.
Toïa ñoä cuûa vectô := (x ; y) Û = x.+ y..
Toïa ñoä cuûa ñieåm := (x ; y) Û M(x ; y) 	
x: hoaønh ñoä vaø y: tung ñoä cuûa ñieåm M
2. Caùc keát quaû: Trong heä toïa ñoä Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) vaø caùc vectô 
=(a1; a2) vaø = (b1 ; b2). Ta coù:
± = ( a1 ± b1; a2 ± b2).
= (ka1 ; ka2) (k laø soá thöïc).
Tích voâ höôùng: .= a1 b1 + a2 b2.
	Heä quaû:
 = .
^ Û a1 b1 + a2 b2 = 0.
=Û 
,cuøng phöông Û
Toïa ñoä cuûa vectô:=(xB - xA;yB - yA).
Khoaûng caùch:
Ñieåm M chia AB theo tæ soá k ( k¹1) Û = k.. 
Khi ñoù toïa ñoä cuûa M tính bôûi: 
 vaø 
M laø trung ñieåm AB ta coù: vaø 
Kieán thöùc veà tam giaùc: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) vaø C(xC; yC). 
Troïïng taâm cuûa tam giaùc (giao caùc ñöôøng trung tuyeán):
 G laø troïng taâm D ABC: ; 
Tröïc taâm cuûa tam giaùc (giao caùc ñöôøng cao):
Taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc:
 I(a;b) laø taâm cuûa (ABC) Û AI = BI = CI = R 
 (baùn kính cuûa (ABC)).
 Giaûi heä Þ Toïa ñoä cuûa I.
Taâm cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc (giao caùc phaân giaùc trong cuûa caùc goùc cuûa tam giaùc):
 Taâm K cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp D ABC tìm ñöôïc khi thöïc 
 hieän hai laàn coâng thöùc ñieåm chia ñoaïn theo tæ soá k: 
Vì neân D chia BC theo tæ soá k1 ÞToïa ñoä cuûa D.
Vì neân K chia AD theo tæ soá k2 Þ Toïa ñoä cuûa K
Dieän tích tam giaùc:
+ S===
 + S===
 + S== pr =
PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG:
Ñònh nghóa: Cho caùc vectô vaø khaùc vectô .
 laø 1 vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng D khi naèm treân 1 ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi D. Moïi vectô chæ phöông cuûa D ñeàu coù daïng k. ( k ¹ 0).
2) Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng:
a) Ñònh lyù: Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng D coù daïng: 
 	 Ax+By+C = 0 vôùi A2+B2 ¹ 0
 Chuù yù: D coù vectô phaùp tuyeán = (A;B) vaø coù vectô chæ phöông 
= (B; -A) hoaëc = (- B; A)
b) Heä quaû: Phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua M0(x0 ; y0) vaø coù vectô phaùp tuyeán = (A;B) laø: 	A(x - x0) + B(y - y0) = 0 vôùi A2+B2 ¹ 0
3) Phöông trình tham soá - chính taéc cuûa ñöôøng thaúng:
Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng: 
Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng D ñi qua M0(x0 ; y0) vaø coù vectô chæ phöông =(a; b) laø:	 vôùi a2+b2 ¹ 0, tÎR
Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng: 
 Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng D ñi qua M0(x0 ; y0) vaø coù vectô chæ phöông =(a; b) laø: (a2+b2 ¹ 0)
Vò trí töông ñoái giöõa 2 ñöôøng thaúng – Chuøm ñöôøng thaúng:
1) Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng: Cho 2 ñöôøng thaúng
 D1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) vaø D2:A2x+B2y+C2=0 (2) (¹0 vaø ¹ 0). 
Giaûi heä goàm (1) vaø (2) ta coù keát quaû sau:
Heä coù duy nhaát nghieäm ÛA1B2-A2B1¹0ÛD1vaø D2 caét nhau.
Heä voâ nghieäm ÛA1B2-A2B1=0 vaø B1C2-B2C1¹0Û D1 //ø D2.
Heä coù voâ soá nghieäm 
ÛA1B2-A2B1=B1C2 -B2C1=C1A2-C2A1= 0Û D1º D2.
2, Chuøm ñöôøng thaúng : Hai hoaëc nhieàu ñöôøng thaúng cuøng ñi qua moät ñieåm I, taïo neân chuøm ñöôøng thaúng coù taâm I. 
Neáu D1:A1x+B1y+C1=0 vaø D2:A2x+B2y+C2=0 caét nhau taïi I 
(A1B2 ¹A2B1) thì phöông trình cuûa chuøm ñöôøng thaúng taâm I laø: 
m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (vôùi m2+n2 ¹ 0).
Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng – khoaûng caùch töø moät ñieåm tôùi 
 moät ñöôøng thaúng
1.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:
Cho 2 ñöôøng thaúng D1:A1x+B1y+C1=0 vaø D2:A2x+B2y+C2 =0. Neáu goïi j (00 £ j £ 900) laø goùc giöõa D1 vaø D2 thì: 
Heä quaû: D1 ^ D2 Û A1A2 + B1B2 = 0
2. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng:
Coâng thöùc: Khoaûng caùch töø M(x0;y0) ñeán D:Ax+By+C=0 laø:
 (A2+B2¹0)
b) Heä quaû: Neáu D1 : A1x+B1y+C1=0 vaø D2 : A2x+B2y+C2 = 0 caét nhau thì phöông trình caùc phaân giaùc taïo bôûi (D1) vaø (D2) laø: 
ÑÖÔØNG TROØN:
1.Phöông trình cuûa ñöôøng troøn: 
Phöông trình ñöôøng troøn (C) taâm I(a;b) baùn kính R coù daïng:
	(x-a)2+(y-b)2=R2
Phöông trình ñöôøng troøn taâm O baùn kính R : 
 x2+y2 = R2
Phöông trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 vôùi A2+B2-C>0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn (C) coù taâm I(-A;-B) vaø baùn kính R=.
2.Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn: 
Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0. Phöông tích cuûa moät ñieåm M(x0 ; y0) ñoái vôùi (C) laø: P M/(C)= F(x0,y0) =
3.Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn khaùc taâm: 
Taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi 2 ñöôøng troøn khaùc taâm (C1) vaø (C2) laø moät ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng noái 2 taâm I1 vaø I2 cuûa (C1) vaø (C2) vaø goïi laø truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø (C2).
Cho hai ñöôøng troøn: 
(C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0vaø(C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khaùc taâm,
 phöông trình cuûa truïc ñaúng phöông cuûa (C1) vaø(C2) laø:
F1(x,y)= F2(x,y)Û 2(A1- A2)x+2(B1- B2)y+C1- C2 = 0
4. Tieáp tuyeán cuûa 1 ñöôøng troøn : 
Cho (C):F(x;y)=(x-a)2+(y-b)2-R2=0 vaø ñieåm M(x0;y0), ñeå vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua M ta tìm phöông tích cuûa M ñoái vôùi (C):
Neáu P M/(C) < 0 thì M naèm trong (C), 
 qua M khoâng keû ñöôïc tieáp tuyeán naøo vôùi (C).
Neáu P M/(C) = 0 thì M thuoäc (C), qua M keû ñöôïc moät tieáp tuyeán vôùi (C) vaø tieáp tuyeán naøy ñi qua M coù vectô phaùp tuyeán = (x0 - a; y0 - b).
Neáu P M/(C) > 0 thì M naèm ngoaøi (C), qua M ta keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C), phöông trình caùc tieáp tuyeán naøy thöïc hieän nhö sau:
 Goïi D laø ñöôøng thaúng qua M vaø coù vectô phaùp tuyeán =(A;B)ÞD: A(x-x0)+B(y-y0) = 0 (1) vôùi A2+B2 ¹0.
D tieáp xuùc (C)Û d(I,D)==R 
vôùi C=-(Ax0+By0). Bình phöông 2 veá, choïn hai caëp A, B thoûa phöông trình naøy vaø thay vaøo (1) ñeå coù hai phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua M.
ElÍP:
1)Ñònh nghóa : Taäp hôïp caùc ñieåm M cuûa maët phaúng sao cho MF1+MF2=2a
 (2a khoâng ñoåi vaø a> c> 0) laø moät ñöôøng elíp. 
F1,F2: coá ñònh laø hai tieâu ñieåm vaø F1F2=2c laø tieâu cöï cuûa elíp.
MF1, MF2: laø caùc baùn kính qua tieâu.
2) Phöông trình chính taéc cuûa elíp: vôùi .
3) Caùc yeáu toá:
Tieâu cöï: 
Toïa ñoä tieâu ñieåm: 
Ñoä daøi truïc lôùn: 
Ñoä daøi truïc beù: 
Toïa ñoä caùc ñænh: ;
Taâm sai: (<1)
Phöông trình ñöôøng chuaån:
Baùn kính qua tieâu:
 , 
4) Tieáp tuyeán cuûa elíp (E): :
Taïi M0(x0;y0)Î(E) coù phöông trình:
Ñi qua M(x1; y1) laø D:A(x-x1)+B(y-y1)=0 vôùi ñieàu kieän: 
D tieáp xuùc (E)ÛA2a2+B2b2 =C2 A2+B2 ¹0,C=-(Ax1+By1)¹0
HYPEBOL:
1.Ñònh nghóa : Taäp hôïp caùc ñieåm M cuûa maët phaúng sao cho ½MF1-MF2½=2a (2a khoâng ñoåi vaø c > a> 0) laø moät Hypebol.
F1, F2 : coá ñònh laø 2 tieâu ñieåm vaø F1F2=2c laø tieâu cöï.
MF1, MF2: laø caùc baùn kính qua tieâu.
2.Phöông trình chính taéc cuûa hypebol: ,.
3) Caùc yeáu toá:
Tieâu cöï: 
Toïa ñoä tieâu ñieåm: 
Ñoä daøi truïc thöïc: 
Ñoä daøi truïc aûo: 
Toïa ñoä caùc ñænh: 
Taâm sai: (>1)
Phöông trình ñöôøng chuaån:
Baùn kính qua tieâu:
 thì: , 
 thì: , 
4) Tieáp tuyeán cuûa elíp (H): :
Taïi M0(x0;y0)Î(H) coù phöông trình:
Ñi qua M(x1; y1) laø D:A(x-x1)+B(y-y1)=0 vôùi ñieàu kieän: 
D tieáp xuùc (H)ÛA2a2-B2b2 =C2 A2+B2 ¹0,C=-(Ax1+By1)¹0
PRABOL:
1, Ñònh nghóa: 
 Parabol laø taäp hôïp taát caû caùc ñieåm M cuûa maët phaûng caùch ñeàu moät ñöôøng thaúng coá ñònh vaø moät ñieåm F coá ñònh khoâng thuoäc 
 + goïi laø ñöôøng chuaån cuûa Parabol
 + F goïi laø tieâu ñieåm cuûa Parabol
 + Ñieåm M thuoäc Parabol thì MF goïi laø baùn kính qua tieâu
2, Phöông trình chính taéc cuûa Parabol (P): 
3, Caùc yeáu toá:
Tham soá tieâu: 
Tieâu ñieåm: 
Phöông trình ñöôøng chuaån: 
Baùn kính qua tieâu: 
4, Phöông trình tieáp tuyeán cuûa Parabol: 
Tieáp tuyeán taïi ñieåm coù phöông trình laø:
Ñöôøng thaúng laø tieáp tuyeán cuûa (P) 
Chuù yù:Ngoaøi daïng chính taéc Parabol coøn coù caùc phöông trình daïng: 
PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
I.VECTÔ VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN :
1.Ñònh nghóa: laø moät ñoaïn thaúng ñònh höôùng. 
2. Hai veùctô baèng nhau: coù cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi. 
3.Ha